Gauge Field Notes
17.1

Problem 17.1

schwarzChapter 17

习题 17.1

来源: 第17章, PDF第321页

17.1 In supersymmetry, each fermion has a scalar partner, and each gauge boson has a fermionic partner. For example, the partner of the electron is the selectron (e~\tilde{e}), the partner of the muon is the smuon (μ~\tilde{\mu}), and the partner of the photon is the photino (A~\tilde{A}). The Lagrangian gets additional terms:

LSUSY=LSM+(∂μe~+igAμe~)∗(∂μe~+igAμe~)+me~2∣e~∣2+geˉe~A~+ge~∗A~ˉe+A~ˉ(∂ ⁣ ⁣ ⁣/+mA~)A~+(∂μμ~+igAμμ~)∗(∂μμ~+igAμμ~)+mμ~2∣μ~∣2+gμˉμ~A~+gμ~∗A~ˉμ(17.33)\begin{aligned} \mathcal{L}_{\text{SUSY}} &= \mathcal{L}_{\text{SM}} + (\partial_{\mu} \tilde{e} + ig A_{\mu} \tilde{e})^* (\partial_{\mu} \tilde{e} + ig A_{\mu} \tilde{e}) + m_{\tilde{e}}^2 |\tilde{e}|^2 + g \bar{e} \tilde{e} \tilde{A} + g \tilde{e}^* \bar{\tilde{A}} e \\ &+ \bar{\tilde{A}} (\partial \! \! \! / + m_{\tilde{A}}) \tilde{A} + (\partial_{\mu} \tilde{\mu} + ig A_{\mu} \tilde{\mu})^* (\partial_{\mu} \tilde{\mu} + ig A_{\mu} \tilde{\mu}) + m_{\tilde{\mu}}^2 |\tilde{\mu}|^2 + g \bar{\mu} \tilde{\mu} \tilde{A} + g \tilde{\mu}^* \bar{\tilde{A}} \mu \end{aligned} \tag{17.33}

The smuon and selectron have the same electric charge, −1-1 (here gg denotes the electric charge, αe=g24π∼1137\alpha_e = \frac{g^2}{4\pi} \sim \frac{1}{137}). The size of the Yukawa couplings is fixed to be gg as well, by gauge invariance and supersymmetry.

(a) Calculate the contribution of loops involving the smuon to the muon's magnetic dipole moment.

(b) The current best experimental value for g−2g-2 of the muon is gμ−22=0.001 165 920 8±(6.3×10−10)\frac{g_{\mu}-2}{2} = 0.001\,165\,920\,8 \pm (6.3 \times 10^{-10}). The current theory prediction (assuming the Standard Model only) is gμ−22=0.001 165 918 2±(8.0×10−10)\frac{g_{\mu}-2}{2} = 0.001\,165\,918\,2 \pm (8.0 \times 10^{-10}). What bound on mμ~m_{\tilde{\mu}} do you get from this measurement?

(c) For other reasons, we expect mA~∼mμ~∼me~∼MSUSYm_{\tilde{A}} \sim m_{\tilde{\mu}} \sim m_{\tilde{e}} \sim M_{\text{SUSY}}. What bound on MSUSYM_{\text{SUSY}} do you get from the muon g−2g-2?

习题 17.1 - 解答

(a) 计算斯缪子（smuon）环对缪子反常磁矩的贡献

先分析相互作用顶点。由拉格朗日量 LSUSY\mathcal{L}_{\text{SUSY}} 可知，参与该单环过程的粒子为外部的缪子（μ\mu）、光子（γ\gamma）以及内部环路中的斯缪子（μ~\tilde{\mu}）和光微子（A~\tilde{A}）。

  1. μ\mu-μ~\tilde{\mu}-A~\tilde{A} 顶点：相互作用项为 gμˉμ~A~+gμ~∗A~ˉμg \bar{\mu} \tilde{\mu} \tilde{A} + g \tilde{\mu}^* \bar{\tilde{A}} \mu，对应的顶点因子为 igig。
  2. γ\gamma-μ~\tilde{\mu}-μ~∗\tilde{\mu}^* 顶点：由斯缪子的协变导数项 (∂μμ~+igAμμ~)∗(∂μμ~+igAμμ~)(\partial_{\mu} \tilde{\mu} + ig A_{\mu} \tilde{\mu})^* (\partial^{\mu} \tilde{\mu} + ig A^{\mu} \tilde{\mu}) 展开，得到相互作用项 igAμ(μ~∗∂μμ~−μ~∂μμ~∗)ig A_\mu (\tilde{\mu}^* \partial^\mu \tilde{\mu} - \tilde{\mu} \partial^\mu \tilde{\mu}^*)。在动量空间中，设流入和流出顶点的斯缪子动量分别为 pinp_{\text{in}} 和 poutp_{\text{out}}，该顶点因子为 +ig(pin+pout)μ+ig(p_{\text{in}} + p_{\text{out}})^\mu。

考虑单环费曼图：入射缪子（动量 pp）发射一个光微子（动量 kk）并转化为斯缪子（动量 p−kp-k）；斯缪子吸收外部光子（动量 qq），动量变为 p′−kp'-k（其中 p′=p+qp' = p+q）；最后斯缪子与光微子重新结合为出射缪子（动量 p′p'）。 根据费曼规则，单环顶点函数 −igΓμ(p′,p)-ig \Gamma^\mu(p', p) 的表达式为：

−igΓμ=∫d4k(2π)4(ig)i(k̸+mA~)k2−mA~2(ig)i(p′−k)2−mμ~2[+ig(p′+p−2k)μ]i(p−k)2−mμ~2-ig \Gamma^\mu = \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} (ig) \frac{i(\not{k} + m_{\tilde{A}})}{k^2 - m_{\tilde{A}}^2} (ig) \frac{i}{(p'-k)^2 - m_{\tilde{\mu}}^2} \big[+ig(p' + p - 2k)^\mu\big] \frac{i}{(p-k)^2 - m_{\tilde{\mu}}^2}

化简系数，提取出 Γμ\Gamma^\mu：

Γμ=−ig2∫d4k(2π)4(k̸+mA~)(p′+p−2k)μ(k2−mA~2)[(p′−k)2−mμ~2][(p−k)2−mμ~2]\Gamma^\mu = -ig^2 \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} \frac{(\not{k} + m_{\tilde{A}})(p' + p - 2k)^\mu}{(k^2 - m_{\tilde{A}}^2)[(p'-k)^2 - m_{\tilde{\mu}}^2][(p-k)^2 - m_{\tilde{\mu}}^2]}

引入 Feynman 参数 x,y,zx, y, z（分别对应两个斯缪子传播子和一个光微子传播子，满足 x+y+z=1x+y+z=1），合并分母：

D=x(p′−k)2+y(p−k)2+z(k2−mA~2)−(x+y)mμ~2D = x(p'-k)^2 + y(p-k)^2 + z(k^2 - m_{\tilde{A}}^2) - (x+y)m_{\tilde{\mu}}^2

作动量平移 l=k−(xp′+yp)l = k - (xp' + yp)，分母变为 D=l2−ΔD = l^2 - \Delta。在计算磁矩时，我们取极限 q2→0q^2 \to 0，此时 xx 和 yy 对称，且 (xp′+yp)2≈(x+y)2mμ2(xp'+yp)^2 \approx (x+y)^2 m_\mu^2。由此得到：

Δ=(x+y)mμ~2+zmA~2−z(x+y)mμ2=(1−z)mμ~2+zmA~2−z(1−z)mμ2\Delta = (x+y)m_{\tilde{\mu}}^2 + z m_{\tilde{A}}^2 - z(x+y)m_\mu^2 = (1-z)m_{\tilde{\mu}}^2 + z m_{\tilde{A}}^2 - z(1-z)m_\mu^2

接下来处理分子 Nμ=(k̸+mA~)(p′+p−2k)μN^\mu = (\not{k} + m_{\tilde{A}})(p' + p - 2k)^\mu。代入 k=l+xp′+ypk = l + xp' + yp，并丢弃 ll 的奇数次项（积分后为零）以及不贡献磁矩的 l2γμl^2 \gamma^\mu 项。将分子夹在旋量 uˉ(p′)\bar{u}(p') 和 u(p)u(p) 之间，利用 Dirac 方程 p̸u(p)=mμu(p)\not{p} u(p) = m_\mu u(p) 和 uˉ(p′)̸p′=mμuˉ(p′)\bar{u}(p') \not{p}' = m_\mu \bar{u}(p')，可得：

Nμ→[(x+y)mμ+mA~][(1−2x)p′+(1−2y)p]μN^\mu \to \big[(x+y)m_\mu + m_{\tilde{A}}\big] \big[ (1-2x)p' + (1-2y)p \big]^\mu

利用 q2→0q^2 \to 0 时积分对 x↔yx \leftrightarrow y 的对称性，可将向量部分替换为 12(2−2x−2y)(p′+p)μ=z(p′+p)μ\frac{1}{2}(2-2x-2y)(p'+p)^\mu = z(p'+p)^\mu。 应用 Gordon 恒等式 uˉ(p′)(p′+p)μu(p)=uˉ(p′)[2mμγμ−iσμνqν]u(p)\bar{u}(p')(p'+p)^\mu u(p) = \bar{u}(p') \left[ 2m_\mu \gamma^\mu - i\sigma^{\mu\nu}q_\nu \right] u(p)，提取出与磁矩相关的 −iσμνqν-i\sigma^{\mu\nu}q_\nu 项：

Nmagμ=−z[(1−z)mμ+mA~]iσμνqνN^\mu_{\text{mag}} = -z \big[ (1-z)m_\mu + m_{\tilde{A}} \big] i\sigma^{\mu\nu}q_\nu

反常磁矩 aμ=F2(0)a_\mu = F_2(0) 定义为 Γμ\Gamma^\mu 中 iσμνqν2mμ\frac{i\sigma^{\mu\nu}q_\nu}{2m_\mu} 的系数。将 NmagμN^\mu_{\text{mag}} 改写为：

Nmagμ=−2mμz[(1−z)mμ+mA~]iσμνqν2mμN^\mu_{\text{mag}} = -2m_\mu z \big[ (1-z)m_\mu + m_{\tilde{A}} \big] \frac{i\sigma^{\mu\nu}q_\nu}{2m_\mu}

对动量 ll 进行 Wick 转动并积分：

∫d4l(2π)41(l2−Δ)3=−i32π2Δ\int \frac{d^4 l}{(2\pi)^4} \frac{1}{(l^2 - \Delta)^3} = \frac{-i}{32\pi^2 \Delta}

结合 Feynman 参数积分的系数 2!=22! = 2，得到 F2(0)F_2(0) 的表达式：

aμSUSY=−ig2∫01dz∫01−zdx−i16π2Δ{−2mμz[(1−z)mμ+mA~]}a_\mu^{\text{SUSY}} = -ig^2 \int_0^1 dz \int_0^{1-z} dx \frac{-i}{16\pi^2 \Delta} \Big\{ -2m_\mu z \big[ (1-z)m_\mu + m_{\tilde{A}} \big] \Big\}

由于被积函数不显含 xx，对 xx 的积分直接给出 (1−z)(1-z)。代入精细结构常数 αe=g24π\alpha_e = \frac{g^2}{4\pi}，最终得到精确的单环贡献：

aμSUSY=αe2π∫01dzmμz(1−z)[(1−z)mμ+mA~](1−z)mμ~2+zmA~2−z(1−z)mμ2\boxed{ a_\mu^{\text{SUSY}} = \frac{\alpha_e}{2\pi} \int_0^1 dz \frac{m_\mu z(1-z) \big[ (1-z)m_\mu + m_{\tilde{A}} \big]}{(1-z)m_{\tilde{\mu}}^2 + z m_{\tilde{A}}^2 - z(1-z)m_\mu^2} }

(b) 从测量值推导对 mμ~m_{\tilde{\mu}} 的限制

先分析实验与理论的偏差：

Δaμ=aμexp−aμSM=(1165920.8−1165918.2)×10−9=2.6×10−9\Delta a_\mu = a_\mu^{\text{exp}} - a_\mu^{\text{SM}} = (1165920.8 - 1165918.2) \times 10^{-9} = 2.6 \times 10^{-9}

联合误差为 σ=6.32+8.02×10−10≈10.18×10−10≈1.02×10−9\sigma = \sqrt{6.3^2 + 8.0^2} \times 10^{-10} \approx 10.18 \times 10^{-10} \approx 1.02 \times 10^{-9}。 为了给出保守的排除界限，我们要求 SUSY 的贡献不超过该偏差的 2σ2\sigma 上限（约 95% 置信度）：

aμSUSY≲Δaμ+2σ=2.6×10−9+2.04×10−9=4.64×10−9a_\mu^{\text{SUSY}} \lesssim \Delta a_\mu + 2\sigma = 2.6 \times 10^{-9} + 2.04 \times 10^{-9} = 4.64 \times 10^{-9}

(注：若按题目给出的有效数字直接相减，偏差为 2.6×10−102.6 \times 10^{-10}，联合误差为 10.18×10−1010.18 \times 10^{-10}，则 2σ2\sigma 上限为 2.6+20.36=22.96×10−10≈2.3×10−92.6 + 20.36 = 22.96 \times 10^{-10} \approx 2.3 \times 10^{-9}。此处采用 2.3×10−92.3 \times 10^{-9} 进行计算。)

为了孤立出对 mμ~m_{\tilde{\mu}} 的限制，在未指定 mA~m_{\tilde{A}} 的情况下，通常假设光微子较轻，即 mA~≪mμ~m_{\tilde{A}} \ll m_{\tilde{\mu}} 且 mμ~≫mμm_{\tilde{\mu}} \gg m_\mu。此时 (a) 中的积分简化为：

aμSUSY≈αe2π∫01dzmμ2z(1−z)2(1−z)mμ~2=αe2πmμ2mμ~2∫01z(1−z)dz=αe12πmμ2mμ~2a_\mu^{\text{SUSY}} \approx \frac{\alpha_e}{2\pi} \int_0^1 dz \frac{m_\mu^2 z(1-z)^2}{(1-z)m_{\tilde{\mu}}^2} = \frac{\alpha_e}{2\pi} \frac{m_\mu^2}{m_{\tilde{\mu}}^2} \int_0^1 z(1-z) dz = \frac{\alpha_e}{12\pi} \frac{m_\mu^2}{m_{\tilde{\mu}}^2}

要求 aμSUSY≲2.3×10−9a_\mu^{\text{SUSY}} \lesssim 2.3 \times 10^{-9}，代入 αe≈1/137\alpha_e \approx 1/137 和 mμ≈0.10566 GeVm_\mu \approx 0.10566 \text{ GeV}：

mμ~≳mμαe12π×2.3×10−9=0.10566×1/13712π×2.3×10−9≈30.6 GeVm_{\tilde{\mu}} \gtrsim m_\mu \sqrt{\frac{\alpha_e}{12\pi \times 2.3 \times 10^{-9}}} = 0.10566 \times \sqrt{\frac{1/137}{12\pi \times 2.3 \times 10^{-9}}} \approx 30.6 \text{ GeV}
mμ~≳31 GeV(假设 mA~≪mμ~ 且取 2σ 上限)\boxed{ m_{\tilde{\mu}} \gtrsim 31 \text{ GeV} \quad (\text{假设 } m_{\tilde{A}} \ll m_{\tilde{\mu}} \text{ 且取 } 2\sigma \text{ 上限}) }

(c) 从测量值推导对 MSUSYM_{\text{SUSY}} 的限制

现在假设所有超对称粒子的质量处于同一标度，即 mA~∼mμ~∼MSUSY≫mμm_{\tilde{A}} \sim m_{\tilde{\mu}} \sim M_{\text{SUSY}} \gg m_\mu。 将此条件代入 (a) 中的精确公式，分母近似为 (1−z)MSUSY2+zMSUSY2=MSUSY2(1-z)M_{\text{SUSY}}^2 + z M_{\text{SUSY}}^2 = M_{\text{SUSY}}^2。分子中的 (1−z)mμ(1-z)m_\mu 相比于 mA~=MSUSYm_{\tilde{A}} = M_{\text{SUSY}} 可以忽略。积分简化为：

aμSUSY≈αe2π∫01dzmμz(1−z)MSUSYMSUSY2=αe2πmμMSUSY∫01z(1−z)dz=αe12πmμMSUSYa_\mu^{\text{SUSY}} \approx \frac{\alpha_e}{2\pi} \int_0^1 dz \frac{m_\mu z(1-z) M_{\text{SUSY}}}{M_{\text{SUSY}}^2} = \frac{\alpha_e}{2\pi} \frac{m_\mu}{M_{\text{SUSY}}} \int_0^1 z(1-z) dz = \frac{\alpha_e}{12\pi} \frac{m_\mu}{M_{\text{SUSY}}}

物理说明：注意这里 aμSUSYa_\mu^{\text{SUSY}} 正比于 mμ/MSUSYm_\mu / M_{\text{SUSY}} 而不是 (mμ/MSUSY)2(m_\mu / M_{\text{SUSY}})^2。这是因为题目给定的拉格朗日量中，标量耦合 gμˉμ~A~g \bar{\mu} \tilde{\mu} \tilde{A} 允许在内部光微子线上发生手征翻转（Chirality flip），从而带来一个正比于内部费米子质量 mA~m_{\tilde{A}} 的手征增强效应（Chiral enhancement）。

同样要求 aμSUSY≲2.3×10−9a_\mu^{\text{SUSY}} \lesssim 2.3 \times 10^{-9}（2σ2\sigma 上限），解得对 MSUSYM_{\text{SUSY}} 的限制：

MSUSY≳αe12πmμ2.3×10−9=1/13712π0.105662.3×10−9≈8894 GeVM_{\text{SUSY}} \gtrsim \frac{\alpha_e}{12\pi} \frac{m_\mu}{2.3 \times 10^{-9}} = \frac{1/137}{12\pi} \frac{0.10566}{2.3 \times 10^{-9}} \approx 8894 \text{ GeV}
MSUSY≳8.9 TeV(取 2σ 上限)\boxed{ M_{\text{SUSY}} \gtrsim 8.9 \text{ TeV} \quad (\text{取 } 2\sigma \text{ 上限}) }