习题 2.1 - 解答

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(a) 麦克斯韦方程组的推导

电磁场的拉格朗日密度为： $\mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}$ 其中电磁张量 $F_{\mu\nu} = \partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu}$。我们将四维势 $A_{\mu}$ 视为动力学变量。

为了求欧拉-拉格朗日方程，我们对作用量进行变分。利用 $F_{\mu\nu}$ 的反对称性，拉格朗日密度的变分为： $\delta \mathcal{L} = -\frac{1}{4} \delta (F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}) = -\frac{1}{2} F^{\mu\nu} \delta F_{\mu\nu}$ 代入 $F_{\mu\nu}$ 的定义： $\delta \mathcal{L} = -\frac{1}{2} F^{\mu\nu} (\partial_{\mu} \delta A_{\nu} - \partial_{\nu} \delta A_{\mu}) = -F^{\mu\nu} \partial_{\mu} \delta A_{\nu}$ 由此可直接读出拉格朗日密度对场导数的偏导数： $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu} A_{\nu})} = -F^{\mu\nu}$ 由于 $\mathcal{L}$ 不显含 $A_{\nu}$，即 $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\nu}} = 0$，欧拉-拉格朗日方程 $\partial_{\mu} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu} A_{\nu})} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\nu}} = 0$ 给出运动方程： $\partial_{\mu} F^{\mu\nu} = 0$

接下来将其写为标准形式。采用度规约定 $g_{\mu\nu} = \text{diag}(1, -1, -1, -1)$，并利用题目给定的电场与磁场分量定义：$E^i = -F^{0i}$，$\epsilon^{ijk} B^k = -F^{ij}$。

1. 取 $\nu = 0$： $\partial_{\mu} F^{\mu 0} = \partial_0 F^{00} + \partial_i F^{i0} = 0$ 由于 $F^{00} = 0$ 且 $F^{i0} = -F^{0i} = E^i$，上式化为： $\partial_i E^i = 0 \implies \nabla \cdot \mathbf{E} = 0$

2. 取 $\nu = j$（空间分量）： $\partial_{\mu} F^{\mu j} = \partial_0 F^{0j} + \partial_i F^{ij} = 0$ 代入 $F^{0j} = -E^j$ 和 $F^{ij} = -\epsilon^{ijk} B^k$： $\partial_0 (-E^j) + \partial_i (-\epsilon^{ijk} B^k) = 0$ 利用 $\partial_0 = \frac{\partial}{\partial t}$ 以及旋度的分量定义 $(\nabla \times \mathbf{B})^j = \epsilon^{jki} \partial_k B^i = \epsilon^{ijk} \partial_i B^k$，可得： $-\frac{\partial E^j}{\partial t} - (\nabla \times \mathbf{B})^j = 0 \implies \nabla \times \mathbf{B} - \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = 0$

另外两个麦克斯韦方程（$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ 和 $\nabla \times \mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = 0$）是比安基恒等式 $\partial_{[\lambda} F_{\mu\nu]} = 0$ 的直接推论，由 $F_{\mu\nu}$ 的定义自动满足。因此，无源麦克斯韦方程组为： $\boxed{ \nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \quad \nabla \times \mathbf{B} - \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = 0 }$

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(b) 能量-动量张量的构造

根据诺特定理，平移不变性给出的典范能量-动量张量为： $T^{\mu\nu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu} A_{\lambda})} \partial^{\nu} A_{\lambda} - g^{\mu\nu} \mathcal{L}$ 代入 (a) 中求得的导数项： $T^{\mu\nu} = -F^{\mu\lambda} \partial^{\nu} A_{\lambda} + \frac{1}{4} g^{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta}$ 由于第一项 $-F^{\mu\lambda} \partial^{\nu} A_{\lambda}$ 在 $\mu, \nu$ 交换下不对称，典范能量-动量张量不是对称张量。

为了得到对称的能量-动量张量（Belinfante-Rosenfeld 构造），我们加上一个散度项 $\partial_{\lambda} K^{\lambda\mu\nu}$，其中 $K^{\lambda\mu\nu} = F^{\mu\lambda} A^{\nu}$。 计算该散度项： $\partial_{\lambda} K^{\lambda\mu\nu} = \partial_{\lambda} (F^{\mu\lambda} A^{\nu}) = (\partial_{\lambda} F^{\mu\lambda}) A^{\nu} + F^{\mu\lambda} \partial_{\lambda} A^{\nu}$ 根据 (a) 中的运动方程 $\partial_{\lambda} F^{\mu\lambda} = -\partial_{\lambda} F^{\lambda\mu} = 0$，第一项为零，因此： $\partial_{\lambda} K^{\lambda\mu\nu} = F^{\mu\lambda} \partial_{\lambda} A^{\nu}$ 将其加到 $T^{\mu\nu}$ 上，得到改进后的能量-动量张量 $\widehat{T}^{\mu\nu}$： $\widehat{T}^{\mu\nu} = T^{\mu\nu} + \partial_{\lambda} K^{\lambda\mu\nu} = -F^{\mu\lambda} \partial^{\nu} A_{\lambda} + F^{\mu\lambda} \partial_{\lambda} A^{\nu} + \frac{1}{4} g^{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta}$ 合并前两项： $-F^{\mu\lambda} (\partial^{\nu} A_{\lambda} - \partial_{\lambda} A^{\nu}) = -F^{\mu\lambda} g^{\nu\sigma} (\partial_{\sigma} A_{\lambda} - \partial_{\lambda} A_{\sigma}) = -F^{\mu\lambda} g^{\nu\sigma} F_{\sigma\lambda} = -F^{\mu\lambda} F^{\nu}_{\;\;\lambda}$ 因此，改进后的能量-动量张量为： $\widehat{T}^{\mu\nu} = -F^{\mu\lambda} F^{\nu}_{\;\;\lambda} + \frac{1}{4} g^{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta}$ 验证其对称性：$-F^{\mu\lambda} F^{\nu}_{\;\;\lambda} = -F^{\mu\lambda} g^{\nu\sigma} F_{\sigma\lambda} = F^{\mu\lambda} F_{\lambda}^{\;\;\nu}$。交换 $\mu, \nu$ 得到 $F^{\nu\lambda} F_{\lambda}^{\;\;\mu} = -F^{\lambda\nu} F^{\mu}_{\;\;\lambda}$，显然 $\widehat{T}^{\mu\nu} = \widehat{T}^{\nu\mu}$，这是一个对称张量。

计算能量密度 $\mathcal{E}$： 能量密度为 $\mathcal{E} = \widehat{T}^{00}$。 $\widehat{T}^{00} = -F^{0\lambda} F^{0}_{\;\;\lambda} + \frac{1}{4} g^{00} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta}$ 首先计算第一项（注意指标升降 $F^{0}_{\;\;i} = g_{ij} F^{0j} = -F^{0i} = E^i$）： $-F^{0\lambda} F^{0}_{\;\;\lambda} = -F^{0i} F^{0}_{\;\;i} = -(-E^i)(E^i) = \mathbf{E}^2$ 接着计算不变量 $F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta}$： $F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} = 2 F_{0i} F^{0i} + F_{ij} F^{ij}$ 其中 $F_{0i} = g_{00} g_{ij} F^{0j} = (1)(-\delta_{ij})(-E^j) = E^i$，故 $2 F_{0i} F^{0i} = 2(E^i)(-E^i) = -2\mathbf{E}^2$。 空间部分 $F_{ij} = g_{ik} g_{jl} F^{kl} = (-\delta_{ik})(-\delta_{jl})(-\epsilon^{klm} B^m) = -\epsilon^{ijm} B^m = F^{ij}$，故 $F_{ij} F^{ij} = (-\epsilon^{ijk} B^k)(-\epsilon^{ijl} B^l) = 2\delta^{kl} B^k B^l = 2\mathbf{B}^2$。 因此 $F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} = -2\mathbf{E}^2 + 2\mathbf{B}^2$。 代回 $\widehat{T}^{00}$（$g^{00}=1$）： $\mathcal{E} = \mathbf{E}^2 + \frac{1}{4} (-2\mathbf{E}^2 + 2\mathbf{B}^2) = \mathbf{E}^2 - \frac{1}{2}\mathbf{E}^2 + \frac{1}{2}\mathbf{B}^2 = \frac{1}{2}(\mathbf{E}^2 + \mathbf{B}^2)$

计算动量密度 $\mathbf{S}$： 动量密度（坡印廷矢量）为 $\mathbf{S}^i = \widehat{T}^{0i}$。 $\widehat{T}^{0i} = -F^{0\lambda} F^{i}_{\;\;\lambda} + \frac{1}{4} g^{0i} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta}$ 由于 $g^{0i} = 0$，第二项消失。对第一项展开（$\lambda=0$ 时 $F^{00}=0$）： $\widehat{T}^{0i} = -F^{0j} F^{i}_{\;\;j} = -F^{0j} g_{jk} F^{ik}$ 代入 $F^{0j} = -E^j$ 和 $g_{jk} = -\delta_{jk}$： $\widehat{T}^{0i} = -(-E^j)(-\delta_{jk}) F^{ik} = -E^j F^{ij}$ 再代入 $F^{ij} = -\epsilon^{ijk} B^k$： $\widehat{T}^{0i} = -E^j (-\epsilon^{ijk} B^k) = \epsilon^{ijk} E^j B^k = (\mathbf{E} \times \mathbf{B})^i$

综上所述，改进后的对称能量-动量张量给出了标准的电磁场能量密度和动量密度： $\boxed{ \mathcal{E} = \frac{1}{2} (\mathbf{E}^2 + \mathbf{B}^2), \quad \mathbf{S} = \mathbf{E} \times \mathbf{B} }$

习题 2.2 - 解答

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(a) 共轭动量、哈密顿量与海森堡运动方程

复标量场的拉格朗日密度为： $\mathcal{L} = \partial_\mu \phi^* \partial^\mu \phi - m^2 \phi^* \phi = \dot{\phi}^* \dot{\phi} - \nabla \phi^* \cdot \nabla \phi - m^2 \phi^* \phi$ 将 $\phi$ 和 $\phi^*$ 视为独立的动力学变量，它们对应的共轭动量分别为： $\pi = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}} = \dot{\phi}^*, \quad \pi^* = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}^*} = \dot{\phi}$ 等时正则对易关系为： $\boxed{ [\phi(t, \mathbf{x}), \pi(t, \mathbf{y})] = i \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}), \quad [\phi^*(t, \mathbf{x}), \pi^*(t, \mathbf{y})] = i \delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) }$ 其余所有对易子（如 $[\phi, \phi], [\pi, \pi], [\phi, \pi^*]$ 等）均为零。

通过勒让德变换得到哈密顿密度 $\mathcal{H}$： $\mathcal{H} = \pi \dot{\phi} + \pi^* \dot{\phi}^* - \mathcal{L} = \pi \pi^* + \pi^* \pi - (\pi^* \pi - \nabla \phi^* \cdot \nabla \phi - m^2 \phi^* \phi)$ 因此，系统的哈密顿量为： $\boxed{ H = \int d^3x \left( \pi^* \pi + \nabla \phi^* \cdot \nabla \phi + m^2 \phi^* \phi \right) }$

接下来计算 $\phi(x)$ 的海森堡运动方程 $i\dot{\phi} = [\phi, H]$。首先计算 $\phi$ 的时间导数： $i\dot{\phi}(\mathbf{x}) = \int d^3y [\phi(\mathbf{x}), \pi^*(\mathbf{y})\pi(\mathbf{y})] = \int d^3y \pi^*(\mathbf{y}) [\phi(\mathbf{x}), \pi(\mathbf{y})] = \int d^3y \pi^*(\mathbf{y}) i \delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y}) = i\pi^*(\mathbf{x})$ 这与共轭动量的定义 $\dot{\phi} = \pi^*$ 一致。接着计算 $\pi^*$ 的时间导数 $i\dot{\pi}^* = [\pi^*, H]$： $i\dot{\pi}^*(\mathbf{x}) = \int d^3y \left[ \pi^*(\mathbf{x}), \nabla_y \phi^*(\mathbf{y}) \cdot \nabla_y \phi(\mathbf{y}) + m^2 \phi^*(\mathbf{y}) \phi(\mathbf{y}) \right]$ 利用 $[\pi^*(\mathbf{x}), \phi^*(\mathbf{y})] = -i \delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})$，并对梯度项进行分部积分： $\int d^3y \nabla_y [\pi^*(\mathbf{x}), \phi^*(\mathbf{y})] \cdot \nabla_y \phi(\mathbf{y}) = \int d^3y (-i) \nabla_y \delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y}) \cdot \nabla_y \phi(\mathbf{y}) = i \nabla^2 \phi(\mathbf{x})$ 质量项的对易子给出 $-i m^2 \phi(\mathbf{x})$。因此： $i\dot{\pi}^*(\mathbf{x}) = i \nabla^2 \phi(\mathbf{x}) - i m^2 \phi(\mathbf{x}) \implies \ddot{\phi} = \nabla^2 \phi - m^2 \phi$ 整理即得 Klein-Gordon 方程： $\boxed{ (\partial_\mu \partial^\mu + m^2)\phi = 0 }$

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(b) 对角化哈密顿量与粒子谱

引入两组独立的产生与湮灭算符 $a_\mathbf{p}, a_\mathbf{p}^\dagger$ 和 $b_\mathbf{p}, b_\mathbf{p}^\dagger$，对复标量场进行傅里叶展开： $\phi(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_\mathbf{p}}} \left( a_\mathbf{p} e^{-ip \cdot x} + b_\mathbf{p}^\dagger e^{ip \cdot x} \right)$ $\phi^*(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2E_\mathbf{p}}} \left( a_\mathbf{p}^\dagger e^{ip \cdot x} + b_\mathbf{p} e^{-ip \cdot x} \right)$ 对应的共轭动量为： $\pi(x) = \dot{\phi}^* = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} i\sqrt{\frac{E_\mathbf{p}}{2}} \left( a_\mathbf{p}^\dagger e^{ip \cdot x} - b_\mathbf{p} e^{-ip \cdot x} \right)$ $\pi^*(x) = \dot{\phi} = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} (-i)\sqrt{\frac{E_\mathbf{p}}{2}} \left( a_\mathbf{p} e^{-ip \cdot x} - b_\mathbf{p}^\dagger e^{ip \cdot x} \right)$ 将上述展开式代入哈密顿量 $H$ 中，空间积分 $\int d^3x$ 会产生 $(2\pi)^3 \delta^{(3)}(\mathbf{p} \pm \mathbf{p}')$，使得交叉项（如 $a_\mathbf{p} b_{-\mathbf{p}}$ 和 $a_\mathbf{p}^\dagger b_{-\mathbf{p}}^\dagger$）相互抵消。经过代数化简并应用正规序（Normal Ordering，即丢弃真空零点能）后，得到： $\boxed{ H = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} E_\mathbf{p} \left( a_\mathbf{p}^\dagger a_\mathbf{p} + b_\mathbf{p}^\dagger b_\mathbf{p} \right) }$ 物理意义：哈密顿量被完全对角化，表明该理论包含两组独立的粒子（由 $a^\dagger$ 产生的粒子和由 $b^\dagger$ 产生的反粒子），它们的色散关系均为 $E_\mathbf{p} = \sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2}$，即这两组粒子具有相同的质量 $m$。

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(c) 守恒电荷的算符表示

将场算符的傅里叶展开式代入守恒电荷 $Q$ 的表达式中。在 $t=0$ 时刻： $\phi^* \pi^* = \frac{-i}{2} \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \left( a_\mathbf{p}^\dagger + b_{-\mathbf{p}} \right) \left( a_\mathbf{p} - b_{-\mathbf{p}}^\dagger \right) = \frac{-i}{2} \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \left( a_\mathbf{p}^\dagger a_\mathbf{p} - a_\mathbf{p}^\dagger b_{-\mathbf{p}}^\dagger + b_{-\mathbf{p}} a_\mathbf{p} - b_{-\mathbf{p}} b_{-\mathbf{p}}^\dagger \right)$ $\pi \phi = \frac{i}{2} \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \left( a_\mathbf{p}^\dagger - b_{-\mathbf{p}} \right) \left( a_\mathbf{p} + b_{-\mathbf{p}}^\dagger \right) = \frac{i}{2} \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \left( a_\mathbf{p}^\dagger a_\mathbf{p} + a_\mathbf{p}^\dagger b_{-\mathbf{p}}^\dagger - b_{-\mathbf{p}} a_\mathbf{p} - b_{-\mathbf{p}} b_{-\mathbf{p}}^\dagger \right)$ 两式相减，交叉项抵消： $\int d^3x (\phi^* \pi^* - \pi \phi) = -i \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \left( a_\mathbf{p}^\dagger a_\mathbf{p} - b_\mathbf{p} b_\mathbf{p}^\dagger \right)$ 代入 $Q$ 的定义并应用正规序（将 $b b^\dagger$ 重排为 $b^\dagger b$ 并丢弃无穷大常数）： $Q = \frac{i}{2} \int d^3x (\phi^* \pi^* - \pi \phi) = \frac{1}{2} \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \left( a_\mathbf{p}^\dagger a_\mathbf{p} - b_\mathbf{p}^\dagger b_\mathbf{p} \right)$ (注：原书第一版此处定义 $Q$ 带有系数 $i/2$，导致粒子电荷为 $\pm 1/2$。根据 Peskin 官方勘误，守恒电荷应定义为 $Q = \int d^3x i (\phi^* \pi^* - \pi \phi)$。若采用勘误后的定义，则结果乘以 2)。 采用勘误后的标准定义，守恒电荷为： $\boxed{ Q = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \left( a_\mathbf{p}^\dagger a_\mathbf{p} - b_\mathbf{p}^\dagger b_\mathbf{p} \right) }$ 电荷计算：$a$ 型粒子的电荷为 $+1$，$b$ 型粒子（反粒子）的电荷为 $-1$。

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(d) 内部对称性与 $SU(2)$ 代数推广

对于两个质量相同的复标量场 $\phi_a$ ($a=1,2$)，拉格朗日量具有 $U(2) \cong U(1) \times SU(2)$ 全局对称性。 $U(1)$ 对称性对应 (c) 中的总电荷守恒。$SU(2)$ 对称性变换为 $\delta \phi_a = -i \theta^i (\frac{\sigma^i}{2})_{ab} \phi_b$。由 Noether 定理，对应的三个守恒荷为： $Q^i = \int d^3x \frac{i}{2} \left( \phi_a^* (\sigma^i)_{ab} \pi_b^* - \pi_a (\sigma^i)_{ab} \phi_b \right)$ 为证明它们满足 $SU(2)$ 角动量对易关系，定义 $A^i = \int d^3x \phi_a^* \sigma^i_{ab} \pi_b^*$ 和 $B^i = \int d^3x \pi_a \sigma^i_{ab} \phi_b$，则 $Q^i = \frac{i}{2}(A^i - B^i)$。 由于 $A^i$ 仅含带星号的场，而 $B^i$ 仅含不带星号的场，故 $[A^i, B^j] = 0$。 利用正则对易关系 $[\phi_a^*(\mathbf{x}), \pi_b^*(\mathbf{y})] = i\delta_{ab}\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ 计算 $A^i$ 的对易子： $[A^i, A^j] = \int d^3x d^3y [\phi_a^*(\mathbf{x}) \sigma^i_{ab} \pi_b^*(\mathbf{x}), \phi_c^*(\mathbf{y}) \sigma^j_{cd} \pi_d^*(\mathbf{y})]$ $= \int d^3x \left( \phi_a^* \sigma^i_{ab} [\pi_b^*, \phi_c^*] \sigma^j_{cd} \pi_d^* + \phi_c^* \sigma^j_{cd} [\phi_a^*, \pi_d^*] \sigma^i_{ab} \pi_b^* \right)$ $= \int d^3x \left( -i \phi_a^* (\sigma^i \sigma^j)_{ad} \pi_d^* + i \phi_c^* (\sigma^j \sigma^i)_{cb} \pi_b^* \right) = -i \int d^3x \phi_a^* [\sigma^i, \sigma^j]_{ab} \pi_b^*$ 代入泡利矩阵的对易关系 $[\sigma^i, \sigma^j] = 2i\epsilon^{ijk}\sigma^k$，得到： $[A^i, A^j] = 2\epsilon^{ijk} \int d^3x \phi_a^* \sigma^k_{ab} \pi_b^* = 2\epsilon^{ijk} A^k$ 同理，利用 $[\phi_a(\mathbf{x}), \pi_b(\mathbf{y})] = i\delta_{ab}\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ 计算 $B^i$ 的对易子，注意算符顺序会导致符号变化： $[B^i, B^j] = i \int d^3x \pi_a [\sigma^i, \sigma^j]_{ab} \phi_b = -2\epsilon^{ijk} B^k$ 现在计算 $Q^i$ 的对易子： $[Q^i, Q^j] = -\frac{1}{4} [A^i - B^i, A^j - B^j] = -\frac{1}{4} \left( [A^i, A^j] + [B^i, B^j] \right) = -\frac{1}{4} \left( 2\epsilon^{ijk} A^k - 2\epsilon^{ijk} B^k \right) = -\frac{1}{2} \epsilon^{ijk} (A^k - B^k)$ 由于 $Q^k = \frac{i}{2}(A^k - B^k)$，即 $A^k - B^k = -2i Q^k$，代入上式得： $\boxed{ [Q^i, Q^j] = i \epsilon^{ijk} Q^k }$ 这正是 $SU(2)$ 李代数的标准对易关系。

推广至 $n$ 个全同复标量场： 当有 $n$ 个质量相同的复标量场 $\phi_a$ ($a=1,\dots,n$) 时，理论具有 $U(n) \cong U(1) \times SU(n)$ 对称性。 $SU(n)$ 的生成元为 $T^\alpha$（满足 $[T^\alpha, T^\beta] = i f^{\alpha\beta\gamma} T^\gamma$）。对应的 $n^2-1$ 个守恒荷推广为： $\boxed{ Q^\alpha = \int d^3x i \left( \phi_a^* (T^\alpha)_{ab} \pi_b^* - \pi_a (T^\alpha)_{ab} \phi_b \right) }$ 通过完全相同的对易子计算逻辑，这些守恒荷满足 $SU(n)$ 李代数： $\boxed{ [Q^\alpha, Q^\beta] = i f^{\alpha\beta\gamma} Q^\gamma }$

习题 2.3 - 解答

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物理背景与题目分析

在量子场论中，标量场的两点关联函数（即传播子）$D(x - y) = \langle 0 | \phi(x) \phi(y) | 0 \rangle$ 描述了粒子从时空点 $y$ 传播到 $x$ 的概率幅。由于 $D(x - y)$ 是洛伦兹标量（Lorentz invariant），它的值只依赖于时空区间 $(x - y)^2$。

对于类空间隔（spacelike separation），即 $(x - y)^2 = -r^2 < 0$，我们可以利用洛伦兹不变性选择一个特定的参考系来简化计算。在这个参考系中，两个事件是同时发生的，即时间分量 $x^0 - y^0 = 0$，而空间距离为 $|\mathbf{x} - \mathbf{y}| = r$。此时，四维内积退化为 $p \cdot (x - y) = p^0(0) - \mathbf{p} \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{y}) = -\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}$。

推导与计算过程

在选定的参考系中，关联函数的积分表达式可以写为：

其中 $E_{\mathbf{p}} = \sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2}$。

为了计算这个三维动量积分，我们采用球坐标系，并将极轴（$z$ 轴）取在 $\mathbf{r}$ 的方向上。此时 $\mathbf{p} \cdot \mathbf{r} = p r \cos\theta$，其中 $p = |\mathbf{p}|$。动量空间的体积元为 $d^3p = p^2 dp \sin\theta d\theta d\phi$。

首先完成角向积分：

将角向积分的结果代入原式，得到仅依赖于动量大小 $p$ 的一维积分：

为了计算上述积分，我们可以利用参数微商法（Feynman's trick for integrals），将积分转化为对参量 $r$ 的导数：

现在我们来处理右侧的积分 $I(r) = \int_0^\infty dp \frac{\cos(pr)}{\sqrt{p^2 + m^2}}$。 引入双曲函数代换，令 $p = m \sinh t$，则有 $dp = m \cosh t \, dt$，且 $\sqrt{p^2 + m^2} = m \cosh t$。积分限从 $p \in [0, \infty)$ 变为 $t \in [0, \infty)$。代入后得到：

这是一个非常经典的积分，它正是第二类修正贝塞尔函数（Modified Bessel function of the second kind）$K_0(z)$ 的积分表示：

因此，我们得到 $I(r) = K_0(mr)$。

回到原积分，我们需要对 $I(r)$ 求导。利用修正贝塞尔函数的递推关系与求导性质 $\frac{d}{dz}K_0(z) = -K_1(z)$，可得：

将这一结果代回 $D(x - y)$ 的表达式中：

物理意义简述 在类空间隔下（$r \to \infty$），修正贝塞尔函数的渐近行为是 $K_1(mr) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2mr}} e^{-mr}$。这表明关联函数 $D(x - y)$ 在光锥外以指数形式衰减（衰减长度为康普顿波长 $1/m$）。尽管它不严格为零，但由于类空间隔下 $[\phi(x), \phi(y)] = D(x-y) - D(y-x) = 0$，微观因果性（Causality）依然得到了严格保证。

最终结果