习题 11.1 - 解答

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习题 11.1 分析与解答

(a) 证明公式 $\left\langle T e^{i\phi(x)} e^{-i\phi(0)} \right\rangle = e^{[D(x)-D(0)]}$

对于自由标量场 $\phi(x)$，其路径积分生成泛函为高斯型。根据高斯积分的性质，对于任意源函数 $J(y)$，有： $Z[J] = \left\langle T \exp\left( i \int d^d y J(y) \phi(y) \right) \right\rangle = \exp\left( -\frac{1}{2} \int d^d y d^d z J(y) D(y-z) J(z) \right)$ 其中 $D(y-z) = \langle T\phi(y)\phi(z) \rangle$ 是自由场的传播子。

为了计算目标关联函数，由于在时间序 $T$ 内部算符是可交换的，我们可以将指数合并： $T e^{i\phi(x)} e^{-i\phi(0)} = T \exp\left( i\phi(x) - i\phi(0) \right)$ 这相当于选取特定的源函数： $J(y) = \delta^{(d)}(y-x) - \delta^{(d)}(y)$ 将此 $J(y)$ 代入生成泛函的指数部分中： $-\frac{1}{2} \int d^d y d^d z \left[ \delta^{(d)}(y-x) - \delta^{(d)}(y) \right] D(y-z) \left[ \delta^{(d)}(z-x) - \delta^{(d)}(z) \right]$ 展开积分，得到四项： $= -\frac{1}{2} \Big[ D(x-x) - D(x-0) - D(0-x) + D(0-0) \Big]$ 利用传播子的平移不变性和偶函数性质 $D(0) = D(x-x) = D(0-0)$ 以及 $D(x) = D(-x)$，上式化简为： $-\frac{1}{2} \Big[ 2D(0) - 2D(x) \Big] = D(x) - D(0)$ 因此，直接得到： $\boxed{ \left\langle T e^{i\phi(x)} e^{-i\phi(0)} \right\rangle = e^{D(x)-D(0)} }$

(b) 证明最一般的可重整化拉格朗日量为 $\mathcal{L} = \frac{1}{2} \rho (\vec{\nabla}\phi)^2$

理论具有全局平移对称性 $\phi(x) \rightarrow \phi(x) - \alpha$。这一对称性要求场 $\phi(x)$ 只能通过其导数 $\partial_\mu \phi$ 的形式出现在拉格朗日量中。

在 $d$ 维时空中，作用量 $S = \int d^d x \mathcal{L}$ 必须是无量纲的，因此拉格朗日量密度的质量量纲为 $[\mathcal{L}] = d$。 为了分析重整化性质，我们引入具有标准动能项的规范化场 $\tilde{\phi} = \sqrt{\rho} \phi$，其动能项为 $\frac{1}{2}(\partial_\mu \tilde{\phi})^2$。由此可确定场的正则质量量纲为： $[\tilde{\phi}] = \frac{d-2}{2} \implies [\partial_\mu \tilde{\phi}] = \frac{d}{2}$ 一个拉格朗日量是可重整化的，当且仅当它由量纲 $\Delta \le d$ 的算符组成。我们检查由 $\partial_\mu \tilde{\phi}$ 构成的所有可能的旋转不变算符：

1. 最低阶导数项 $(\partial_\mu \tilde{\phi})^2$：其量纲为 $2 \times \frac{d}{2} = d$。在任何维度 $d>0$ 下，它都是严格的边缘算符（Marginal operator），因而是可重整化的。
2. 高次幂项 $(\partial_\mu \tilde{\phi} \partial^\mu \tilde{\phi})^n$ ($n \ge 2$)：其量纲为 $n d$。由于 $d>0$ 且 $n \ge 2$，有 $nd > d$，这些项是不可重整化的（Irrelevant operators）。
3. 高阶导数项 例如 $(\partial^2 \tilde{\phi})^2$：其量纲为 $2 \times (\frac{d-2}{2} + 2) = d + 2 > d$，同样是不可重整化的。

综上所述，唯一满足对称性且可重整化的算符只有 $(\partial_\mu \tilde{\phi})^2$。换回原场变量 $\phi$，最一般的可重整化拉格朗日量即为自由场理论： $\boxed{ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \rho (\vec{\nabla}\phi)^2 }$

(c) 计算关联函数 $\langle s(x)s^*(0)\rangle$ 及其在 $d=1,2,3,4$ 维的物理意义

根据 (a) 的结论，自旋关联函数为： $\langle s(x)s^*(0) \rangle = A^2 \langle e^{i\phi(x)} e^{-i\phi(0)} \rangle = A^2 e^{D(x) - D(0)}$ 其中 $D(x)$ 是拉格朗日量 $\mathcal{L} = \frac{1}{2} \rho (\vec{\nabla}\phi)^2$ 在欧几里得空间的传播子： $D(x) = \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \frac{e^{i k \cdot x}}{\rho k^2}$ 我们引入物理紫外截断 $\Lambda = 1/a$（$a$ 为原子间距），分别在不同维度下计算 $D(x) - D(0)$：

1. $d=1$ 维： $D(x) - D(0) = \frac{1}{\rho} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dk}{2\pi} \frac{e^{ikx} - 1}{k^2} = -\frac{|x|}{2\rho}$ $\boxed{ \langle s(x)s^*(0) \rangle = A^2 e^{-\frac{|x|}{2\rho}} }$ 物理意义：关联函数呈指数衰减，关联长度为 $\xi = 2\rho$。系统在宏观尺度上不存在长程有序（Long-Range Order），这与 Mermin-Wagner 定理一致（一维连续对称性不能自发破缺）。

2. $d=2$ 维： $D(x) - D(0) = \frac{1}{\rho} \int_{|k|<\Lambda} \frac{d^2 k}{(2\pi)^2} \frac{e^{i k \cdot x} - 1}{k^2} = \frac{1}{2\pi\rho} \int_0^\Lambda \frac{dk}{k} (J_0(k|x|) - 1)$ 当 $|x| \gg a$ 时，积分主要由 $1/|x| < k < \Lambda$ 区域贡献，近似为： $D(x) - D(0) \approx -\frac{1}{2\pi\rho} \ln(\Lambda |x|) = -\frac{1}{2\pi\rho} \ln\left(\frac{|x|}{a}\right)$ $\boxed{ \langle s(x)s^*(0) \rangle = A^2 \left( \frac{a}{|x|} \right)^{\frac{1}{2\pi\rho}} }$ 物理意义：关联函数呈幂律衰减（代数衰减）。系统没有真正的长程有序（自发磁化为零，符合 Mermin-Wagner 定理），但存在准长程有序（Quasi-Long-Range Order），这对应于著名的 Berezinskii-Kosterlitz-Thouless (BKT) 相。

3. $d=3$ 维： $D(x) = \frac{1}{\rho} \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{e^{i k \cdot x}}{k^2} = \frac{1}{4\pi\rho |x|}$ $D(0) = \frac{1}{\rho} \int_{|k|<\Lambda} \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{1}{k^2} = \frac{\Lambda}{2\pi^2 \rho} = \frac{1}{2\pi^2 \rho a}$ 此时 $D(0)$ 包含紫外发散。为了给出物理上合理的归一化，我们将发散因子吸收到宏观磁化强度 $v$ 中，定义重整化振幅 $v^2 = A^2 e^{-D(0)} = A^2 e^{-\frac{1}{2\pi^2 \rho a}}$，则： $\boxed{ \langle s(x)s^*(0) \rangle = v^2 e^{\frac{1}{4\pi\rho |x|}} }$ 物理意义：当 $|x| \rightarrow \infty$ 时，关联函数趋于非零常数 $v^2$。这表明系统存在真正的长程有序，连续对称性 $O(2)$ 发生了自发破缺。

4. $d=4$ 维： $D(x) = \frac{1}{\rho} \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} \frac{e^{i k \cdot x}}{k^2} = \frac{1}{4\pi^2 \rho |x|^2}$ $D(0) = \frac{1}{\rho} \int_{|k|<\Lambda} \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} \frac{1}{k^2} = \frac{\Lambda^2}{16\pi^2 \rho} = \frac{1}{16\pi^2 \rho a^2}$ 同样地，定义物理归一化常数 $v^2 = A^2 e^{-D(0)} = A^2 e^{-\frac{1}{16\pi^2 \rho a^2}}$，得到： $\boxed{ \langle s(x)s^*(0) \rangle = v^2 e^{\frac{1}{4\pi^2 \rho |x|^2}} }$ 物理意义：与三维情况类似，当 $|x| \rightarrow \infty$ 时关联函数趋于非零常数 $v^2$，系统存在真正的长程有序和自发对称性破缺。且关联函数向渐近值的趋近速度比三维更快（平方反比）。

习题 11.2 - 解答

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习题 11.2 分析与解答

(a) 全局对称性与自发对称性破缺

先分析拉格朗日量 $\mathcal{L}$ 的对称性。给定的变换为：

对于标量场部分，$\phi^i$ 经历的是标准的 $O(2)$ 旋转，因此 $(\phi^i)^2 = (\phi^1)^2 + (\phi^2)^2$ 在变换下保持不变。这直接保证了标量场的动能项 $\frac{1}{2}(\partial_\mu \phi^i)^2$ 和势能项 $\frac{1}{2}\mu^2(\phi^i)^2 - \frac{\lambda}{4}((\phi^i)^2)^2$ 是不变的。

对于费米子部分，由于 $\bar{\psi} = \psi^\dagger \gamma^0$，且 $\gamma^5$ 是厄米的并与 $\gamma^0$ 反易，我们有：

费米子动能项的变换为（利用 $\gamma^\mu$ 与 $\gamma^5$ 反易）：

动能项不变。对于汤川耦合项，定义 $\Phi = \phi^1 + i\gamma^5 \phi^2$，其在变换下变为：

因此汤川耦合项的变换为：

（这里利用了 $\gamma^5$ 与 $\Phi$ 对易）。至此证明了 $\mathcal{L}$ 具有该全局对称性。

经典运动方程的最低能量解（真空）由标量势的极小值决定：

极小值条件为 $\partial V / \partial |\phi| = 0$，解得真空期望值（VEV）的大小为 $|\phi|^2 = \mu^2/\lambda \equiv v^2$。 我们选择一个特定的方向，例如 $\langle \phi^1 \rangle = v, \langle \phi^2 \rangle = 0$。显然，这个特定的基态在上述 $\alpha \neq 0$ 的旋转下会改变，因此：

(b) 变量代换与费米子质量

将场在真空附近展开，作变量代换 $\phi^1(x) = v + \sigma(x)$，$\phi^2(x) = \pi(x)$。 代入拉格朗日量，标量势展开为：

利用 $v^2 = \mu^2/\lambda$，展开并保留到二次项以读取质量：

这表明 $\sigma$ 场获得了质量 $m_\sigma^2 = 2\lambda v^2$，而 $\pi$ 场无质量（Goldstone玻色子）。 将变量代换代入汤川耦合项：

拉格朗日量中双线性费米子项为 $\bar{\psi}(i\cancel{\partial} - gv)\psi$。由此可直接读出费米子的树图质量：

(c) 单圈辐射修正与自然关系的修正

下面计算 $m_f = gv$ 在单圈图下的修正。根据题意，重整化条件要求 $v$ 是精确的真空期望值（无辐射修正，即蝌蚪图之和为零），且 $g$ 定义为零动量转移（$q=0$）时的 1PI $\psi\psi\pi$ 顶点。

利用有效作用量 $\Gamma$ 的 Ward 恒等式（这与 Peskin 书中 11.6 节的讨论一致）。由于有效作用量保持与经典作用量相同的连续对称性，对 $\Gamma$ 施加对称性变换可导出精确关系：

其中 $\Gamma_5$ 定义了 $\psi\psi\pi$ 顶点 $\Gamma_{\bar{\psi}\psi\pi}(p,p) = -i\Gamma_5(p^2)\gamma^5$，而 $M(p^2)$ 是费米子两点函数中的标量质量部分，即 $\Gamma_{\bar{\psi}\psi}(p) = \cancel{p}(1-\Sigma_V(p^2)) - M(p^2)$。

物理极点质量 $m_f$ 满足 $\Gamma_{\bar{\psi}\psi}(\cancel{p}=m_f) = 0$，因此：

根据重整化条件，$g$ 定义为 $q=0$ 且费米子在壳（$p^2=m_f^2$）时的顶点，即 $g = \Gamma_5(m_f^2)$。代入 Ward 恒等式得到：

这表明关系式 (4) 受到了非零的修正，修正量由费米子自能的矢量部分 $\Sigma_V$ 决定。

下面在单圈近似下计算 $\Sigma_V(m_f^2)$。费米子自能 $-i\Sigma(\cancel{p})$ 由交换 $\sigma$ 和 $\pi$ 的两个单圈图贡献（顶点分别为 $-ig$ 和 $g\gamma^5$）：

利用 $\gamma^5(\cancel{k}+m_f)\gamma^5 = -\cancel{k}+m_f$，并引入 Feynman 参数 $x$，提取与 $\cancel{p}$ 成正比的矢量部分 $\Sigma_V(p^2)\cancel{p}$：

其中 $\Delta_\sigma = x^2 m_f^2 + (1-x)m_\sigma^2$，$\Delta_\pi = x^2 m_f^2 + (1-x)m_\pi^2 = x^2 m_f^2$（因为 $m_\pi = 0$）。 虽然方括号中的每一项在紫外区域是对数发散的，但它们的差值是完全有限的。完成动量积分后得到：

因此，对零级自然关系 $m_f = gv$ 的单圈修正为：

（此处在单圈精度下将系数中的 $m_f$ 替换为 $gv$）。由于被积函数在积分区间内表现良好，该修正显然是非零且有限的，这完美印证了第 11.6 节中关于有效作用量和自然关系的普遍结论。

习题 11.3 - 解答

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(a) 在二维时空中，Dirac 矩阵为 $\gamma^0 = \sigma^2$ 和 $\gamma^1 = i\sigma^1$。定义 $\gamma^5 = \gamma^0 \gamma^1 = \sigma^3$。由于 $\sigma^3$ 是厄米矩阵，$(\gamma^5)^\dagger = \gamma^5$。 在手征变换 $\psi_i \to \gamma^5 \psi_i$ 下，伴随旋量变换为： $\bar{\psi}_i = \psi_i^\dagger \gamma^0 \to \psi_i^\dagger (\gamma^5)^\dagger \gamma^0 = \psi_i^\dagger \gamma^5 \gamma^0 = -\psi_i^\dagger \gamma^0 \gamma^5 = -\bar{\psi}_i \gamma^5$ 其中用到了 $\{\gamma^5, \gamma^0\} = 0$。 检查动能项的变换（利用 $\{\gamma^5, \gamma^\mu\} = 0$ 且 $(\gamma^5)^2 = I$）： $\bar{\psi}_i i \gamma^\mu \partial_\mu \psi_i \to (-\bar{\psi}_i \gamma^5) i \gamma^\mu \partial_\mu (\gamma^5 \psi_i) = -\bar{\psi}_i i \gamma^5 \gamma^\mu \gamma^5 \partial_\mu \psi_i = \bar{\psi}_i i \gamma^\mu (\gamma^5)^2 \partial_\mu \psi_i = \bar{\psi}_i i \partial\!\!\!/ \psi_i$ 动能项保持不变。 检查相互作用项的变换： $\bar{\psi}_i \psi_i \to (-\bar{\psi}_i \gamma^5) (\gamma^5 \psi_i) = -\bar{\psi}_i (\gamma^5)^2 \psi_i = -\bar{\psi}_i \psi_i$ 因此，四费米子相互作用项变换为： $\frac{1}{2} g^2 (\bar{\psi}_i \psi_i)^2 \to \frac{1}{2} g^2 (-\bar{\psi}_i \psi_i)^2 = \frac{1}{2} g^2 (\bar{\psi}_i \psi_i)^2$ 拉格朗日量 $\mathcal{L}$ 在该离散手征对称性下是不变的。 如果加入费米子质量项 $-m \bar{\psi}_i \psi_i$，在变换下它会变为 $+m \bar{\psi}_i \psi_i$，改变了符号，因此该对称性禁止了费米子质量项的出现。

(b) 在 $d=2$ 维时空中，作用量 $S = \int d^2x \mathcal{L}$ 是无量纲的（自然单位制下）。 坐标 $x$ 的质量量纲为 $-1$，因此测度 $d^2x$ 的量纲为 $-2$。导数 $\partial_\mu$ 的量纲为 $1$。 由动能项 $\int d^2x \bar{\psi} i \partial\!\!\!/ \psi$ 无量纲可知： $-2 + 2[\psi] + 1 = 0 \implies [\psi] = \frac{1}{2}$ 对于相互作用项 $\frac{1}{2} g^2 \int d^2x (\bar{\psi} \psi)^2$，要求其无量纲： $-2 + [g^2] + 4 \times \frac{1}{2} = 0 \implies [g^2] = 0$ 由于耦合常数 $g^2$ 的质量量纲为 $0$，该理论在二维时空中是严格可重整化的。

(c) 考虑引入无动能项的辅助标量场 $\sigma(x)$ 的泛函积分： $\int \mathcal{D}\sigma \exp \left[ i \int d^2x \left( -\frac{1}{2g^2} \sigma^2 - \sigma \bar{\psi}_i \psi_i \right) \right]$ 通过配方，可以将指数上的项写为： $-\frac{1}{2g^2} (\sigma + g^2 \bar{\psi}_i \psi_i)^2 + \frac{1}{2} g^2 (\bar{\psi}_i \psi_i)^2$ 作平移变换 $\sigma \to \sigma - g^2 \bar{\psi}_i \psi_i$，泛函测度 $\mathcal{D}\sigma$ 不变。积分后，第一项给出一个常数因子，可吸收到路径积分的归一化常数中。剩下的项恰好是原理论的相互作用项 $\frac{1}{2} g^2 (\bar{\psi}_i \psi_i)^2$。 因此，原泛函积分可以等价地表示为： $\int \mathcal{D}\bar{\psi} \mathcal{D}\psi \mathcal{D}\sigma \, \exp \left[ i \int d^2x \left\{ \bar{\psi}_i i \partial\!\!\!/ \psi_i - \sigma \bar{\psi}_i \psi_i - \frac{1}{2g^2} \sigma^2 \right\} \right]$

(d) 在上述等效拉格朗日量中，费米子场是二次的，可以直接积分掉 $N$ 个费米子场 $\psi_i$： $\int \mathcal{D}\bar{\psi} \mathcal{D}\psi \exp \left[ i \int d^2x \bar{\psi}_i (i \partial\!\!\!/ - \sigma) \psi_i \right] = \left[ \det (i \partial\!\!\!/ - \sigma) \right]^N = \exp \left[ N \text{Tr} \ln (i \partial\!\!\!/ - \sigma) \right]$ 对于常数场 $\sigma$，有效势 $V_{\text{eff}}(\sigma)$ 定义为 $S_{\text{eff}} = -\int d^2x V_{\text{eff}}(\sigma)$。转到动量空间： $V_{\text{eff}}(\sigma) = \frac{\sigma^2}{2g_0^2} + i N \int \frac{d^2k}{(2\pi)^2} \text{tr} \ln (k\!\!\!/ - \sigma)$ 其中 $\text{tr}$ 是对 $2 \times 2$ Dirac 矩阵求迹。计算矩阵 $k\!\!\!/ - \sigma$： $k\!\!\!/ - \sigma = k_0 \sigma^2 + k_1 (i\sigma^1) - \sigma = \begin{pmatrix} -\sigma & -i(k_0 - k_1) \\ i(k_0 + k_1) & -\sigma \end{pmatrix}$ 其行列式为 $\det(k\!\!\!/ - \sigma) = \sigma^2 - (k_0^2 - k_1^2) = \sigma^2 - k^2$。利用 $\text{tr} \ln M = \ln \det M$，有： $V_{\text{eff}}(\sigma) = \frac{\sigma^2}{2g_0^2} + i N \int \frac{d^2k}{(2\pi)^2} \ln (\sigma^2 - k^2 + i\epsilon)$ 进行 Wick 转动 $k_0 = i k_{0E}$，$k^2 = -k_E^2$，$d^2k = i d^2k_E$： $V_{\text{eff}}(\sigma) = \frac{\sigma^2}{2g_0^2} - N \int \frac{d^2k_E}{(2\pi)^2} \ln (k_E^2 + \sigma^2)$ 使用维数正规化，在 $d = 2 - \epsilon$ 维下计算积分： $\int \frac{d^d k_E}{(2\pi)^d} \ln (k_E^2 + \sigma^2) = -\frac{\Gamma(-d/2)}{(4\pi)^{d/2}} (\sigma^2)^{d/2} = \frac{\sigma^2}{4\pi} \left( \frac{2}{\epsilon} - \gamma_E + \ln(4\pi) - \ln \sigma^2 + 1 \right)$ 因此，未重整化的有效势为： $V_{\text{eff}}(\sigma) = \frac{\sigma^2}{2g_0^2} - \frac{N \sigma^2}{4\pi} \left( \frac{2}{\epsilon} - \gamma_E + \ln(4\pi) - \ln \sigma^2 + 1 \right)$ 采用最小减除法 (MS)，引入重整化能标 $\mu$，裸耦合常数 $g_0$ 与重整化耦合常数 $g$ 的关系为： $\frac{1}{g_0^2} = \mu^{-\epsilon} \left( \frac{1}{g^2} + \frac{N}{\pi \epsilon} \right) \approx \frac{1}{g^2} + \frac{N}{\pi \epsilon} - \frac{N}{2\pi} \ln \mu^2$ 代入有效势并抵消极点 $\frac{2}{\epsilon}$，得到重整化后的单圈有效势： $\boxed{ V_{\text{eff}}(\sigma) = \frac{\sigma^2}{2g^2} + \frac{N \sigma^2}{4\pi} \left( \ln \frac{\sigma^2}{\mu^2} - \ln(4\pi) + \gamma_E - 1 \right) }$

(e) 对有效势求导以寻找极小值： $\frac{d V_{\text{eff}}}{d \sigma} = \frac{\sigma}{g^2} + \frac{N \sigma}{2\pi} \left( \ln \frac{\sigma^2}{\mu^2} - \ln(4\pi) + \gamma_E - 1 \right) + \frac{N \sigma^2}{4\pi} \left( \frac{2}{\sigma} \right) = \frac{\sigma}{g^2} + \frac{N \sigma}{2\pi} \left( \ln \frac{\sigma^2}{\mu^2} - \ln(4\pi) + \gamma_E \right)$ 令 $\frac{d V_{\text{eff}}}{d \sigma} = 0$，除了平凡解 $\sigma = 0$ 外，非平凡真空期望值 (VEV) 满足： $\ln \frac{\sigma_0^2}{\mu^2} = -\frac{2\pi}{N g^2} + \ln(4\pi) - \gamma_E \implies \boxed{ \sigma_0 = \pm \mu \sqrt{4\pi e^{-\gamma_E}} \exp\left( -\frac{\pi}{N g^2} \right) }$ 由于 $\sigma_0 \neq 0$，且在 (a) 中的手征变换下 $\bar{\psi}\psi \to -\bar{\psi}\psi$ 导致 $\sigma \to -\sigma$，非零的 $\sigma_0$ 自发破缺了离散手征对称性。 重整化条件无关性：若选择不同的重整化条件（如 $\overline{\text{MS}}$ 或动量减除），有效势的有限部分仅相差一个正比于 $\sigma^2$ 的常数。这等价于对耦合常数 $1/g^2$ 作了一个有限重定义。由于物理的真空期望值 $\sigma_0$ 是重整化群不变量，耦合常数的平移会被能标 $\mu$ 的改变（即跑动耦合）完全吸收，因此物理结果（对称性破缺及 $\sigma_0$ 的存在）不依赖于具体的重整化方案。

(f) 将有效势写为依赖于 $g^2 N$ 的形式： $V_{\text{eff}}(\sigma) = N \left[ \frac{\sigma^2}{2 (g^2 N)} + \frac{\sigma^2}{4\pi} \left( \ln \frac{\sigma^2}{\mu^2} - \ln(4\pi) + \gamma_E - 1 \right) \right] \equiv N f(g^2 N)$ 在积分掉费米子后，关于 $\sigma$ 的有效作用量为 $S_{\text{eff}}[\sigma] = N \tilde{S}[\sigma]$，其中 $\tilde{S}[\sigma]$ 仅依赖于组合 $\lambda = g^2 N$。 为了计算更高阶的圈图修正，我们需要对 $\sigma$ 场的涨落进行微扰展开。由于整个作用量前有一个整体因子 $N$：

1. $\sigma$ 场的传播子正比于 $N^{-1}$。
2. 任何 $k$ 阶的 $\sigma$ 相互作用顶点都正比于 $N$。

对于一个包含 $V$ 个顶点、 $P$ 条传播子和 $L$ 个圈的连通真空图（对应有效势的修正），其 $N$ 的幂次为： $N^V \times (N^{-1})^P = N^{V - P}$ 根据图论中的欧拉公式，圈数 $L$ 满足 $L = P - V + 1$，因此： $V - P = 1 - L \implies \text{图的量级为 } \mathcal{O}(N^{1-L})$

• 树图级别（对应 $\sigma$ 的经典势和费米子单圈行列式，即 $L=0$）贡献为 $\mathcal{O}(N)$，这正是我们在 (d) 中计算的领头项。
• $\sigma$ 场的单圈修正 ($L=1$) 贡献为 $\mathcal{O}(N^0)$。
• $\sigma$ 场的双圈及更高阶修正 ($L \ge 2$) 贡献为 $\mathcal{O}(N^{-1})$ 及更低。

因此，所有高阶修正项都包含额外的 $N^{-1}$ 因子。在 $N \to \infty$ 且保持 $g^2 N$ 固定的 't Hooft 极限下，这些高阶项被完全压低。(e) 中基于领头项得出的对称性破缺结论在这一极限下是精确且无歧义的。