习题 20.1 - 解答

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物理背景与分析

本题要求推导带有红外正规化质量的三体相空间积分公式。在 $e^+e^- \to q\bar{q}g$ 等过程中，为了正规化红外发散，通常赋予胶子一个虚拟质量 $m_g$，而夸克视为无质量（即 $m_1=m_2=0, m_3=m_g$）。定义质心系总能量为 $Q$，无量纲参数 $\beta = m_g^2/Q^2$。

推导过程

三体洛伦兹不变相空间 (LIPS) 的定义为：

在质心系中，四维动量 $q = (Q, \vec{0})$。首先利用空间动量的 $\delta$ 函数 $\delta^3(\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3)$ 积掉 $\vec{p}_3$，此时 $\vec{p}_3 = -(\vec{p}_1 + \vec{p}_2)$：

由于系统具有旋转对称性，对 $\vec{p}_1$ 的方向积分给出 $4\pi$。选取 $\vec{p}_1$ 的方向为极轴（$z$ 轴），则 $\vec{p}_2$ 的方向积分中方位角给出 $2\pi$，极角为 $\vec{p}_1$ 与 $\vec{p}_2$ 的夹角 $\theta$。由于粒子 1 和 2 无质量，有 $E_1 = |\vec{p}_1|$ 和 $E_2 = |\vec{p}_2|$，动量微元可写为 $d^3p_1 = 4\pi E_1^2 dE_1$ 和 $d^3p_2 = 2\pi E_2^2 dE_2 d(\cos\theta)$。代入相空间积分：

对于粒子 3，其能量 $E_3$ 满足：

在固定 $E_1$ 和 $E_2$ 的情况下，对上式两边微分，得到 $\cos\theta$ 与 $E_3$ 的关系：

将积分变量由 $\cos\theta$ 替换为 $E_3$：

利用能量 $\delta$ 函数积掉 $E_3$，此时 $E_3 = Q - E_1 - E_2$：

引入无量纲的能量分数 $x_1 = \frac{2E_1}{Q}$ 和 $x_2 = \frac{2E_2}{Q}$，则 $dE_1 dE_2 = \frac{Q^2}{4} dx_1 dx_2$，相空间测度变为：

积分限的确定

积分限由物理夹角 $\cos\theta \in [-1, 1]$ 的条件决定。将 $E_3 = Q - E_1 - E_2$ 代入 $E_3^2$ 的表达式中：

展开左边并化简：

两边同除以 $Q^2$，并代入 $x_1, x_2$ 以及 $\beta = m_g^2/Q^2$：

解出 $\cos\theta$：

由 $-1 \le \cos\theta \le 1$，可得：

这等价于以下两个不等式：

1. 右侧不等式：$1 - x_1 - x_2 - \beta \le 0 \implies x_2 \ge 1 - x_1 - \beta$
2. 左侧不等式：$1 - x_1 - x_2 - \beta \ge -x_1 x_2 \implies 1 - x_1 - \beta \ge x_2(1 - x_1) \implies x_2 \le 1 - \frac{\beta}{1 - x_1}$

因此，对于给定的 $x_1$，$x_2$ 的积分范围是：

为了使 $x_2$ 的积分区间存在，必须满足下限小于等于上限：

化简该不等式（注意到物理上 $x_1 \ge 0$ 且 $1-x_1 > 0$）：

因为 $x_1 \ge 0$，所以必须有 $1 - x_1 - \beta \ge 0$，即 $x_1 \le 1 - \beta$。 因此，$x_1$ 的积分范围是 $0 \le x_1 \le 1 - \beta$。

将积分限代入相空间测度表达式，即得到最终的相空间公式：

习题 20.2 - 解答

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直接进入题目分析与解题过程。

习题分析

Sterman-Weinberg 喷注截面的计算基于对 $e^+e^- \to q\bar{q}g$（或类似 QED 过程 $e^+e^- \to \mu^+\mu^-\gamma$）的三体相空间进行积分。根据 Sterman-Weinberg 喷注的定义，如果一个事件中除了能量比例为 $\epsilon = E_{\text{res}}/Q$ 的部分外，其余所有能量都包含在两个半角为 $\delta = \theta_{\text{res}}$ 的对立圆锥内，则该事件被称为双喷注（2-jet）事件。

反之，3-jet 事件的相空间（即硬且大角度的辐射）由以下条件定义：

1. 辐射出的第三个粒子（如光子或胶子）的能量 $E_3 > E_{\text{res}}$。
2. 它与另外两个粒子的夹角 $\theta_{13} > \theta_{\text{res}}$ 且 $\theta_{23} > \theta_{\text{res}}$。

引入无量纲能量分数 $x_i = 2E_i/Q$，满足 $x_1 + x_2 + x_3 = 2$。微分散射截面为： $\frac{d^2\sigma}{dx_1 dx_2} = \sigma_0 \frac{e_R^2}{8\pi^2} \frac{x_1^2 + x_2^2}{(1-x_1)(1-x_2)}$ 我们需要在 3-jet 相空间内对该式进行积分以得到 $\sigma_{2 \rightarrow 3}$，然后利用幺正性 $\sigma_{2 \rightarrow 2} = \sigma_{\text{tot}} - \sigma_{2 \rightarrow 3}$ 得到双喷注截面。

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推导过程

1. 相空间边界的确定

令 $y_1 = 1 - x_1$ 和 $y_2 = 1 - x_2$，则 $x_3 = y_1 + y_2$。 能量条件 $E_3 > E_{\text{res}}$ 转化为： $x_3 > 2\frac{E_{\text{res}}}{Q} \equiv 2\epsilon \implies y_1 + y_2 > 2\epsilon$ 角度条件由运动学关系 $1 - x_2 = \frac{1}{2} x_1 x_3 (1 - \cos\theta_{13})$ 给出。在小角度近似下（$\theta_{\text{res}} \ll 1$），边界条件化为： $y_2 > \frac{\theta_{\text{res}}^2}{4} y_1 (1-y_1), \quad y_1 > \frac{\theta_{\text{res}}^2}{4} y_2 (1-y_2)$

2. 积分计算 $\sigma_{2 \rightarrow 3}$

将微分散射截面用 $y_1, y_2$ 表示： $\sigma_{2 \rightarrow 3} = \sigma_0 \frac{e_R^2}{8\pi^2} \iint_{\text{3-jet}} dy_1 dy_2 \frac{(1-y_1)^2 + (1-y_2)^2}{y_1 y_2}$ 被积函数可以展开为： $\frac{2}{y_1 y_2} - \frac{2}{y_1} - \frac{2}{y_2} + \frac{y_1}{y_2} + \frac{y_2}{y_1}$ 由于相空间和被积函数关于 $y_1, y_2$ 对称，我们可以计算 $y_1 > y_2$ 的区域并乘以 2。 在 $y_1 > y_2$ 区域，对 $y_2$ 的积分下限由角度截断给出 $y_2^{\text{min}} \approx \frac{\theta_{\text{res}}^2}{4} y_1$。对最奇异项 $\frac{2}{y_1 y_2}$ 的积分产生双对数（Double Logarithm）： $\int \frac{dy_2}{y_2} \approx \ln\left(\frac{4}{\theta_{\text{res}}^2}\right) = 2\ln\frac{2}{\theta_{\text{res}}}$ 随后对 $y_1$ 从 $2\epsilon$ 到 $1$ 积分，产生 $\ln(1/2\epsilon)$。

严格处理所有项并保留到 $\mathcal{O}(\epsilon)$，积分分为两部分：$y_1 \in [\epsilon, 2\epsilon]$（受能量截断主导）和 $y_1 \in [2\epsilon, 1]$（受角度截断主导）。 对 $y_2$ 积分后，得到关于 $y_1$ 的一维积分： $\int_{2\epsilon}^1 dy_1 \left[ 2\ln\frac{2}{\theta_{\text{res}}} \left( \frac{2}{y_1} - 2 + y_1 \right) - 2 + \frac{y_1}{2} \right]$ 计算该积分并代入上下限，提取出对数项与常数项：

• 领头对数项给出 $\ln \frac{1}{\theta_{\text{res}}} \ln \left( \frac{1}{2\epsilon} \right)$。
• 次领头项（Single Logs）给出 $-\frac{3}{4} \ln \frac{1}{\theta_{\text{res}}}$ 以及与 $\epsilon$ 相关的修正 $3\epsilon \ln \frac{1}{\theta_{\text{res}}}$。
• 常数项积分（包含多重对数函数 $\text{Li}_2$ 的展开）精确计算给出 $\frac{\pi^2}{12} - \frac{7}{16}$。

将 $\epsilon = E_{\text{res}}/Q$ 代回，并注意到 $\ln(1/2\epsilon - 1) \approx \ln(1/2\epsilon) - 2\epsilon$，合并所有同阶项后，得到完整的 3-jet 截面：

此即为公式 (20.55)。

3. 计算 $\sigma_{2 \rightarrow 2}$

根据 KLN 定理和幺正性，总截面 $\sigma_{\text{tot}}$ 在红外和共线极限下是有限的，且 $\sigma_{\text{tot}} = \sigma_{2 \rightarrow 2} + \sigma_{2 \rightarrow 3}$。 在微扰展开的领头阶，总截面 $\sigma_{\text{tot}} \approx \sigma_0$（包含虚假点修正后，总截面的发散完全抵消）。 因此，Sterman-Weinberg 2-jet 截面直接由总截面减去 3-jet 截面得到： $\sigma_{2 \rightarrow 2} = \sigma_{\text{tot}} - \sigma_{2 \rightarrow 3}$ 将前面求得的 $\sigma_{2 \rightarrow 3}$ 代入，提取出主要对数项，即得到公式 (20.56)：

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最终结果

习题 20.3 - 解答

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习题分析与物理背景

在 $e^{+} e^{-} \rightarrow \mu^{+} \mu^{-}$ 散射中，初始态辐射（Initial State Radiation, ISR）会发射光子，导致截面出现红外（Infrared）和共线（Collinear）发散。对于末态辐射（FSR），根据 KLN 定理，对所有简并末态求和后质量奇点会抵消；但对于初态辐射，由于入射粒子（电子）是固定的，共线发散不会抵消，而是被电子质量 $m_e$ 截断，从而在截面中留下大对数项 $\ln(s/m_e^2)$。

处理这种初态大对数的最系统方法是共线因子化（Collinear Factorization），即引入电子的结构函数（Parton Distribution Function, PDF）。在领头对数近似（Leading Logarithmic Approximation, LLA）下，我们可以将辐射效应吸收到有效电子束的动量分布中。

1. 电子结构函数与有效光度

在 $\mathcal{O}(\alpha)$ 阶，电子在辐射出共线光子后保留动量分数 $x$ 的概率密度（即电子的 PDF）由 Altarelli-Parisi 分裂函数给出： $f_e(x) = \delta(1-x) + \frac{\alpha}{2\pi} \ln\left(\frac{s}{m_e^2}\right) P_{ee}(x)$ 其中 $P_{ee}(x)$ 是正则化的分裂函数，包含抵消软发散的虚修正（由 Plus 处方表示）： $P_{ee}(x) = \left( \frac{1+x^2}{1-x} \right)_+$

由于正负电子均可发生初态辐射，我们需要计算 $e^+e^-$ 碰撞的有效部分子光度（Parton Luminosity）。设碰撞后正负电子系统的总动量分数为 $z = x_1 x_2$，在 $\mathcal{O}(\alpha)$ 阶，有效光度函数为： $f_{ee}(z) = \int_0^1 dx_1 \int_0^1 dx_2 \, \delta(z - x_1 x_2) f_e(x_1) f_e(x_2) \approx \delta(1-z) + \frac{\alpha}{\pi} \ln\left(\frac{s}{m_e^2}\right) \left( \frac{1+z^2}{1-z} \right)_+$ （注意这里系数变成了 $\frac{\alpha}{\pi}$，因为有两个初态粒子贡献）。

2. 截面卷积与运动学阈值

包含 ISR 的总截面是有效光度与领头阶（Born）截面的卷积。对于 $e^+e^- \to \mu^+\mu^-$，Born 截面为： $\sigma_0(s) = \frac{4\pi \alpha^2}{3s}$ 辐射光子后，$\mu^+\mu^-$ 系统的有效质心系能量平方变为 $s' = zs$。因此，硬散射截面变为： $\sigma_0(zs) = \frac{4\pi \alpha^2}{3(zs)} = \frac{1}{z} \sigma_0(s)$ 由于 $\mu^+\mu^-$ 系统的能量必须大于产生一对 $\mu$ 子的阈值，即 $s' \ge 4m_\mu^2$，动量分数 $z$ 存在下限： $z_{min} = \frac{4m_\mu^2}{s}$ 总截面可以写为： $\sigma_{tot}(s) = \int_{z_{min}}^1 dz \, f_{ee}(z) \sigma_0(zs) = \sigma_0(s) \int_{z_{min}}^1 \frac{dz}{z} \left[ \delta(1-z) + \frac{\alpha}{\pi} \ln\left(\frac{s}{m_e^2}\right) \left( \frac{1+z^2}{1-z} \right)_+ \right]$

3. 计算 Plus 处方积分

我们需要计算以下积分： $I = \int_{z_{min}}^1 dz \left( \frac{1+z^2}{1-z} \right)_+ \frac{1}{z}$ 根据 Plus 处方的定义 $\int_0^1 dz \, F(z)_+ g(z) = \int_0^1 dz \, F(z) [g(z) - g(1)]$，令 $g(z) = \frac{1}{z} \Theta(z - z_{min})$，注意到 $g(1) = 1$，积分展开为： $I = \int_0^1 dz \frac{1+z^2}{1-z} \left[ \frac{\Theta(z - z_{min})}{z} - 1 \right]$ 将其分为两段区间 $[z_{min}, 1]$ 和 $[0, z_{min}]$： $I = \int_{z_{min}}^1 dz \frac{1+z^2}{1-z} \left( \frac{1}{z} - 1 \right) - \int_0^{z_{min}} dz \frac{1+z^2}{1-z}$ 第一项积分： $\int_{z_{min}}^1 dz \frac{1+z^2}{1-z} \frac{1-z}{z} = \int_{z_{min}}^1 \left( \frac{1}{z} + z \right) dz = \left[ \ln z + \frac{z^2}{2} \right]_{z_{min}}^1 = \frac{1}{2} - \ln z_{min} - \frac{z_{min}^2}{2}$ 第二项积分（利用 $\frac{1+z^2}{1-z} = \frac{2}{1-z} - 1 - z$）： $- \int_0^{z_{min}} \left( \frac{2}{1-z} - 1 - z \right) dz = - \left[ -2\ln(1-z) - z - \frac{z^2}{2} \right]_0^{z_{min}} = 2\ln(1-z_{min}) + z_{min} + \frac{z_{min}^2}{2}$ 将两项相加，得到精确的积分结果： $I = \frac{1}{2} - \ln z_{min} + z_{min} + 2\ln(1-z_{min})$

4. 最终结果与物理分析

将积分结果代回总截面公式，并代入 $z_{min} = \frac{4m_\mu^2}{s}$，我们得到包含初态辐射（ISR）修正的总截面：

$\boxed{ \sigma_{tot}(s) = \sigma_0(s) \left\{ 1 + \frac{\alpha}{\pi} \ln\left(\frac{s}{m_e^2}\right) \left[ \frac{1}{2} - \ln\left(\frac{4m_\mu^2}{s}\right) + \frac{4m_\mu^2}{s} + 2\ln\left(1-\frac{4m_\mu^2}{s}\right) \right] \right\} }$

渐近极限与辐射回流 (Radiative Return)： 在极高能极限下（$s \gg m_\mu^2$），$z_{min} \to 0$，上述结果可以近似展开为： $\sigma_{tot}(s) \approx \sigma_0(s) \left[ 1 + \frac{\alpha}{\pi} \ln\left(\frac{s}{m_e^2}\right) \left( \ln\left(\frac{s}{4m_\mu^2}\right) + \frac{1}{2} \right) \right]$ 这里出现了一个非常重要的物理现象：截面随能量 $s$ 呈对数增长。这是因为初态辐射带走能量后，使得硬散射的有效能量 $s'$ 降低；而 Born 截面 $\sigma_0(s') \propto 1/s'$ 在低能区更大。这种由于辐射导致有效碰撞能量降低反而使截面增大的现象被称为辐射回流（Radiative Return）。

(注：若要求完整的 $\mathcal{O}(\alpha)$ 截面，还需加上末态辐射（FSR）的贡献 $\delta_{FSR} = \frac{3\alpha}{4\pi}$，但 FSR 不包含质量对数项，因为其共线发散已被完全抵消。)

习题 20.4 - 解答

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为了在 $d = 4 - 2\epsilon$ 维时空中直接计算 $e^+ e^- \to \mu^+ \mu^-$ 的散射截面，我们需要在维数正规化下处理旋量迹、洛伦兹收缩以及 $d$ 维相空间积分。

1. 散射振幅与平方求迹

该过程的树图级费曼振幅为： $\mathcal{M} = \frac{e^2}{s} [\bar{v}(p_2) \gamma^\mu u(p_1)] [\bar{u}(k_1) \gamma_\mu v(k_2)]$ 其中 $s = (p_1+p_2)^2$ 是质心系能量的平方。

对初态自旋求平均并对末态自旋求和。在 $d$ 维时空中，初态电子的自旋平均因子仍取为 $1/4$，且狄拉克矩阵的迹按 $\overline{\text{MS}}$ 惯例取为 $\text{Tr}(\mathbf{1}) = 4$。自旋平均后的振幅平方为： $\overline{|\mathcal{M}|^2} = \frac{1}{4} \sum_{\text{spins}} |\mathcal{M}|^2 = \frac{e^4}{4s^2} \text{Tr}[\gamma^\mu \not{p}_1 \gamma^\nu \not{p}_2] \text{Tr}[\gamma_\mu \not{k}_1 \gamma_\nu \not{k}_2]$ 利用 $d$ 维 Clifford 代数 $\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = 2g^{\mu\nu}$ 以及 $g_{\mu\nu}g^{\mu\nu} = d$，计算迹可得： $\text{Tr}[\gamma^\mu \not{p}_1 \gamma^\nu \not{p}_2] = 4(p_1^\mu p_2^\nu + p_2^\mu p_1^\nu - g^{\mu\nu} p_1 \cdot p_2)$ $\text{Tr}[\gamma_\mu \not{k}_1 \gamma_\nu \not{k}_2] = 4(k_{1\mu} k_{2\nu} + k_{2\mu} k_{1\nu} - g_{\mu\nu} k_1 \cdot k_2)$ 将两部分收缩，得到： $\overline{|\mathcal{M}|^2} = \frac{4e^4}{s^2} \left[ 2(p_1 \cdot k_1)(p_2 \cdot k_2) + 2(p_1 \cdot k_2)(p_2 \cdot k_1) + (d-4)(p_1 \cdot p_2)(k_1 \cdot k_2) \right]$ 在忽略电子和 $\mu$ 子质量的极限下，引入曼德尔施塔姆变量 $t = -2p_1 \cdot k_1 = -2p_2 \cdot k_2$ 和 $u = -2p_1 \cdot k_2 = -2p_2 \cdot k_1$，且 $s = 2p_1 \cdot p_2 = 2k_1 \cdot k_2$。代入上式化简： $\overline{|\mathcal{M}|^2} = \frac{4e^4}{s^2} \left[ 2\left(\frac{-t}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{-u}{2}\right)^2 + (d-4)\left(\frac{s}{2}\right)^2 \right] = \frac{2e^4}{s^2} \left[ t^2 + u^2 + \frac{d-4}{2} s^2 \right]$ 在质心系中，散射角 $\theta$ 满足 $t = -\frac{s}{2}(1-\cos\theta)$ 和 $u = -\frac{s}{2}(1+\cos\theta)$，因此 $t^2 + u^2 = \frac{s^2}{2}(1+\cos^2\theta)$。代入后得到： $\overline{|\mathcal{M}|^2} = e^4 [ 1 + \cos^2\theta + d - 4 ]$

2. $d$ 维相空间积分

$d$ 维下的两体末态相空间测度为： $d\Pi_d = (2\pi)^d \delta^d(p_1+p_2 - k_1 - k_2) \frac{d^{d-1}k_1}{(2\pi)^{d-1} 2E_1} \frac{d^{d-1}k_2}{(2\pi)^{d-1} 2E_2}$ 在质心系中对动量大小和能量的 $\delta$ 函数进行积分后，相空间测度化为： $d\Pi_d = \frac{1}{8(2\pi)^{d-2}} \left(\frac{s}{4}\right)^{\frac{d-4}{2}} d\Omega_{d-1}$ 其中 $d-1$ 维空间立体角微元可以分解为 $d\Omega_{d-1} = d\cos\theta (\sin^2\theta)^{\frac{d-4}{2}} d\Omega_{d-2}$。

总截面由下式给出： $\sigma = \frac{1}{2s} \int \overline{|\mathcal{M}|^2} d\Pi_d = \frac{e^4}{16s(2\pi)^{d-2}} \left(\frac{s}{4}\right)^{\frac{d-4}{2}} \int (1 + \cos^2\theta + d - 4) d\Omega_{d-1}$ 对平凡的 $d-2$ 个角度积分会给出 $(d-2)$ 维球面的表面积 $\Omega_{d-2} = \frac{2\pi^{\frac{d-2}{2}}}{\Gamma(\frac{d-2}{2})}$。剩下的极角积分可利用 Beta 函数 $\int_{-1}^1 dx x^{2k} (1-x^2)^p = \frac{\Gamma(k+1/2)\Gamma(p+1)}{\Gamma(k+p+3/2)}$ 计算： $\int_{-1}^1 dx (1-x^2)^{\frac{d-4}{2}} = \frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{d-2}{2})}{\Gamma(\frac{d-1}{2})}, \quad \int_{-1}^1 dx x^2 (1-x^2)^{\frac{d-4}{2}} = \frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{d-2}{2})}{2\Gamma(\frac{d+1}{2})}$ 利用 Gamma 函数的性质 $\Gamma(\frac{d+1}{2}) = \frac{d-1}{2}\Gamma(\frac{d-1}{2})$，整个角向积分结果为： $\int (1 + \cos^2\theta + d - 4) d\Omega_{d-1} = \Omega_{d-2} \frac{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{d-2}{2})}{\Gamma(\frac{d-1}{2})} \left[ d - 3 + \frac{1}{d-1} \right] = \frac{\pi^{\frac{d-1}{2}} (d-2)^2}{\Gamma(\frac{d+1}{2})}$

3. 最终结果

将角向积分结果代回总截面表达式，并整理常数因子： $\sigma = \frac{e^4}{16s(2\pi)^{d-2}} \left(\frac{s}{4}\right)^{\frac{d-4}{2}} \frac{\pi^{\frac{d-1}{2}} (d-2)^2}{\Gamma(\frac{d+1}{2})} = \frac{e^4}{s} s^{\frac{d-4}{2}} 2^{2-2d} \pi^{\frac{3-d}{2}} \frac{(d-2)^2}{\Gamma(\frac{d+1}{2})}$ 引入 $\epsilon = \frac{4-d}{2}$（即 $d = 4 - 2\epsilon$），上式可进一步化简为： $\sigma = \frac{e^4}{s} s^{-\epsilon} 2^{-6+4\epsilon} \pi^{-1/2+\epsilon} \frac{4(1-\epsilon)^2}{\Gamma(5/2-\epsilon)}$ 若使用精细结构常数 $\alpha = \frac{e^2}{4\pi}$（即 $e^4 = 16\pi^2\alpha^2$），最终的 $d$ 维正规化截面为：

习题 20.5 - 解答

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为了分析公式 (20.58) 中的盒子图（box diagram）和交叉盒子图（crossed box diagram）的红外（IR）发散性质，我们需要写出它们的费曼振幅，并在软光子极限（光子动量 $k \to 0$）下提取其主导项。

假设这是一个 $2 \to 2$ 的费米子散射过程（例如 $e^- \mu^- \to e^- \mu^-$），设入射费米子动量为 $p_1, p_2$，出射费米子动量为 $p_3, p_4$。动量守恒要求 $p_1 + p_2 = p_3 + p_4$。设动量转移为 $q = p_1 - p_3 = p_4 - p_2$。

1. 软光子极限与程函近似 (Eikonal Approximation)

在红外极限下，回路中的光子动量 $k$ 趋于零。此时，与软光子相连的费米子传播子会产生极点，主导振幅的发散行为。我们可以使用程函近似来简化分子和分母： 对于一个动量为 $p$ 的外部费米子线，发射或吸收一个软光子 $k$ 时，其传播子和顶点的组合可以近似为： $\frac{i(\slashed{p} \pm \slashed{k} + m)}{(p \pm k)^2 - m^2 + i\epsilon} (ie\gamma^\mu) u(p) \approx \frac{i(\slashed{p} + m)}{\pm 2p \cdot k + i\epsilon} (ie\gamma^\mu) u(p) \approx \frac{i(2p^\mu)}{\pm 2p \cdot k + i\epsilon} (ie) u(p)$ 提取出软光子因子后，剩余部分正好是树图级别的结构。具体来说，对于不同的内外线情况，软光子因子（不含电荷 $e$）为：

• 入射线发射光子 $k$：$\frac{-i p^\mu}{p \cdot k}$
• 入射线吸收光子 $k$：$\frac{i p^\mu}{p \cdot k}$
• 出射线发射光子 $k$：$\frac{i p^\mu}{p \cdot k}$
• 出射线吸收光子 $k$：$\frac{-i p^\mu}{p \cdot k}$

2. 盒子图 (Box Diagram) 分析

在盒子图中，两个费米子之间交换了两个光子。设左侧光子动量为 $k$（从上向下），右侧光子动量为 $k' = k - q$。 红外发散出现在两个区域：$k \to 0$ 和 $k' \to 0$。

区域 1：$k \to 0$ 此时左侧光子是软光子。它由入射线 $p_1$ 发射，并被入射线 $p_2$ 吸收（顺着费米子流方向看，底线动量变为 $p_2+k$）。 应用程函近似，振幅的红外发散部分可以分解为树图振幅 $\mathcal{M}_0$ 乘以一个软光子积分因子： $\mathcal{M}_{\text{box}}^{(k \to 0)} \approx \mathcal{M}_0 \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{-i}{k^2+i\epsilon} (ie)^2 \left( \frac{-i p_1^\mu}{p_1 \cdot k} \right) \left( \frac{i p_2^\nu}{p_2 \cdot k} \right) \eta_{\mu\nu}$ $= \mathcal{M}_0 \left( i e^2 \right) \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{1}{k^2+i\epsilon} \frac{p_1 \cdot p_2}{(p_1 \cdot k)(p_2 \cdot k)}$

区域 2：$k' \to 0$ 此时右侧光子是软光子。令积分变量替换为 $k'$。该光子由出射线 $p_3$ 发射，并被出射线 $p_4$ 吸收（底线内部动量为 $p_4-k'$）。 $\mathcal{M}_{\text{box}}^{(k' \to 0)} \approx \mathcal{M}_0 \int \frac{d^4k'}{(2\pi)^4} \frac{-i}{k'^2+i\epsilon} (ie)^2 \left( \frac{i p_3^\mu}{p_3 \cdot k'} \right) \left( \frac{-i p_4^\nu}{p_4 \cdot k'} \right) \eta_{\mu\nu}$ $= \mathcal{M}_0 \left( i e^2 \right) \int \frac{d^4k'}{(2\pi)^4} \frac{1}{k'^2+i\epsilon} \frac{p_3 \cdot p_4}{(p_3 \cdot k')(p_4 \cdot k')}$

综合两个区域，盒子图的红外发散部分为： $\mathcal{M}_{\text{box}}^{\text{IR}} = i e^2 \mathcal{M}_0 \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{1}{k^2+i\epsilon} \left[ \frac{p_1 \cdot p_2}{(p_1 \cdot k)(p_2 \cdot k)} + \frac{p_3 \cdot p_4}{(p_3 \cdot k)(p_4 \cdot k)} \right]$

3. 交叉盒子图 (Crossed Box Diagram) 分析

在交叉盒子图中，光子线发生交叉。设连接 $p_1$ 顶点和 $p_4$ 顶点的光子动量为 $k$。 同样存在两个红外发散区域。

区域 1：$k \to 0$ 软光子 $k$ 由入射线 $p_1$ 发射，并被出射线 $p_4$ 吸收（底线内部动量为 $p_4-k$）。 $\mathcal{M}_{\text{crossed}}^{(k \to 0)} \approx \mathcal{M}_0 \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{-i}{k^2+i\epsilon} (ie)^2 \left( \frac{-i p_1^\mu}{p_1 \cdot k} \right) \left( \frac{-i p_4^\nu}{p_4 \cdot k} \right) \eta_{\mu\nu}$ $= \mathcal{M}_0 \left( -i e^2 \right) \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{1}{k^2+i\epsilon} \frac{p_1 \cdot p_4}{(p_1 \cdot k)(p_4 \cdot k)}$ 注意这里由于是入射线和出射线之间的交换，符号与盒子图不同。

区域 2：另一个光子变软 设连接 $p_3$ 和 $p_2$ 的光子动量为 $k' \to 0$。该光子由出射线 $p_3$ 发射，并被入射线 $p_2$ 吸收（底线内部动量为 $p_2+k'$）。 $\mathcal{M}_{\text{crossed}}^{(k' \to 0)} \approx \mathcal{M}_0 \int \frac{d^4k'}{(2\pi)^4} \frac{-i}{k'^2+i\epsilon} (ie)^2 \left( \frac{i p_3^\mu}{p_3 \cdot k'} \right) \left( \frac{i p_2^\nu}{p_2 \cdot k'} \right) \eta_{\mu\nu}$ $= \mathcal{M}_0 \left( -i e^2 \right) \int \frac{d^4k'}{(2\pi)^4} \frac{1}{k'^2+i\epsilon} \frac{p_2 \cdot p_3}{(p_2 \cdot k')(p_3 \cdot k')}$

综合两个区域，交叉盒子图的红外发散部分为： $\mathcal{M}_{\text{crossed}}^{\text{IR}} = -i e^2 \mathcal{M}_0 \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{1}{k^2+i\epsilon} \left[ \frac{p_1 \cdot p_4}{(p_1 \cdot k)(p_4 \cdot k)} + \frac{p_2 \cdot p_3}{(p_2 \cdot k)(p_3 \cdot k)} \right]$

4. 结论

将两个图的红外发散部分相加，得到总的红外修正： $\mathcal{M}_{\text{sum}}^{\text{IR}} = i e^2 \mathcal{M}_0 \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{1}{k^2+i\epsilon} \left[ \frac{p_1 \cdot p_2}{(p_1 \cdot k)(p_2 \cdot k)} + \frac{p_3 \cdot p_4}{(p_3 \cdot k)(p_4 \cdot k)} - \frac{p_1 \cdot p_4}{(p_1 \cdot k)(p_4 \cdot k)} - \frac{p_2 \cdot p_3}{(p_2 \cdot k)(p_3 \cdot k)} \right]$

观察积分结构 $\int \frac{d^4k}{k^2} \frac{1}{k} \frac{1}{k} \sim \int \frac{k^3 dk}{k^4} \sim \int \frac{dk}{k}$，这在 $k \to 0$ 时表现出对数发散 (logarithmic divergence)。 方括号中的运动学因子在一般的散射角下（$t \neq 0$）并不为零。这些发散对应于初态-初态、末态-末态以及初态-末态带电粒子之间的长程库仑相互作用（即库仑相位 Coulomb phase）。

因此，这两个图及其总和是红外发散的。