习题 20.1 - 解答

---

1. 规范玻色子质量与对称性破缺的一般分析

设标量场 $\Phi$ 处于 $SU(5)$ 的伴随表示，可展开为 $\Phi = \Phi^a T^a$，其中 $T^a$ 为 $SU(5)$ 的生成元，满足归一化条件 $\text{Tr}(T^a T^b) = \frac{1}{2}\delta^{ab}$。标量场的动能项为： $\mathcal{L}_{\text{kin}} = \text{Tr}(D_\mu \Phi D^\mu \Phi)$ 其中协变导数为 $D_\mu \Phi = \partial_\mu \Phi - ig [A_\mu, \Phi]$，规范场 $A_\mu = A_\mu^a T^a$。

当 $\Phi$ 获得对角的真空期望值 $\langle\Phi\rangle = \text{diag}(v_1, v_2, v_3, v_4, v_5)$ 时，规范玻色子的质量项来源于动能项中的对应部分： $\mathcal{L}_{\text{mass}} = -g^2 \text{Tr}([A_\mu, \langle\Phi\rangle]^2)$ 计算对易子的矩阵元 $[A_\mu, \langle\Phi\rangle]_{ij} = (A_\mu)_{ij}(v_j - v_i)$，并利用 $A_\mu$ 的厄米性 $(A^\mu)_{ji} = (A^\mu)_{ij}^*$，可得： $\mathcal{L}_{\text{mass}} = g^2 \sum_{i,j} |(A_\mu)_{ij}|^2 (v_i - v_j)^2 = 2g^2 \sum_{i < j} |(A_\mu)_{ij}|^2 (v_i - v_j)^2$ 对于每一对 $i < j$，非对角元素 $(A_\mu)_{ij}$ 由两个实规范场 $A_\mu^{ij,1}$ 和 $A_\mu^{ij,2}$ 参数化（对应于正确归一化的非对角生成元）： $(A_\mu)_{ij} = \frac{1}{2}(A_\mu^{ij,1} - i A_\mu^{ij,2})$ 此时 $|(A_\mu)_{ij}|^2 = \frac{1}{4}[(A_\mu^{ij,1})^2 + (A_\mu^{ij,2})^2]$，代入质量项得到： $\mathcal{L}_{\text{mass}} = \frac{1}{2} g^2 \sum_{i < j} [(A_\mu^{ij,1})^2 + (A_\mu^{ij,2})^2] (v_i - v_j)^2$ 与标准质量项 $\frac{1}{2} M^2 A_\mu^2$ 对比可知，混合第 $i$ 和第 $j$ 分量的规范玻色子质量为： $M_{ij} = g|v_i - v_j|$ 未破缺的对称性生成元 $T^a$ 必须满足 $[T^a, \langle\Phi\rangle] = 0$，即要求当 $v_i \neq v_j$ 时 $T^a_{ij} = 0$。因此，未破缺群由 $\langle\Phi\rangle$ 中简并特征值对应的块对角子群，以及与 $\langle\Phi\rangle$ 成比例的 $U(1)$ 生成元共同构成。

---

2. 情形 1 的分析与解答

给定真空期望值： $\langle\Phi\rangle = A \begin{pmatrix} 1 & & & & \\ & 1 & & & \\ & & 1 & & \\ & & & 1 & \\ & & & & -4 \end{pmatrix}$ 特征值为 $v_1=v_2=v_3=v_4=A$ 和 $v_5=-4A$。

• 未破缺对称群：前四个分量简并，对应一个 $SU(4)$ 子群（15个生成元）；此外，$\langle\Phi\rangle$ 自身作为一个对角且无迹的生成元，给出一个 $U(1)$ 子群。因此，未破缺的对称群为： $\boxed{SU(4) \times U(1)}$
• 无质量规范玻色子：对应于未破缺群的生成元，共有 $15 + 1 =$ $\boxed{16}$ 个无质量规范玻色子。
• 有质量规范玻色子：对应于混合前四个分量（$i \in \{1,2,3,4\}$）与第五个分量（$j=5$）的破缺生成元。共有 $4 \times 2 =$ $\boxed{8}$ 个有质量规范玻色子。根据质量公式，它们的质量均为： $M = g|A - (-4A)| = \boxed{5g|A|}$

---

3. 情形 2 的分析与解答

给定真空期望值： $\langle\Phi\rangle = B \begin{pmatrix} 2 & & & & \\ & 2 & & & \\ & & 2 & & \\ & & & -3 & \\ & & & & -3 \end{pmatrix}$ 特征值为 $v_1=v_2=v_3=2B$ 和 $v_4=v_5=-3B$。

• 未破缺对称群：前三个分量简并，对应一个 $SU(3)$ 子群（8个生成元）；后两个分量简并，对应一个 $SU(2)$ 子群（3个生成元）；$\langle\Phi\rangle$ 自身给出一个 $U(1)$ 子群。因此，未破缺的对称群为（即标准模型规范群）： $\boxed{SU(3) \times SU(2) \times U(1)}$
• 无质量规范玻色子：对应于未破缺群的生成元，共有 $8 + 3 + 1 =$ $\boxed{12}$ 个无质量规范玻色子。
• 有质量规范玻色子：对应于混合前三个分量（$i \in \{1,2,3\}$）与后两个分量（$j \in \{4,5\}$）的破缺生成元。共有 $3 \times 2 \times 2 =$ $\boxed{12}$ 个有质量规范玻色子（即 $SU(5)$ 大统一模型中的 $X$ 和 $Y$ 玻色子）。根据质量公式，它们的质量均为： $M = g|2B - (-3B)| = \boxed{5g|B|}$

习题 20.2 - 解答

---

习题 20.2 分析与解答

(a) $W$ 玻色子的衰变宽度

$W$ 玻色子与费米子的相互作用拉格朗日量为： $\mathcal{L} = \frac{g}{\sqrt{2}} W_\mu^+ \left( \bar{\nu}_L \gamma^\mu e_L + \bar{u}_L \gamma^\mu d_L + \dots \right) + \text{h.c.}$ 其中左手投影算符 $P_L = \frac{1-\gamma^5}{2}$。对于 $W^+ \to f \bar{f}'$ 衰变，将费米子近似为无质量，其极化平均和自旋求和的矩阵元平方为： $\frac{1}{3} \sum_{\text{spins}} |\mathcal{M}|^2 = \frac{1}{3} \left( \frac{g}{\sqrt{2}} \right)^2 \left( -g_{\mu\nu} + \frac{p_\mu p_\nu}{m_W^2} \right) \text{Tr}\left[ \gamma^\mu P_L p_2 \gamma^\nu P_L p_1 \right]$ 计算迹并收缩张量（反对称的 $\epsilon$ 项在收缩中消去）： $\text{Tr}\left[ \gamma^\mu p_2 \gamma^\nu p_1 P_L \right] = 2 \left( p_1^\mu p_2^\nu + p_1^\nu p_2^\mu - g^{\mu\nu} p_1 \cdot p_2 - i \epsilon^{\mu\alpha\nu\beta} p_{2\alpha} p_{1\beta} \right)$ 利用 $2 p_1 \cdot p_2 = m_W^2$，可得 $\frac{1}{3} \sum |\mathcal{M}|^2 = \frac{g^2 m_W^2}{3}$。 因此，单个轻子代（如 $W^+ \to \nu_e e^+$）的树图阶部分衰变宽度为： $\Gamma(W^+ \to \nu_e e^+) = \frac{1}{16\pi m_W} \frac{1}{3} \sum |\mathcal{M}|^2 = \frac{g^2 m_W}{48\pi}$

对于夸克，由于 $m_t > m_W$，顶夸克通道关闭。$W$ 玻色子衰变到夸克的宽度需要包含 CKM 矩阵元 $V_{ij}$ 以及颜色因子 $N_c = 3$。对于给定的上型夸克 $u_i$，对其所有可能的下型夸克 $d_j$ 求和，利用 CKM 矩阵的幺正性 $\sum_j |V_{ij}|^2 = 1$，每个上型夸克代贡献 $3 \times \frac{g^2 m_W}{48\pi}$。

QCD 修正的证明： $W$ 玻色子通过 $V-A$ 流 $J^\mu = \bar{u} \gamma^\mu (1-\gamma^5) d$ 耦合到夸克。在忽略夸克质量的极限下，QCD 相互作用（纯矢量耦合）严格保持手征对称性。因此，矢量流关联函数 $\langle V^\mu V^\nu \rangle$ 与轴矢量流关联函数 $\langle A^\mu A^\nu \rangle$ 接收到完全相同的微扰 QCD 修正，且交叉项 $\langle V^\mu A^\nu \rangle$ 因需要螺旋度翻转而为零。 由于 $e^+ e^- \to \text{hadrons}$ 纯粹由矢量流主导，其 QCD 修正因子为 $1 + \frac{\alpha_s}{\pi}$（即 Eq. 17.9）。同理，该修正因子也完全适用于 $V-A$ 流的衰变率。因此，夸克通道的衰变宽度为： $\Gamma(W^+ \to \text{hadrons}) = \sum_{i=u,c} 3 \frac{g^2 m_W}{48\pi} \left( 1 + \frac{\alpha_s}{\pi} \right) = 6 \frac{g^2 m_W}{48\pi} \left( 1 + \frac{\alpha_s}{\pi} \right)$

总宽度与数值计算： 包含 3 代轻子和 2 代夸克，总宽度为： $\Gamma_W = \frac{g^2 m_W}{48\pi} \left[ 3 + 6 \left( 1 + \frac{\alpha_s}{\pi} \right) \right]$ 利用费米常数关系 $\frac{G_F}{\sqrt{2}} = \frac{g^2}{8 m_W^2}$，可将系数改写为 $\frac{g^2 m_W}{48\pi} = \frac{\sqrt{2} G_F m_W^3}{12\pi}$。 代入标准电弱参数：$m_W \approx 80.4 \text{ GeV}$，$G_F \approx 1.166 \times 10^{-5} \text{ GeV}^{-2}$，以及 $m_W$ 能标下的强耦合常数 $\alpha_s \approx 0.12$： $\frac{\sqrt{2} G_F m_W^3}{12\pi} \approx 0.227 \text{ GeV}$ $\Gamma_W \approx 0.227 \times \left[ 3 + 6 \left( 1 + \frac{0.12}{\pi} \right) \right] \approx 0.227 \times 9.229 \approx 2.09 \text{ GeV}$

$\boxed{ \Gamma_W \approx 2.09 \text{ GeV} }$

---

(b) $Z$ 玻色子的衰变宽度与分支比

$Z$ 玻色子与费米子的相互作用拉格朗日量为： $\mathcal{L} = \frac{g}{\cos\theta_w} Z_\mu \bar{f} \gamma^\mu (c_L P_L + c_R P_R) f$ 其中 $c_L = T^3 - Q \sin^2\theta_w$，$c_R = -Q \sin^2\theta_w$。 类似于 (a) 中的迹计算，矩阵元平方为： $\frac{1}{3} \sum |\mathcal{M}|^2 = \frac{1}{3} \left( \frac{g}{\cos\theta_w} \right)^2 \left( -g_{\mu\nu} + \frac{p_\mu p_\nu}{m_Z^2} \right) \text{Tr}\left[ \gamma^\mu (c_L P_L + c_R P_R) p_2 \gamma^\nu (c_L P_L + c_R P_R) p_1 \right]$ 利用 $P_L \gamma^\nu = \gamma^\nu P_R$，迹化简为 $\frac{1}{2}(c_L^2 + c_R^2) \text{Tr}[\gamma^\mu p_2 \gamma^\nu p_1]$。收缩后得到部分衰变宽度： $\Gamma(Z \to f \bar{f}) = N_c \frac{g^2 m_Z}{24\pi \cos^2\theta_w} (c_L^2 + c_R^2) = N_c \frac{\sqrt{2} G_F m_Z^3}{6\pi} (c_L^2 + c_R^2)$

取 $\sin^2\theta_w = 0.23$，计算各类费米子的 $c_L^2 + c_R^2$：

1. 中微子 ($\nu_e, \nu_\mu, \nu_\tau$)：$T^3 = \frac{1}{2}, Q = 0 \implies c_L = \frac{1}{2}, c_R = 0$ $c_L^2 + c_R^2 = 0.25$
2. 带电轻子 ($e, \mu, \tau$)：$T^3 = -\frac{1}{2}, Q = -1 \implies c_L = -0.5 + 0.23 = -0.27, c_R = 0.23$ $c_L^2 + c_R^2 = (-0.27)^2 + (0.23)^2 = 0.1258$
3. 上型夸克 ($u, c$)：$T^3 = \frac{1}{2}, Q = \frac{2}{3} \implies c_L = 0.5 - \frac{2}{3}(0.23) \approx 0.3467, c_R = -0.1533$ $c_L^2 + c_R^2 \approx 0.1437$
4. 下型夸克 ($d, s, b$)：$T^3 = -\frac{1}{2}, Q = -\frac{1}{3} \implies c_L = -0.5 + \frac{1}{3}(0.23) \approx -0.4233, c_R = 0.0767$ $c_L^2 + c_R^2 \approx 0.1851$

总宽度与分支比计算： 定义有效求和因子 $\Sigma = \sum_f N_c (c_{Lf}^2 + c_{Rf}^2) \times (\text{QCD 修正})$。对于夸克，同样应用 $1 + \frac{\alpha_s}{\pi} \approx 1.038$ 的修正。

• 不可见衰变 (Invisible, $3\nu$)：$\Sigma_{\text{inv}} = 3 \times 1 \times 0.25 = 0.75$
• 带电轻子 (Charged leptons, $3l$)：$\Sigma_{\text{lep}} = 3 \times 1 \times 0.1258 = 0.3774$
• 强子 (Hadrons, $2u + 3d$)： $\Sigma_{\text{had}} = 3 \times [2(0.1437) + 3(0.1851)] \times 1.038 = 3 \times 0.8427 \times 1.038 \approx 2.624$ 总求和因子 $\Sigma_{\text{total}} = 0.75 + 0.3774 + 2.624 = 3.7514$。

由此可得各衰变模式的分支比 (Branching fractions)： $\text{Br}(\text{invisible}) = \frac{0.75}{3.7514} \approx 20.0\%$ $\text{Br}(\text{charged leptons}) = \frac{0.3774}{3.7514} \approx 10.1\%$ $\text{Br}(\text{hadrons}) = \frac{2.624}{3.7514} \approx 70.0\%$

代入 $m_Z \approx 91.2 \text{ GeV}$，计算总宽度： $\frac{\sqrt{2} G_F m_Z^3}{6\pi} \approx 0.664 \text{ GeV}$ $\Gamma_Z = 0.664 \text{ GeV} \times 3.7514 \approx 2.49 \text{ GeV}$

$\boxed{ \Gamma_Z \approx 2.49 \text{ GeV}, \quad \text{Br}(\text{had}) \approx 70.0\%, \quad \text{Br}(l^+l^-) \approx 10.1\%, \quad \text{Br}(\nu\bar{\nu}) \approx 20.0\% }$

习题 20.3 - 解答

---

习题 20.3 分析与解答

在标准电弱模型中，过程 $e^+e^- \rightarrow f\bar{f}$ 包含光子 ($\gamma$) 交换和 $Z^0$ 玻色子交换两个费曼图的贡献。对于无质量费曼子，手征性守恒，我们可以方便地使用螺旋度振幅来计算。

定义费米子 $f$ 与 $Z^0$ 的矢量和轴矢耦合常数为： $v_f = T^3_{fL} - 2Q_f\sin^2\theta_W, \quad a_f = T^3_{fL}$ 其中 $T^3_{fL}$ 是左手分量的弱同位旋第三分量，$Q_f$ 是电荷（以 $e$ 为单位）。

定义包含 $Z^0$ 传播子（含宽度 $\Gamma_Z$）的共振因子： $\kappa(s) = \frac{1}{4\sin^2\theta_W\cos^2\theta_W} \frac{s}{s - m_Z^2 + i m_Z \Gamma_Z}$

---

(a) 微分截面与总截面行为

计算极化振幅并求和后，过程 $e^+e^- \rightarrow f\bar{f}$ 的微分散射截面可以写为： $\frac{d\sigma}{d\cos\theta} = \frac{\pi \alpha^2}{2s} N_c \left[ F_1(s) (1+\cos^2\theta) + 4 F_2(s) \cos\theta \right]$ 其中 $N_c$ 是颜色因子（夸克为3，轻子为1），且： $F_1(s) = Q_e^2 Q_f^2 + 2 Q_e Q_f v_e v_f \text{Re}(\kappa) + (v_e^2+a_e^2)(v_f^2+a_f^2) |\kappa|^2$ $F_2(s) = Q_e Q_f a_e a_f \text{Re}(\kappa) + 2 v_e a_e v_f a_f |\kappa|^2$ 这里 $Q_e = -1$。

对角度积分得到总截面： $\sigma(s) = \int_{-1}^1 \frac{d\sigma}{d\cos\theta} d\cos\theta = \frac{4\pi \alpha^2}{3s} N_c F_1(s)$ $\boxed{ \sigma(s) = \frac{4\pi \alpha^2}{3s} N_c \left[ Q_e^2 Q_f^2 + 2 Q_e Q_f v_e v_f \text{Re}(\kappa) + (v_e^2+a_e^2)(v_f^2+a_f^2) |\kappa|^2 \right] }$

截面随质心能量 $E_{cm} = \sqrt{s}$ 的行为分析：

1. 纯光子项 ($Q_e^2 Q_f^2$)：贡献随 $1/s$ 衰减。
2. 纯 $Z^0$ 项 ($|\kappa|^2$)：在 $s = m_Z^2$ 处产生一个显著的 Breit-Wigner 共振峰。
3. 干涉项 ($\text{Re}(\kappa)$)：在共振峰前 ($s < m_Z^2$) 为负，导致截面略微下降；在共振峰后 ($s > m_Z^2$) 为正，导致截面略微提升。
4. 不同费米子的比较：共振峰的高度主要由 $N_c (v_f^2+a_f^2)$ 决定。
   • 对于 $\mu$ 子：$N_c=1$, $v_\mu \approx -0.04$, $a_\mu = -0.5$，峰值相对较低。
   • 对于 $u$ 夸克：$N_c=3$, $v_u \approx 0.19$, $a_u = 0.5$，峰值约为 $\mu$ 子的 3.4 倍。
   • 对于 $d$ 夸克：$N_c=3$, $v_d \approx -0.35$, $a_d = -0.5$，峰值约为 $\mu$ 子的 4.4 倍。

---

(b) 前后不对称性 $A_{FB}^f$

根据定义，前后不对称性为： $A_{FB}^f = \frac{\int_0^1 d\cos\theta \frac{d\sigma}{d\cos\theta} - \int_{-1}^0 d\cos\theta \frac{d\sigma}{d\cos\theta}}{\int_{-1}^1 d\cos\theta \frac{d\sigma}{d\cos\theta}}$ 将 (a) 中的微分截面代入，分子中只有 $\cos\theta$ 项存活，分母为总截面： $\text{分子} = \frac{\pi \alpha^2}{2s} N_c \left[ 4F_2 \int_0^1 \cos\theta d\cos\theta - 4F_2 \int_{-1}^0 \cos\theta d\cos\theta \right] = \frac{2\pi \alpha^2}{s} N_c F_2(s)$ $\text{分母} = \sigma(s) = \frac{4\pi \alpha^2}{3s} N_c F_1(s)$ 因此，前后不对称性为： $\boxed{ A_{FB}^f(s) = \frac{3}{2} \frac{F_2(s)}{F_1(s)} = \frac{3}{2} \frac{Q_e Q_f a_e a_f \text{Re}(\kappa) + 2 v_e a_e v_f a_f |\kappa|^2}{Q_e^2 Q_f^2 + 2 Q_e Q_f v_e v_f \text{Re}(\kappa) + (v_e^2+a_e^2)(v_f^2+a_f^2) |\kappa|^2} }$

---

(c) $Z^0$ 共振峰上的 $A_{FB}^f$

恰好在 $Z^0$ 共振峰上时，$s = m_Z^2$。此时 $\kappa(m_Z^2)$ 为纯虚数，因此 $\text{Re}(\kappa) = 0$。同时，由于 $Z^0$ 极点贡献远大于纯电磁贡献，我们可以忽略分母中的 $Q_e^2 Q_f^2$ 项。 此时 $F_1$ 和 $F_2$ 简化为： $F_1(m_Z^2) \approx (v_e^2+a_e^2)(v_f^2+a_f^2) |\kappa|^2$ $F_2(m_Z^2) \approx 2 v_e a_e v_f a_f |\kappa|^2$ 代入 $A_{FB}^f$ 的表达式： $A_{FB}^f(m_Z^2) \approx \frac{3}{2} \frac{2 v_e a_e v_f a_f}{(v_e^2+a_e^2)(v_f^2+a_f^2)} = 3 \left( \frac{v_e a_e}{v_e^2+a_e^2} \right) \left( \frac{v_f a_f}{v_f^2+a_f^2} \right)$ 回顾左右不对称性 $A_{LR}^f$ 的定义，它与耦合常数的关系为 $A_{LR}^f = \frac{2v_f a_f}{v_f^2+a_f^2}$。 因此，我们可以直接得到： $\boxed{ A_{FB}^f(m_Z^2) = \frac{3}{4} A_{LR}^e A_{LR}^f }$

---

(d) 共振峰截面与第四代中微子的影响

在共振峰处 ($s=m_Z^2$)，总截面由 $Z^0$ 交换主导： $\sigma_{\text{peak}} \approx \frac{4\pi \alpha^2}{3m_Z^2} N_c (v_e^2+a_e^2)(v_f^2+a_f^2) |\kappa(m_Z^2)|^2$ 其中 $|\kappa(m_Z^2)|^2 = \frac{m_Z^2}{16\sin^4\theta_W\cos^4\theta_W \Gamma_Z^2}$。 已知 $Z^0 \rightarrow f\bar{f}$ 的部分衰变宽度的标准公式为： $\Gamma(Z^0 \rightarrow f\bar{f}) = \frac{\alpha m_Z}{12\sin^2\theta_W\cos^2\theta_W} N_c (v_f^2+a_f^2)$ 将 $\Gamma_e$ (取 $N_c=1$) 和 $\Gamma_f$ 相乘： $\Gamma_e \Gamma_f = \frac{\alpha^2 m_Z^2}{144\sin^4\theta_W\cos^4\theta_W} N_c (v_e^2+a_e^2)(v_f^2+a_f^2)$ 将其代入 $\sigma_{\text{peak}}$ 的表达式中，可以发现： $\sigma_{\text{peak}} = \frac{4\pi \alpha^2}{3m_Z^2} \frac{m_Z^2}{16\sin^4\theta_W\cos^4\theta_W \Gamma_Z^2} \left[ \frac{144\sin^4\theta_W\cos^4\theta_W}{\alpha^2 m_Z^2} \Gamma_e \Gamma_f \right]$ 化简后即得： $\boxed{ \sigma_{\text{peak}} = \frac{12\pi}{m_Z^2} \frac{\Gamma(Z^0 \rightarrow e^+e^-) \Gamma(Z^0 \rightarrow f\bar{f})}{\Gamma_Z^2} }$

第四代中微子的影响： 如果存在第四代轻中微子 $\nu_4$，它将增加 $Z^0$ 的不可见衰变宽度。单个中微子代的衰变宽度约为： $\Gamma_\nu \approx 166 \text{ MeV} = 0.166 \text{ GeV}$ 标准模型下（3代中微子），$Z^0$ 的总宽度 $\Gamma_Z \approx 2.495 \text{ GeV}$。 若加入第四代中微子，总宽度将变为 $\Gamma_Z' = \Gamma_Z + \Gamma_\nu \approx 2.661 \text{ GeV}$。 $\Gamma_Z$ 的偏移量为 $\Delta \Gamma_Z \approx +166 \text{ MeV}$。

由于 $\sigma_{\text{peak}} \propto 1/\Gamma_Z^2$，峰值截面的相对变化为： $\frac{\sigma_{\text{peak}}'}{\sigma_{\text{peak}}} = \left( \frac{\Gamma_Z}{\Gamma_Z'} \right)^2 \approx \left( \frac{2.495}{2.661} \right)^2 \approx 0.88$ 这意味着峰值截面将下降约 12%。

与图 20.5 的比较： 图 20.5 显示了强子产生的总截面数据。在 $Z^0$ 峰值处，实验数据点（约 30 nb）极其精确地落在 $N_\nu = 3$ 的理论曲线上。如果存在第四代中微子，峰值截面将降至约 $30 \times 0.88 \approx 26.4 \text{ nb}$。这一巨大的偏移（远超实验误差棒）与图中的高精度测量数据完全不符，从而强有力地排除了存在第四代轻中微子的可能性。

习题 20.4 - 解答

---

(a) 中性流深度非弹性散射的微分散射截面

在标准模型中，中性流（Neutral Current, NC）过程由 $Z^0$ 玻色子交换主导。在低能极限下（$Q^2 \ll M_Z^2$），中性流的有效四费米子相互作用拉格朗日量为：

其中，夸克与 $Z^0$ 玻色子的左右手耦合常数由 $g_{L,R}^q = T^3_q - Q_q \sin^2\theta_w$ 给出。对于 $u$ 和 $d$ 夸克，具体为：

在深度非弹性散射（DIS）中，中微子（左手）与左手夸克散射的角分布是各向同性的（常数 $1$），而与右手夸克散射由于螺旋度守恒会产生 $(1-y)^2$ 的压低因子。反中微子（右手）的情况则正好相反。对于反夸克，其手性与夸克相反。 结合部分子分布函数 $f_q(x)$ 和 $f_{\bar{q}}(x)$，我们可以直接写出中微子和反中微子在质子上中性流 DIS 的微分散射截面：

(b) 同位旋标量靶的 Llewellyn Smith 关系

对于质子数和中子数相等的同位旋标量核靶 $A$，每个核子的平均部分子分布函数满足同位旋对称性：

此时，带电流（Charged Current, CC）的微分散射截面（见公式 17.35）简化为：

将 $f_u = f_d = q$ 代入 (a) 中的中性流截面公式，并提取公共因子，可得：

同理，对于反中微子中性流截面：

接下来计算耦合常数的平方和：

根据定义 $R^\nu = \sigma_{NC}^\nu / \sigma_{CC}^\nu$ 和 $r = \sigma_{CC}^{\bar{\nu}} / \sigma_{CC}^\nu$，我们有：

同理，对于 $R^{\bar{\nu}} = \sigma_{NC}^{\bar{\nu}} / \sigma_{CC}^{\bar{\nu}}$，由于 $\sigma_{CC}^\nu / \sigma_{CC}^{\bar{\nu}} = 1/r$：

这就证明了所需的公式：

注：由于 $\sigma_{NC} = g_L^2 \sigma_{CC} + g_R^2 \sigma_{CC}^{\text{opp}}$ 是在相空间每一点 $(x,y)$ 都成立的线性组合，因此在实验观测的任意 $(x,y)$ 区域内进行积分后，该线性关系依然成立。只需将 $r$ 替换为积分后的带电流截面之比，公式形式保持不变。

(c) Weinberg's Nose 曲线分析与描绘

将实验观测值 $r = 0.4$ 代入 (b) 中的公式，得到参数化方程（令 $x_w = \sin^2\theta_w$）：

消去参数 $x_w$，可得 $R^\nu$ 与 $R^{\bar{\nu}}$ 满足抛物线方程：

在 $R^{\bar{\nu}}$ (横轴) - $R^\nu$ (纵轴) 平面上，随着 $\sin^2\theta_w$ 从 $0$ 增加到 $1$，曲线的演化特征如下：

1. 起点：当 $\sin^2\theta_w = 0$ 时，$(R^{\bar{\nu}}, R^\nu) = (0.5, 0.5)$。
2. $R^{\bar{\nu}}$ 极小值（鼻尖）：对 $R^{\bar{\nu}}$ 求导得极小值点在 $\sin^2\theta_w = 9/35 \approx 0.257$，此时坐标约为 $(0.371, 0.294)$。这是曲线在水平方向上的最左端。
3. 物理观测点：代入真实值 $\sin^2\theta_w = 0.23$，得到 $(R^{\bar{\nu}}, R^\nu) \approx (0.373, 0.311)$。该点非常靠近曲线的最左端（鼻尖）。
4. $R^\nu$ 极小值：对 $R^\nu$ 求导得极小值点在 $\sin^2\theta_w = 9/14 \approx 0.643$，此时坐标约为 $(0.660, 0.178)$。这是曲线在垂直方向上的最底端。
5. 终点：当 $\sin^2\theta_w = 1$ 时，$(R^{\bar{\nu}}, R^\nu) \approx (1.444, 0.278)$。

曲线草图描述： 该曲线在 $R^{\bar{\nu}}$-$R^\nu$ 平面上被称为 Weinberg's nose。它从右上方的 $(0.5, 0.5)$ 出发，向左下方弯曲延伸，在 $\sin^2\theta_w \approx 0.26$ 处达到最左侧的“鼻尖”；随后曲线向右下方折返，在 $\sin^2\theta_w \approx 0.64$ 处达到最低点；最后向右上方无限延伸。实验测量的物理点恰好落在该抛物线最突出的“鼻尖”附近。