习题 4.1 - 解答

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在旧正则微扰论（老式微扰论，Time-Ordered Perturbation Theory, TOPT）的框架下，处理 $e^+e^- \rightarrow \gamma \rightarrow \mu^+\mu^-$ 散射过程时，中间态粒子（光子）被视为处于质量壳上（on-shell），即其能量与动量满足 $E_\gamma = |\vec{k}|$（取自然单位制 $c=1$）。但由于能量在相互作用顶点处不守恒，系统需要对所有可能的时间排序（time slicings）进行求和，以恢复洛伦兹协变性。

设初态 $|i\rangle$ 为 $e^+e^-$，总能量为 $E_i = E_{e^+} + E_{e^-}$。 设末态 $|f\rangle$ 为 $\mu^+\mu^-$，总能量为 $E_f = E_{\mu^+} + E_{\mu^-}$。 由整个过程的能量守恒可知 $E_i = E_f$。 中间态光子的三维动量由动量守恒决定：$\vec{k} = \vec{p}_{e^+} + \vec{p}_{e^-}$，其在壳能量为 $E_\gamma = |\vec{k}|$。

(a) 两种时间排序下的能量分母项

在 TOPT 中，跃迁矩阵元包含形如 $\frac{1}{E_i - E_0}$ 的传播子因子，其中 $E_0$ 是中间态的总能量。对于 s-道 过程，存在两种可能的时间排序：

1. 时间排序 1（正向时间过程）： 初态 $e^+e^-$ 在时间 $t_1$ 湮灭并产生一个光子 $\gamma$，随后该光子在时间 $t_2$ ($t_2 > t_1$) 衰变为 $\mu^+\mu^-$。 此时中间态仅包含一个光子，中间态总能量 $E_0 = E_\gamma$。 对应的能量分母项为： $\frac{1}{E_i - E_\gamma}$

2. 时间排序 2（逆向时间过程 / 真空涨落）： 在时间 $t_1$，真空自发产生末态粒子 $\mu^+\mu^-$ 以及一个光子 $\gamma$。随后在时间 $t_2$ ($t_2 > t_1$)，初态粒子 $e^+e^-$ 与该光子 $\gamma$ 共同湮灭为真空。 此时中间态同时包含初态粒子、末态粒子和光子，即 $|e^+, e^-, \mu^+, \mu^-, \gamma\rangle$。 中间态总能量 $E_0 = E_i + E_f + E_\gamma$。代入 $E_f = E_i$，得到 $E_0 = 2E_i + E_\gamma$。 对应的能量分母项为： $\frac{1}{E_i - (2E_i + E_\gamma)} = \frac{1}{-E_i - E_\gamma}$

(b) 证明两项之和为 $\frac{2E_\gamma}{k^2}$

将 (a) 中得到的两个时间排序的能量分母项相加： $\sum \frac{1}{E_i - E_0} = \frac{1}{E_i - E_\gamma} + \frac{1}{-E_i - E_\gamma}$

提取负号并通分化简： $\frac{1}{E_i - E_\gamma} - \frac{1}{E_i + E_\gamma} = \frac{(E_i + E_\gamma) - (E_i - E_\gamma)}{(E_i - E_\gamma)(E_i + E_\gamma)} = \frac{2E_\gamma}{E_i^2 - E_\gamma^2}$

现在引入虚光子（virtual off-shell photon）的四维动量 $k_\mu$。在协变微扰论（如费曼图规则）中，虚光子的四维动量由外线粒子的四维动量守恒完全决定： $k_\mu = (E_i, \vec{k})$ 其四维动量平方（不变质量的平方）为： $k^2 = E_i^2 - |\vec{k}|^2$

由于在 TOPT 中定义的 $E_\gamma$ 是光子的在壳能量，满足 $E_\gamma = |\vec{k}|$，因此我们可以将 $k^2$ 写为： $k^2 = E_i^2 - E_\gamma^2$

将此关系代入前面求和得到的结果分母中，即得： $\frac{2E_\gamma}{E_i^2 - E_\gamma^2} = \frac{2E_\gamma}{k^2}$

这表明，非协变的 TOPT 中对所有时间排序的求和，自然地重构出了协变费曼规则中虚粒子传播子的分母 $k^2$（相差一个与矩阵元分子约定相关的运动学因子 $2E_\gamma$）。

最终结果为： $\boxed{\frac{1}{E_i - E_\gamma} + \frac{1}{-E_i - E_\gamma} = \frac{2E_\gamma}{k^2}}$