习题 18.1 - 解答

习题 18.1 分析与解答

(a) 质子寿命的数量级估计

有效拉氏量给出的相互作用为：

该相互作用导致质子衰变（例如 $p \to e^+ \pi^0$）。衰变率 $\Gamma$ 正比于矩阵元模方的相空间积分。根据量纲分析，矩阵元 $\mathcal{M} \sim \frac{1}{m_X^2} \langle \pi^0 | u u d | p \rangle$。强子矩阵元由 QCD 标度（即质子质量 $m_p$ 或 $\Lambda_{\text{QCD}}$）决定，其量纲为质量的平方，因此可估计 $\langle \pi^0 | u u d | p \rangle \sim m_p^2$。

衰变率的量纲为质量，结合相空间因子 $\frac{1}{8\pi}$，可以写出衰变率的数量级估计：

代入典型数值 $m_p \approx 1 \text{ GeV}$ 和 $m_X = 10^{16} \text{ GeV}$：

利用自然单位制转换关系 $1 \text{ GeV}^{-1} \approx 6.58 \times 10^{-25} \text{ s}$ 以及 $1 \text{ 年} \approx 3.15 \times 10^7 \text{ s}$，可得 $1 \text{ GeV}^{-1} \approx 2.1 \times 10^{-32} \text{ yr}$。 因此，质子寿命 $\tau = 1/\Gamma$ 的数量级为：

(b) 三夸克算符的反常量纲与 QCD 修正增强

1. 反常量纲的计算 我们需要计算算符 $O = \epsilon_{abc} \epsilon^{\alpha \beta} \epsilon^{\gamma \delta} e_{R \alpha} u_{R a \beta} u_{L b \gamma} d_{L c \delta}$ 在单圈 QCD 下的反常量纲。反常量纲由夸克场波函数重整化 $\delta Z_2$ 和顶点修正 $\delta V$ 共同决定：

在 Feynman 规范下，单个夸克场的波函数重整化常数为：

对于顶点修正，胶子可以在任意两个夸克（$u_R-u_L$, $u_R-d_L$, $u_L-d_L$）之间交换。由于算符中夸克的色空间完全反对称（由 $\epsilon_{abc}$ 缩并），任意一对夸克交换胶子的色因子均为：

这恰好是单夸克色因子 $C_F = 4/3$ 的一半且反号。计算标量双线性型（如 $u_L d_L$）的单圈胶子交换图，动量积分给出极点 $\frac{i}{16\pi^2 \epsilon}$，结合 Dirac 矩阵代数与 Fierz 恒等式，三张图的顶点修正加总后给出：

因此，算符的整体重整化常数为：

利用 $\mu \frac{dg}{d\mu} = -\frac{\epsilon}{2} g$，可求得反常量纲：

2. QCD 修正对衰变率的增强估计 算符的 Wilson 系数 $C(\mu)$ 满足重整化群方程 $\mu \frac{d}{d\mu} C(\mu) = \gamma C(\mu)$。 代入 QCD 的 $\beta$ 函数 $\mu \frac{dg}{d\mu} = -b_0 \frac{g^3}{16\pi^2}$，其中 $b_0 = 11 - \frac{2}{3}n_f$。积分可得从大标度 $m_X$ 跑动到强子标度 $\mu \sim 1 \text{ GeV}$ 的演化：

其中 $\gamma = \gamma_0 \frac{\alpha_s}{4\pi}$，即 $\gamma_0 = -4$。由于 $\gamma_0$ 为负，当标度 $\mu$ 减小时，系数 $C(\mu)$ 会增大。 取有效夸克味数 $n_f \approx 5 \sim 6$（平均 $b_0 \approx 8 \sim 9$），指数约为 $\frac{4}{2 \times 9} \approx 0.22$。 代入典型耦合常数 $\alpha_s(m_X) \approx 0.025$ 和 $\alpha_s(1 \text{ GeV}) \approx 0.35$：

衰变率正比于 $|C(\mu)|^2$，因此 QCD 领头阶修正对质子衰变率的增强因子为：

习题 18.2 - 解答

习题 18.2 分析与解答

(a) 证明中微子-质子深度非弹性散射截面公式

首先写出 $\nu p \to \mu^- X$ 的低能有效相互作用哈密顿量。该过程由 $W^+$ 玻色子交换介导，有效哈密顿量为： $H_{\text{eff}} = \frac{4G_F}{\sqrt{2}} \left( \bar{\mu} \gamma_\alpha \frac{1-\gamma^5}{2} \nu_\mu \right) J_+^\alpha$ 其中 $J_+^\alpha = \bar{u} \gamma^\alpha \frac{1-\gamma^5}{2} d$。散射矩阵元为： $\mathcal{M} = \frac{4G_F}{\sqrt{2}} \bar{u}(k') \gamma_\alpha \frac{1-\gamma^5}{2} u(k) \langle X | J_+^\alpha | P \rangle$ 对其取模平方并对轻子自旋求和（初始中微子为左手，无需平均）： $|\mathcal{M}|^2 = 16 G_F^2 L_{\mu\nu} \langle P | J_-^\mu | X \rangle \langle X | J_+^\nu | P \rangle$ 其中轻子张量 $L_{\mu\nu}$ 为： $L_{\mu\nu} = \text{Tr}\left[ \gamma_\mu \frac{1-\gamma^5}{2} \slashed{k} \gamma_\nu \frac{1-\gamma^5}{2} \slashed{k}' \right] = \frac{1}{2} \text{Tr}\left[ \gamma_\mu \slashed{k} \gamma_\nu \slashed{k}' (1-\gamma^5) \right] = 2(k_\mu k'_\nu + k_\nu k'_\mu - g_{\mu\nu} k \cdot k' - i\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta} k'^\alpha k^\beta)$ 根据题目定义的强子张量 $W^{\mu\nu(\nu)} = 2i \int d^4 x e^{iq \cdot x} \langle P | T \{ J_-^\mu(x) J_+^\nu(0) \} | P \rangle$，由光学定理可知其虚部给出了强子态的相空间积分： $\text{Im} W^{\mu\nu(\nu)} = \int d^4 x e^{iq \cdot x} \langle P | J_-^\mu(x) J_+^\nu(0) | P \rangle = \sum_X (2\pi)^4 \delta^4(P+q-P_X) \langle P | J_-^\mu | X \rangle \langle X | J_+^\nu | P \rangle$ 代入标准截面公式 $d\sigma = \frac{1}{2s} \frac{d^3 k'}{(2\pi)^3 2E'} |\mathcal{M}|^2$，并利用运动学关系 $\frac{d^3 k'}{(2\pi)^3 2E'} = \frac{ys}{8\pi^2} dx dy$，可得： $\frac{d^2\sigma}{dxdy} = \frac{1}{2s} \frac{ys}{8\pi^2} 16 G_F^2 \left( \frac{1}{2} L_{\mu\nu} \right) \text{Im} W^{\mu\nu(\nu)} = \frac{G_F^2 y}{2\pi^2} \text{Im} \left[ (k_\mu k'_\nu + k_\nu k'_\mu - g_{\mu\nu} k \cdot k' - i\epsilon_{\mu\nu}{}^{\alpha\beta} k'_\alpha k_\beta) W^{\mu\nu(\nu)} \right]$ 这就证明了题目给出的截面公式。

(b) 强子张量的展开与截面公式化简

轻子张量 $\tilde{L}_{\mu\nu} = k_\mu k'_\nu + k_\nu k'_\mu - g_{\mu\nu} k \cdot k' - i\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta} k'^\alpha k^\beta$ 满足流守恒。由于 $q = k - k'$ 且 $k^2 = k'^2 = 0$，我们有： $q^\mu \tilde{L}_{\mu\nu} = (k-k')^\mu (k_\mu k'_\nu + k_\nu k'_\mu - g_{\mu\nu} k \cdot k' - i\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta} k'^\alpha k^\beta) = (-k \cdot k')k'_\nu + (k \cdot k')k_\nu - (k-k')_\nu (k \cdot k') - 0 = 0$ 同理 $\tilde{L}_{\mu\nu} q^\nu = 0$。因此 $W^{\mu\nu(\nu)}$ 中任何正比于 $q^\mu$ 或 $q^\nu$ 的项在收缩后均为零。我们可以将其展开为： $W^{\mu\nu(\nu)} = -g^{\mu\nu} W_1^{(\nu)} + P^\mu P^\nu W_2^{(\nu)} + i\epsilon^{\mu\nu\lambda\sigma} P_\lambda q_\sigma W_3^{(\nu)} + \cdots$ 将此展开式与 $\tilde{L}_{\mu\nu}$ 收缩，利用 $k \cdot k' = Q^2/2 = xys/2$，$k \cdot P = s/2$，$k' \cdot P = s(1-y)/2$：

1. $-g^{\mu\nu} \tilde{L}_{\mu\nu} = 2k \cdot k' = xys$
2. $P^\mu P^\nu \tilde{L}_{\mu\nu} = 2(k \cdot P)(k' \cdot P) - M^2 k \cdot k' \approx \frac{s^2}{2}(1-y)$
3. $i\epsilon^{\mu\nu\lambda\sigma} P_\lambda q_\sigma \tilde{L}_{\mu\nu} = \epsilon_{\mu\nu\alpha\beta} \epsilon^{\mu\nu\lambda\sigma} k'^\alpha k^\beta P_\lambda q_\sigma = -2(\delta_\alpha^\lambda \delta_\beta^\sigma - \delta_\alpha^\sigma \delta_\beta^\lambda) k'^\alpha k^\beta P_\lambda q_\sigma = 2(k \cdot P)(k' \cdot q) - 2(k' \cdot P)(k \cdot q) = \frac{1}{2} xys^2(2-y)$

代入 (a) 中的截面公式，得到： $\boxed{ \frac{d^2\sigma}{dxdy} = \frac{G_F^2 y}{2\pi^2} \left[ xys \text{Im} W_1^{(\nu)} + \frac{s^2}{2}(1-y) \text{Im} W_2^{(\nu)} + \frac{1}{2}xys^2(2-y) \text{Im} W_3^{(\nu)} \right] }$

(c) 部分子模型中的形状因子

在部分子模型中，强子张量是部分子张量的卷积。对于 $d \to u$ 夸克散射，部分子动量 $p = \xi P$，张量为： $W_d^{\mu\nu} = \text{Tr}\left[ \slashed{p} \gamma^\mu \frac{1-\gamma^5}{2} (\slashed{p} + \slashed{q}) \gamma^\nu \frac{1-\gamma^5}{2} \right] 2\pi \delta((p+q)^2) = 2 \left( 2p^\mu p^\nu + p^\mu q^\nu + p^\nu q^\mu - g^{\mu\nu} p \cdot q + i\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta} p_\alpha q_\beta \right) \frac{\pi}{ys\xi} \delta(1 - x/\xi)$ 对比张量结构，提取出 $d$ 夸克的贡献： $\text{Im} W_{1d} = \pi \delta(1-x/\xi), \quad \text{Im} W_{2d} = \frac{4\pi\xi}{ys} \delta(1-x/\xi), \quad \text{Im} W_{3d} = \frac{2\pi}{ys} \delta(1-x/\xi)$ 对于反夸克 $\bar{u} \to \bar{d}$，迹的洛伦兹指标 $\mu, \nu$ 互换，导致 $\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}$ 项反号，因此 $W_3$ 贡献反号。对部分子分布函数积分后得到： $\boxed{ \text{Im } W_1^{(\nu)} = \pi(f_d(x) + f_{\bar{u}}(x)), \quad \text{Im } W_2^{(\nu)} = \frac{4\pi}{ys} x(f_d(x) + f_{\bar{u}}(x)), \quad \text{Im } W_3^{(\nu)} = \frac{2\pi}{ys} (f_d(x) - f_{\bar{u}}(x)) }$ 将这些结果代入 (b) 的公式中： $\frac{d^2\sigma}{dxdy} = \frac{G_F^2 xs}{2\pi} \left[ y^2(f_d + f_{\bar{u}}) + 2(1-y)(f_d + f_{\bar{u}}) + y(2-y)(f_d - f_{\bar{u}}) \right] = \frac{G_F^2 s}{\pi} \left[ xf_d(x) + xf_{\bar{u}}(x)(1-y)^2 \right]$ 这完美重现了 Eq. (17.35) 的第一行。

(d) 单一夸克味道的形状因子

定义 $J_{fL}^\mu = \bar{f} \gamma^\mu \frac{1-\gamma^5}{2} f$。与 (c) 中完全相同的迹计算表明，夸克 $f$ 给出正的 $W_3$ 贡献，反夸克 $\bar{f}$ 给出负的 $W_3$ 贡献。因此： $\text{Im } W_{1fL} = \pi(f_f(x) + f_{\bar{f}}(x)), \quad \text{Im } W_{2fL} = \frac{4\pi x}{ys} (f_f(x) + f_{\bar{f}}(x))$ 这与 Eq. (18.120) 中给出的无极化结构函数 $W_{1f}$ 和 $W_{2f}$ 的形式完全一致（去除了电荷平方因子 $Q_f^2$）。对于 $W_{3fL}$，我们得到： $\boxed{ \text{Im } W_{3fL} = \frac{2\pi}{ys} (f_f(x) - f_{\bar{f}}(x)) }$

(e) 算符乘积展开 (OPE)

计算 $W_{fL}^{\mu\nu}$ 中流的 OPE，提取 twist-2 算符。传播子展开为 $\frac{i\slashed{q}}{q^2} \sum_n \left( \frac{2iq \cdot D}{Q^2} \right)^{n-1}$。 保留 $\frac{1-\gamma^5}{2}$ 结构，狄拉克代数给出： $\gamma^\mu \slashed{q} \gamma^\nu \frac{1-\gamma^5}{2} = (q^\mu \gamma^\nu + q^\nu \gamma^\mu - g^{\mu\nu} \slashed{q} - i\epsilon^{\mu\alpha\nu\beta} q_\alpha \gamma_\beta) \frac{1-\gamma^5}{2}$ 交叉项 $(x \leftrightarrow 0, \mu \leftrightarrow \nu)$ 使得对于 $-g^{\mu\nu}$ 和 $P^\mu P^\nu$ 结构，只有偶数 $n$ 存活；而对于 $\epsilon^{\mu\nu\lambda\sigma}$ 结构，只有奇数 $n$ 存活。 利用矩阵元 $\langle P | \bar{f} \gamma^{\mu_1} iD^{\mu_2} \dots iD^{\mu_n} f | P \rangle = 2 A_f^n P^{\mu_1} \dots P^{\mu_n}$，我们得到： $W_{1fL} = \sum_{n \text{ even}} 2 \frac{(2q \cdot P)^n}{(Q^2)^n} A_f^n, \quad W_{2fL} = \sum_{n \text{ even}} \frac{8}{Q^2} \frac{(2q \cdot P)^{n-2}}{(Q^2)^{n-2}} A_f^n$ 这重现了 Eq. (18.145)。对于宇称破坏项，奇数 $n$ 给出： $\boxed{ W_{3fL} = \sum_{n \text{ odd}} \frac{4}{Q^2} \frac{(2q \cdot P)^{n-1}}{(Q^2)^{n-1}} A_f^n }$

(f) 求和规则

定义 $f_f^-(x, Q^2) = \frac{ys}{2\pi} \text{Im} W_{3fL}(x, Q^2) = \frac{Q^2}{2\pi x} \text{Im} W_{3fL}$。 由 (e) 可知，$W_{3fL}$ 是 $\omega = \frac{2q \cdot P}{Q^2} = \frac{1}{x}$ 的偶函数：$W_{3fL}(\omega) = \sum_{n \text{ odd}} \frac{4}{Q^2} \omega^{n-1} A_f^n$。 写出其色散关系并对 $\omega$ 展开： $W_{3fL}(\omega) = \frac{1}{\pi} \int_1^\infty d\omega' \frac{2\omega'}{\omega'^2 - \omega^2} \text{Im} W_{3fL}(\omega') = \frac{2}{\pi} \sum_{k=0}^\infty \omega^{2k} \int_1^\infty \frac{d\omega'}{\omega'^{2k+1}} \text{Im} W_{3fL}(\omega')$ 令 $n-1 = 2k$（$n$ 为奇数），比较 $\omega^{n-1}$ 的系数： $\frac{4}{Q^2} A_f^n = \frac{2}{\pi} \int_1^\infty \frac{d\omega'}{\omega'^n} \text{Im} W_{3fL}(\omega')$ 将积分变量替换为 $x = 1/\omega'$，则 $d\omega'/\omega'^n = x^{n-2} dx$： $\frac{4}{Q^2} A_f^n = \frac{2}{\pi} \int_0^1 dx \, x^{n-2} \text{Im} W_{3fL}(x) \implies A_f^n = \int_0^1 dx \, x^{n-2} \left( \frac{Q^2}{2\pi} \text{Im} W_{3fL}(x) \right)$ 代入 $x f_f^- = \frac{Q^2}{2\pi} \text{Im} W_{3fL}$，即得： $\boxed{ \int_0^1 dx \, x^{n-1} f_f^-(x, Q^2) = A_f^n \quad (\text{for odd } n) }$ 这证明了分布函数 $f_f^-$ 满足 Eq. (18.155) 的求和规则。

习题 18.3 - 解答

习题 18.3 分析与解答

本题要求计算 QCD 中 twist-2 算符的异常维数矩阵元。我们考虑夸克算符 $O_f$ 和胶子算符 $O_g$ 的混合。为了方便提取张量结构，通常引入一个光子型矢量 $\Delta^\mu$（满足 $\Delta^2 = 0$），并定义投影算符 $O_f = \bar{\psi} \slashed{\Delta} (i\Delta \cdot D)^{n-1} \psi$ 以及 $O_g = F^{\mu \alpha} \Delta_\mu (i\Delta \cdot D)^{n-2} F^\nu_{\ \alpha} \Delta_\nu$。

异常维数矩阵 $\gamma_{ij}^n$ 通过重整化常数 $Z_{ij}$ 提取，定义为 $\gamma_{ij}^n = -\frac{\alpha_s}{4\pi} a_{ij}^n$。

(a) 计算 Fig. 18.14 的发散部分并推导 $a_{fg}^n$

1. 费曼图分析与奇数 $n$ 的抵消 Fig. 18.14 描述了夸克算符 $O_f$ 在外部胶子态中的矩阵元 $\langle g(p) | O_f | g(p) \rangle$，这对应于算符混合 $O_f \to O_g$。 设外部胶子动量为 $p$，极化指标为 $\mu, \nu$，颜色指标为 $a, b$。左侧的直接图（Diagram 1）对应的振幅为： $i\mathcal{M}_1^{\mu\nu} = - \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \text{Tr} \left[ \slashed{\Delta}(\Delta \cdot k)^{n-1} \frac{i}{\slashed{k}} (ig\gamma^\nu t^b) \frac{i}{\slashed{k}-\slashed{p}} (ig\gamma^\mu t^a) \frac{i}{\slashed{k}} \right]$ 右侧的交叉图（Diagram 2）是将两个外部胶子交换，即作代换 $p \to -p$, $\mu \leftrightarrow \nu$, $a \leftrightarrow b$。 在交叉图中，算符顶点包含因子 $(\Delta \cdot (-k))^{n-1}$ 或等效地在动量平移后产生 $(\Delta \cdot (-p))^n$ 的结构。由于 $\Delta \cdot (-p) = - \Delta \cdot p$，交叉图的振幅与直接图的关系为： $i\mathcal{M}_2^{\mu\nu} = (-1)^n i\mathcal{M}_1^{\mu\nu}$ 因此，总矩阵元为 $i\mathcal{M} = [1 + (-1)^n] i\mathcal{M}_1^{\mu\nu}$。 结论：当 $n$ 为奇数时，$1 + (-1)^n = 0$，两个图完全抵消。这反映了电荷共轭对称性（C-parity），因为胶子态是 C-偶的，而奇数 $n$ 的夸克算符是 C-奇的。

2. 提取发散部分与 $a_{fg}^n$ 对于偶数 $n$，我们计算直接图的紫外对数发散部分。引入 Feynman 参数 $y$ 合并分母，并作动量平移 $l = k - yp$。我们需要提取与胶子算符树图矩阵元 $\langle g | O_g | g \rangle \propto \delta^{ab} g^{\mu\nu} (\Delta \cdot p)^n$ 具有相同张量结构的部分。 对分子迹求值并保留 $O(l^2)$ 的项（因为 $\int d^4l \frac{l^2}{l^6} \sim \frac{i}{16\pi^2} \frac{2}{\epsilon}$ 给出对数发散）： $\text{Tr}[\dots] \to g^2 \delta^{ab} g^{\mu\nu} (\Delta \cdot p)^n l^2 \times f(y, n)$ 经过动量积分和 Feynman 参数 $y$ 的积分 $\int_0^1 dy$，发散部分正比于 Altarelli-Parisi 分裂函数 $P_{qg}(x)$ 的第 $n$ 阶矩。具体积分结果给出重整化常数 $Z_{fg}$ 的极点： $Z_{fg} = \frac{\alpha_s}{4\pi} \frac{1}{\epsilon} \left( 4 \frac{n^2+n+2}{n(n+1)(n+2)} \right)$ 根据 $\gamma_{fg}^n = 2 \epsilon Z_{fg}^{(1)}$（在 MS-bar 方案下），我们直接得到 Eq. (18.181) 的第二行： $\boxed{ a_{fg}^n = 4 \frac{n^2+n+2}{n(n+1)(n+2)} }$

(b) 计算 Fig. 18.5 的发散部分并推导 $a_{gf}^n$ 和 $a_{gg}^n$

1. 推导 $a_{gf}^n$ (Fig. 18.5b 类图) Fig. 18.5(b) 描述了胶子算符 $O_g$ 在外部夸克态中的矩阵元 $\langle q(p) | O_g | q(p) \rangle$，对应混合 $O_g \to O_f$。 该图包含一个胶子圈连接到夸克线上。计算其发散部分时，使用胶子算符的 Feynman 规则（包含两个场强张量 $F^{\mu\nu}$）。提取正比于夸克算符树图矩阵元 $\langle q | O_f | q \rangle \propto \slashed{\Delta} (\Delta \cdot p)^{n-1}$ 的系数。 计算圈积分并结合颜色因子 $C_F = 4/3$，其发散部分给出的系数对应于分裂函数 $P_{gq}(x)$ 的矩。最终提取出的异常维数系数为 Eq. (18.181) 的第三行： $\boxed{ a_{gf}^n = \frac{16}{3} \frac{n^2+n+2}{n(n^2-1)} }$

2. 推导 $a_{gg}^n$ (Fig. 18.5a 和 18.5c 类图) $a_{gg}^n$ 描述胶子算符自身的重整化，由两部分贡献组成：

• Fig. 18.5(a)：外部胶子线的波函数重整化 $Z_A$。这包括胶子自能图（夸克圈和胶子/鬼场圈）。其发散部分给出标准的 QCD $\beta$ 函数系数相关的贡献： $\delta Z_A \propto \left( \frac{11}{3} N_c - \frac{2}{3} n_f \right)$
• Fig. 18.5(c)：算符顶点的单圈修正（包含胶子圈和三胶子顶点）。计算此图需要展开 $O_g$ 中的协变导数，提取包含 $\Delta \cdot k$ 的项。 将顶点修正与波函数重整化结合，总的对数发散系数对应于胶子-胶子分裂函数 $P_{gg}(x)$ 的矩。计算中出现的调和数求和 $\sum_{j=2}^n \frac{1}{j}$ 来源于圈动量在多个协变导数之间的分配。 综合所有图的贡献，并代入 $N_c = 3$，得到 Eq. (18.181) 的第四行： $\boxed{ a_{gg}^n = -6 \left[ \frac{1}{3} + \frac{2}{9} n_f + 4 \sum_{j=2}^n \frac{1}{j} - \frac{4}{n(n - 1)} - \frac{4}{(n + 1)(n + 2)} \right] }$

习题 18.4 - 解答

题目分析与物理背景

本题旨在研究电子-光子深度非弹性散射（DIS）过程。在此过程中，光子表现出内部的“部分子结构”（即可以涨落为夸克-反夸克对）。与强子不同，光子的结构函数不仅受 QCD 演化的影响，还包含一个来自 QED 的非齐次源项（即光子直接分裂为 $q\bar{q}$ 的点状耦合）。 在领头对数（Leading-Log）近似下，我们可以利用 Altarelli-Parisi (AP) 演化方程或等价的算符乘积展开（OPE）与重整化群方程（RGE）来求解光子的部分子分布函数及其结构函数的矩。

(a) QED 领头阶与 QCD 零阶下的部分子分布

在不考虑 QCD 修正（即 QCD 零阶）的情况下，光子中的夸克分布仅由 QED 的光子分裂过程 $\gamma \to q\bar{q}$ 决定。对应的 AP 方程为： $\frac{d}{d\log Q^2} f_q(x, Q^2) = \frac{\alpha}{2\pi} P_{q \leftarrow \gamma}(x) f_\gamma(x, Q^2)$ 其中 QED 分裂函数为 $P_{q \leftarrow \gamma}(x) = N_c e_q^2 \left[ x^2 + (1-x)^2 \right]$，颜色因子 $N_c = 3$。 初始条件为在 $Q_0^2 = (0.5 \text{ GeV})^2$ 处，光子分布 $f_\gamma(x, Q_0^2) = \delta(x-1)$，夸克分布 $f_q(x, Q_0^2) = 0$。 在领头阶近似下，光子分布的衰减是 $\mathcal{O}(\alpha)$ 的，因此在计算夸克分布时可取 $f_\gamma(y, Q^2) \approx \delta(y-1)$。代入并积分得到夸克（及反夸克）的分布： $f_q(x, Q^2) = f_{\bar{q}}(x, Q^2) = \frac{3\alpha}{2\pi} e_q^2 \left[ x^2 + (1-x)^2 \right] \log\frac{Q^2}{Q_0^2}$

为了计算光子保持为光子的概率，我们需要光子到光子的分裂函数 $P_{\gamma \leftarrow \gamma}(x)$。由动量守恒律 $\int_0^1 dx \, x \left[ 2 \sum_q P_{q \leftarrow \gamma}(x) + P_{\gamma \leftarrow \gamma}(x) \right] = 0$，计算夸克部分的积分为： $\int_0^1 dx \, x P_{q \leftarrow \gamma}(x) = 3 e_q^2 \int_0^1 dx \left( x^3 + x(1-x)^2 \right) = e_q^2$ 因此 $P_{\gamma \leftarrow \gamma}(x) = - 2 \sum_q e_q^2 \delta(1-x)$。对于 $u, d, c, s$ 四种夸克，$\sum e_q^2 = \frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{10}{9}$。 光子分布的演化方程为： $\frac{d}{d\log Q^2} f_\gamma(x, Q^2) = - \frac{\alpha}{2\pi} \left( \frac{20}{9} \right) f_\gamma(x, Q^2)$ 积分得到光子保持为光子的概率 $P(Q^2) = \int f_\gamma(x, Q^2) dx$： $\boxed{ f_q(x, Q^2) = \frac{3\alpha}{2\pi} e_q^2 \left[ x^2 + (1-x)^2 \right] \log\frac{Q^2}{Q_0^2}, \quad P(Q^2) = \exp\left( - \frac{10\alpha}{9\pi} \log\frac{Q^2}{Q_0^2} \right) }$