Gauge Field Notes
21.1

Problem 21.1

schwarzChapter 21

习题 21.1

来源: 第21章, PDF第393页

21.1 Write down all the superficially divergent amplitudes in QED at 2-loops. Prove that all of the UV divergences can be removed with the same four counterterms required to remove the 1-loop divergences.

习题 21.1 - 解答

在量子电动力学（QED）中，分析多圈图的发散性质需要依赖表面发散度（Superficial degree of divergence）公式、Furry定理、Ward-Takahashi恒等式以及BPHZ重整化方案。

1. QED中的表面发散振幅分析

在四维时空中，QED费曼图的表面发散度 DD 由下式给出： D=4−32Ef−EbD = 4 - \frac{3}{2}E_f - E_b 其中 EfE_f 是外线费米子的数量，EbE_b 是外线光子的数量。当 D≥0D \ge 0 时，该振幅是表面发散的。由于洛伦兹不变性和费米子数守恒，EfE_f 必须是偶数。我们穷举所有可能的 D≥0D \ge 0 的情况：

  1. Ef=0,Eb=0  ⟹  D=4E_f = 0, E_b = 0 \implies D = 4：真空图（Vacuum bubbles）。它们不影响S矩阵元，通常在计算中被归一化掉。
  2. Ef=0,Eb=1  ⟹  D=3E_f = 0, E_b = 1 \implies D = 3：光子蝌蚪图（Tadpole）。根据 Furry定理，包含奇数个外线光子的费米子圈图严格为零。
  3. Ef=0,Eb=2  ⟹  D=2E_f = 0, E_b = 2 \implies D = 2：光子自能（真空极化）Πμν(q)\Pi^{\mu\nu}(q)。
  4. Ef=0,Eb=3  ⟹  D=1E_f = 0, E_b = 3 \implies D = 1：三光子顶点。根据 Furry定理，严格为零。
  5. Ef=0,Eb=4  ⟹  D=0E_f = 0, E_b = 4 \implies D = 0：光子-光子散射（光子四点函数）。
  6. Ef=2,Eb=0  ⟹  D=1E_f = 2, E_b = 0 \implies D = 1：费米子自能 Σ(p)\Sigma(p)。
  7. Ef=2,Eb=1  ⟹  D=0E_f = 2, E_b = 1 \implies D = 0：费米子-光子顶点函数 Γμ(p,p′)\Gamma^\mu(p, p')。

排除掉由Furry定理严格为零的振幅，在2-loop（以及任意圈数）下，QED中所有表面发散的振幅为：

Photon self-energy Πμν(q),Fermion self-energy Σ(p),Vertex function Γμ(p,p′),Light-by-light scattering M4γ\boxed{ \text{Photon self-energy } \Pi^{\mu\nu}(q), \quad \text{Fermion self-energy } \Sigma(p), \quad \text{Vertex function } \Gamma^\mu(p, p'), \quad \text{Light-by-light scattering } \mathcal{M}_{4\gamma} }

2. 证明所有紫外发散可由单圈的四个反项消除

QED的重整化拉格朗日量包含四个反项（Counterterms）： Lct=iδZ2ψˉ∂̸ψ−δmψˉψ−eδZ1ψˉγμψAμ−14δZ3FμνFμν\mathcal{L}_{ct} = i\delta Z_2 \bar{\psi}\not{\partial}\psi - \delta m \bar{\psi}\psi - e\delta Z_1 \bar{\psi}\gamma^\mu \psi A_\mu - \frac{1}{4}\delta Z_3 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} 这四个反项在微扰论中可以展开为 δZi=δZi(1)+δZi(2)+O(e6)\delta Z_i = \delta Z_i^{(1)} + \delta Z_i^{(2)} + \mathcal{O}(e^6)。题目要求证明，2-loop的紫外发散可以通过这四个反项的 O(e4)\mathcal{O}(e^4) 部分（即 δZi(2)\delta Z_i^{(2)} 和 δm(2)\delta m^{(2)}）完全吸收。

根据 BPHZ定理 和 Weinberg收敛定理，一个2-loop图的发散可以分为两部分：

  1. 子发散（Subdivergences）：由图中的1-loop子图引起。
  2. 整体发散（Overall divergences）：当所有内线动量同时趋于无穷大时引起。

BPHZ重整化过程表明，如果我们把1-loop的反项（δZi(1)\delta Z_i^{(1)}）作为顶点插入到2-loop图中，它们将精确抵消所有2-loop图中的1-loop子发散。抵消子发散后，剩余的整体发散必然是外部动量的局域多项式（Local polynomial），其阶数等于表面发散度 DD。

下面逐一分析抵消子发散后的整体发散，并证明它们能被上述四个反项吸收：

(a) 费米子自能 Σ(2)(p)\Sigma^{(2)}(p) (D=1D=1)

抵消子发散后，剩余的整体发散是动量 pp 的一阶多项式。我们在质量壳 p̸=m\not{p} = m 附近进行泰勒展开： Σoverall(2)(p)=Σoverall(2)(p̸=m)+∂Σoverall(2)∂p̸∣p̸=m(p̸−m)+Σ~c(p)\Sigma_{overall}^{(2)}(p) = \Sigma_{overall}^{(2)}(\not{p}=m) + \left. \frac{\partial \Sigma_{overall}^{(2)}}{\partial \not{p}} \right|_{\not{p}=m} (\not{p} - m) + \tilde{\Sigma}_c(p) 其中前两项是发散的常数，第三项 Σ~c(p)\tilde{\Sigma}_c(p) 是 O((p̸−m)2)\mathcal{O}((\not{p}-m)^2) 的有限项。 发散部分的形式为 A+B(p̸−m)A + B(\not{p}-m)。这与反项拉格朗日量提供的费米子自能结构完全一致： Σct(2)(p)=δZ2(2)p̸−(δZ2(2)m+δm(2))=δZ2(2)(p̸−m)−δm(2)\Sigma_{ct}^{(2)}(p) = \delta Z_2^{(2)} \not{p} - (\delta Z_2^{(2)} m + \delta m^{(2)}) = \delta Z_2^{(2)}(\not{p} - m) - \delta m^{(2)} 因此，通过选择 δm(2)=−A\delta m^{(2)} = -A 和 δZ2(2)=−B\delta Z_2^{(2)} = -B，可以完全消除 Σ(2)(p)\Sigma^{(2)}(p) 的整体发散。

(b) 光子自能 Πμν(2)(q)\Pi^{\mu\nu(2)}(q) (D=2D=2)

抵消子发散后，整体发散本应是 qq 的二阶多项式。然而，Ward恒等式 qμΠμν=0q_\mu \Pi^{\mu\nu} = 0 在任何微扰阶数下都成立，这要求光子自能必须具有横向张量结构： Πμν(2)(q)=(q2gμν−qμqν)Π(2)(q2)\Pi^{\mu\nu(2)}(q) = (q^2 g^{\mu\nu} - q^\mu q^\nu) \Pi^{(2)}(q^2) 提取出因子 (q2gμν−qμqν)(q^2 g^{\mu\nu} - q^\mu q^\nu) 后，标量函数 Π(2)(q2)\Pi^{(2)}(q^2) 的表面发散度降为 D′=D−2=0D' = D - 2 = 0。 因此，Π(2)(q2)\Pi^{(2)}(q^2) 的整体发散只是一个对数发散的常数 CC： Πoverall(2)(q2)=C+Π~c(q2)\Pi_{overall}^{(2)}(q^2) = C + \tilde{\Pi}_c(q^2) 反项拉格朗日量提供的光子自能结构为 −(q2gμν−qμqν)δZ3(2)-(q^2 g^{\mu\nu} - q^\mu q^\nu)\delta Z_3^{(2)}。 通过选择 δZ3(2)=C\delta Z_3^{(2)} = C，可以完全消除 Πμν(2)(q)\Pi^{\mu\nu(2)}(q) 的整体发散。

(c) 顶点函数 Γμ(2)(p,p′)\Gamma^{\mu(2)}(p, p') (D=0D=0)

抵消子发散后，整体发散是一个常数（零阶多项式）。由于洛伦兹协变性，这个发散常数必须正比于 γμ\gamma^\mu： Γoverallμ(2)(p,p′)=Lγμ+Γ~cμ(p,p′)\Gamma_{overall}^{\mu(2)}(p, p') = L \gamma^\mu + \tilde{\Gamma}_c^\mu(p, p') 其中 LL 是发散常数。反项拉格朗日量提供的顶点结构为 −ieδZ1(2)γμ-i e \delta Z_1^{(2)} \gamma^\mu。 通过选择 δZ1(2)=L\delta Z_1^{(2)} = L，可以完全消除 Γμ(2)\Gamma^{\mu(2)} 的整体发散。 (注：根据Ward-Takahashi恒等式，δZ1=δZ2\delta Z_1 = \delta Z_2 在各阶均成立，这保证了规范不变性不被破坏。)

(d) 光子-光子散射 (Light-by-light scattering) (D=0D=0)

对于四光子顶点，表面发散度 D=0D=0。抵消子发散后，整体发散似乎是一个常数。 然而，规范不变性要求四光子振幅必须由规范场强张量 FμνF_{\mu\nu} 构成。最低阶的非平凡规范不变局域算符是 (FμνFμν)2(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})^2 或类似结构。 由于 Fμν=∂μAν−∂νAμF_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu，每个 FμνF_{\mu\nu} 包含一个动量因子。四个 FμνF_{\mu\nu} 意味着该算符在动量空间中正比于外部动量的四次方 O(k4)\mathcal{O}(k^4)。 这意味着该振幅的真实发散度 DtrueD_{true} 为： Dtrue=Dsuperficial−4=0−4=−4D_{true} = D_{superficial} - 4 = 0 - 4 = -4 因为 Dtrue<0D_{true} < 0，所以光子-光子散射在抵消子发散后，其整体是绝对收敛的（Finite）。因此，不需要引入新的四光子反项（如 δZ4A4\delta Z_4 A^4）。

结论

通过BPHZ减除法，1-loop的反项消除了2-loop图中的所有子发散。剩余的整体发散受到规范不变性（Ward恒等式）的严格限制，其张量结构与原始拉格朗日量完全相同。因此：

All 2-loop UV divergences are completely absorbed by the O(e4) contributions to δZ1,δZ2,δZ3, and δm.\boxed{ \text{All 2-loop UV divergences are completely absorbed by the } \mathcal{O}(e^4) \text{ contributions to } \delta Z_1, \delta Z_2, \delta Z_3, \text{ and } \delta m. }

21.2

Problem 21.2

schwarzChapter 21

习题 21.2

来源: 第21章, PDF第393页

21.2 Calculate the contributions of p⃗4M4\frac{\vec{p}^4}{M^4}, p⃗2M2\sqrt{\frac{\vec{p}^2}{M^2}} and ln⁡2p⃗2M2\ln^2 \frac{\vec{p}^2}{M^2} to a potential V(r)V(r) by taking their Fourier transforms. Which gives the strongest contribution to the potential at large distances? Which gives the weakest contribution?

习题 21.2 - 解答

为了计算动量空间势 V~(p⃗)\tilde{V}(\vec{p}) 对坐标空间势 V(r)V(r) 的贡献，我们需要对其进行三维傅里叶逆变换： V(r)=∫d3p(2π)3eip⃗⋅r⃗V~(p⃗)V(r) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{i \vec{p} \cdot \vec{r}} \tilde{V}(\vec{p}) 对于球对称的动量空间函数 V~(p)\tilde{V}(p)（其中 p=∣p⃗∣p = |\vec{p}|），在分布意义下和维度正规化（Dimensional Regularization）框架中，有一个非常核心的傅里叶变换公式： ∫d3p(2π)3pneip⃗⋅r⃗=2nΓ(n+32)π3/2Γ(−n2)1rn+3\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} p^n e^{i \vec{p} \cdot \vec{r}} = \frac{2^n \Gamma\left(\frac{n+3}{2}\right)}{\pi^{3/2} \Gamma\left(-\frac{n}{2}\right)} \frac{1}{r^{n+3}} 我们将利用该公式及其解析延拓来计算这三项的贡献。

1. 计算 p⃗4M4\frac{\vec{p}^4}{M^4} 的贡献

对于 V~1(p⃗)=p4M4\tilde{V}_1(\vec{p}) = \frac{p^4}{M^4}，这是一个关于动量的多项式。在坐标空间中，动量 p⃗\vec{p} 对应于微分算符 −i∇-i\nabla。 因此，其傅里叶变换直接给出接触项（狄拉克 δ\delta 函数及其导数）： V1(r)=1M4∫d3p(2π)3p4eip⃗⋅r⃗=1M4(−∇2)2∫d3p(2π)3eip⃗⋅r⃗V_1(r) = \frac{1}{M^4} \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} p^4 e^{i \vec{p} \cdot \vec{r}} = \frac{1}{M^4} (-\nabla^2)^2 \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} e^{i \vec{p} \cdot \vec{r}} V1(r)=1M4∇4δ(3)(r⃗)\boxed{ V_1(r) = \frac{1}{M^4} \nabla^4 \delta^{(3)}(\vec{r}) } 物理说明：多项式形式的动量依赖代表纯粹的局域相互作用（接触势），在 r>0r > 0 的大尺度下贡献严格为零。

2. 计算 p⃗2M2\sqrt{\frac{\vec{p}^2}{M^2}} 的贡献

对于 V~2(p⃗)=pM\tilde{V}_2(\vec{p}) = \frac{p}{M}，代入上述核心公式，取 n=1n=1： V2(r)=1M∫d3p(2π)3peip⃗⋅r⃗=1M21Γ(1+32)π3/2Γ(−12)1r1+3V_2(r) = \frac{1}{M} \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} p e^{i \vec{p} \cdot \vec{r}} = \frac{1}{M} \frac{2^1 \Gamma\left(\frac{1+3}{2}\right)}{\pi^{3/2} \Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)} \frac{1}{r^{1+3}} 已知伽马函数的值为 Γ(2)=1\Gamma(2) = 1 且 Γ(−1/2)=−2π\Gamma(-1/2) = -2\sqrt{\pi}，代入化简： V2(r)=1M2⋅1π3/2(−2π)1r4V_2(r) = \frac{1}{M} \frac{2 \cdot 1}{\pi^{3/2} (-2\sqrt{\pi})} \frac{1}{r^4} V2(r)=−1π2Mr4\boxed{ V_2(r) = -\frac{1}{\pi^2 M r^4} }

3. 计算 ln⁡2p⃗2M2\ln^2 \frac{\vec{p}^2}{M^2} 的贡献

对于 V~3(p⃗)=ln⁡2(p2M2)\tilde{V}_3(\vec{p}) = \ln^2\left(\frac{p^2}{M^2}\right)，我们可以使用生成函数法。考虑参数 α\alpha，定义： I(α)=∫d3p(2π)3(p2M2)αeip⃗⋅r⃗I(\alpha) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \left(\frac{p^2}{M^2}\right)^\alpha e^{i \vec{p} \cdot \vec{r}} 显然，我们需要的势函数为 V3(r)=d2I(α)dα2∣α=0V_3(r) = \left. \frac{d^2 I(\alpha)}{d\alpha^2} \right|_{\alpha=0}。 利用核心公式（取 n=2αn=2\alpha）： I(α)=1M2α22αΓ(α+32)π3/2Γ(−α)1r2α+3=1π3/2r3(4M2r2)αΓ(α+32)Γ(−α)I(\alpha) = \frac{1}{M^{2\alpha}} \frac{2^{2\alpha} \Gamma\left(\alpha + \frac{3}{2}\right)}{\pi^{3/2} \Gamma(-\alpha)} \frac{1}{r^{2\alpha+3}} = \frac{1}{\pi^{3/2} r^3} \left( \frac{4}{M^2 r^2} \right)^\alpha \frac{\Gamma\left(\alpha + \frac{3}{2}\right)}{\Gamma(-\alpha)} 为了求 α=0\alpha=0 处的二阶导数，我们将各项在 α→0\alpha \to 0 附近进行泰勒展开：

  1. 指数项：(4M2r2)α=1+αln⁡(4M2r2)+O(α2)\left( \frac{4}{M^2 r^2} \right)^\alpha = 1 + \alpha \ln\left(\frac{4}{M^2 r^2}\right) + \mathcal{O}(\alpha^2)
  2. 分子伽马项：Γ(α+32)=Γ(32)[1+αψ(32)+O(α2)]\Gamma\left(\alpha + \frac{3}{2}\right) = \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) \left[ 1 + \alpha \psi\left(\frac{3}{2}\right) + \mathcal{O}(\alpha^2) \right]，其中 Γ(32)=π2\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}，双伽马函数 ψ(32)=2−γ−2ln⁡2\psi\left(\frac{3}{2}\right) = 2 - \gamma - 2\ln 2（γ\gamma 为欧拉-马斯刻若尼常数）。
  3. 分母伽马项的倒数：由于 Γ(−α)=−1α−γ+O(α)\Gamma(-\alpha) = -\frac{1}{\alpha} - \gamma + \mathcal{O}(\alpha)，其倒数为 1Γ(−α)=−α+γα2+O(α3)\frac{1}{\Gamma(-\alpha)} = -\alpha + \gamma \alpha^2 + \mathcal{O}(\alpha^3)。

将这三部分相乘，提取到 O(α2)\mathcal{O}(\alpha^2) 的项： I(α)=1π3/2r3π2[1+αln⁡(4M2r2)][1+αψ(32)][−α+γα2]+O(α3)I(\alpha) = \frac{1}{\pi^{3/2} r^3} \frac{\sqrt{\pi}}{2} \left[ 1 + \alpha \ln\left(\frac{4}{M^2 r^2}\right) \right] \left[ 1 + \alpha \psi\left(\frac{3}{2}\right) \right] \left[ -\alpha + \gamma \alpha^2 \right] + \mathcal{O}(\alpha^3) I(α)=12πr3[−α+γα2−α2ln⁡(4M2r2)−α2ψ(32)]+O(α3)I(\alpha) = \frac{1}{2\pi r^3} \left[ -\alpha + \gamma \alpha^2 - \alpha^2 \ln\left(\frac{4}{M^2 r^2}\right) - \alpha^2 \psi\left(\frac{3}{2}\right) \right] + \mathcal{O}(\alpha^3) 二阶导数 d2Idα2∣α=0\left. \frac{d^2 I}{d\alpha^2} \right|_{\alpha=0} 即为 α2\alpha^2 项系数的 2 倍： V3(r)=1πr3[γ−ln⁡(4M2r2)−ψ(32)]V_3(r) = \frac{1}{\pi r^3} \left[ \gamma - \ln\left(\frac{4}{M^2 r^2}\right) - \psi\left(\frac{3}{2}\right) \right] 代入 ψ(32)=2−γ−ln⁡4\psi\left(\frac{3}{2}\right) = 2 - \gamma - \ln 4 并化简： V3(r)=1πr3[γ−ln⁡4+ln⁡(M2r2)−(2−γ−ln⁡4)]=1πr3[2γ−2+2ln⁡(Mr)]V_3(r) = \frac{1}{\pi r^3} \left[ \gamma - \ln 4 + \ln(M^2 r^2) - (2 - \gamma - \ln 4) \right] = \frac{1}{\pi r^3} \left[ 2\gamma - 2 + 2\ln(Mr) \right] V3(r)=2πr3(ln⁡(Mr)+γ−1)\boxed{ V_3(r) = \frac{2}{\pi r^3} \big( \ln(Mr) + \gamma - 1 \big) }

4. 远距离贡献的强弱比较

在远距离（r→∞r \to \infty）下，势函数的强度由其随距离 rr 衰减的缓慢程度决定：

  • V1(r)∝∇4δ(3)(r⃗)V_1(r) \propto \nabla^4 \delta^{(3)}(\vec{r})，在 r>0r > 0 时严格为 00。
  • V2(r)∝1r4V_2(r) \propto \frac{1}{r^4}，呈幂律衰减。
  • V3(r)∝ln⁡(Mr)r3V_3(r) \propto \frac{\ln(Mr)}{r^3}，衰减速度比 1/r41/r^4 慢得多。

结论：

  • 最强贡献 (Strongest contribution)：由 ln⁡2p⃗2M2\ln^2 \frac{\vec{p}^2}{M^2} 给出，因为其在坐标空间中产生 ln⁡(Mr)r3\frac{\ln(Mr)}{r^3} 的长程势，在远距离处衰减最慢。
  • 最弱贡献 (Weakest contribution)：由 p⃗4M4\frac{\vec{p}^4}{M^4} 给出，因为它仅产生局域的接触相互作用（δ\delta 函数），在远距离处贡献严格为零。

Strongest: ln⁡2p⃗2M2Weakest: p⃗4M4\boxed{ \text{Strongest: } \ln^2 \frac{\vec{p}^2}{M^2} \quad \text{Weakest: } \frac{\vec{p}^4}{M^4} }

21.3

Problem 21.3

schwarzChapter 21

习题 21.3

来源: 第21章, PDF第393页

21.3 Write down all the renormalizable interactions for a field theory with a single scalar field ϕ(x)\phi(x) in two, three, four, five and six dimensions.

习题 21.3 - 解答

在自然单位制（ℏ=c=1\hbar = c = 1）下，作用量 S=∫ddxLS = \int d^d x \mathcal{L} 必须是无量纲的，因此拉格朗日密度 L\mathcal{L} 的质量量纲为 [L]=d[\mathcal{L}] = d。

对于单标量场 ϕ(x)\phi(x)，其自由拉格朗日量包含动能项 12∂μϕ∂μϕ\frac{1}{2}\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi。由于导数的质量量纲为 [∂μ]=1[\partial_\mu] = 1，我们可以确定标量场 ϕ\phi 的质量量纲： [∂μϕ∂μϕ]=2+2[ϕ]=d  ⟹  [ϕ]=d−22[\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi] = 2 + 2[\phi] = d \implies [\phi] = \frac{d-2}{2}

考虑一般的相互作用项 Lint=gn,m∂mϕn\mathcal{L}_{\text{int}} = g_{n,m} \partial^m \phi^n，其中 mm 为导数的个数（由洛伦兹不变性可知 mm 必须为偶数），nn 为场的幂次。耦合常数 gn,mg_{n,m} 的质量量纲为： [gn,m]=d−m−n[ϕ]=d−m−nd−22[g_{n,m}] = d - m - n[\phi] = d - m - n\frac{d-2}{2}

根据量子场论的重整化条件，一个相互作用是可重整的（包括严格可重整和超可重整），当且仅当其耦合常数的质量量纲非负： [gn,m]≥0  ⟹  nd−22+m≤d[g_{n,m}] \ge 0 \implies n\frac{d-2}{2} + m \le d 作为相互作用项，要求包含至少三个场（即 m=0m=0 时 n≥3n \ge 3；或 m=2m=2 时 n≥1n \ge 1，因为 m=2,n=0m=2, n=0 对应于自由动能项）。

下面针对不同的时空维度 dd 逐一分析：

(1) 二维时空 (d=2d=2)

标量场的量纲为 [ϕ]=2−22=0[\phi] = \frac{2-2}{2} = 0。 重整化条件化简为： m≤2m \le 2

  • 当 m=0m=0 时，对于任意整数 n≥3n \ge 3，[gn,0]=2>0[g_{n,0}] = 2 > 0。因此任意多项式势 ϕn\phi^n 都是超可重整的。
  • 当 m=2m=2 时，对于任意整数 n≥1n \ge 1，[gn,2]=0[g_{n,2}] = 0。因此带有两个导数的相互作用 ϕn∂μϕ∂μϕ\phi^n \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi 是严格可重整的（这对应于非线性 σ\sigma 模型的相互作用）。 无导数相互作用: ϕn  (n≥3)含导数相互作用: ϕn∂μϕ∂μϕ  (n≥1)\boxed{ \text{无导数相互作用: } \phi^n \; (n \ge 3) \quad \text{含导数相互作用: } \phi^n \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi \; (n \ge 1) } (注：在 d=2d=2 中，由于场无量纲，甚至非多项式相互作用如 cos⁡(αϕ)\cos(\alpha \phi) 也是可重整的，但标准微扰场论通常指上述多项式相互作用。)

(2) 三维时空 (d=3d=3)

标量场的量纲为 [ϕ]=3−22=12[\phi] = \frac{3-2}{2} = \frac{1}{2}。 重整化条件化简为： n2+m≤3\frac{n}{2} + m \le 3

  • 若 m≥2m \ge 2，则 n2≤1  ⟹  n≤2\frac{n}{2} \le 1 \implies n \le 2。当 m=2,n=2m=2, n=2 时，项为 ϕ2∂2\phi^2 \partial^2，通过分部积分等价于动能项，不构成新的相互作用。因此没有可重整的导数相互作用。
  • 若 m=0m=0，则 n2≤3  ⟹  n≤6\frac{n}{2} \le 3 \implies n \le 6。可能的相互作用为 n=3,4,5,6n=3, 4, 5, 6。 ϕ3,ϕ4,ϕ5,ϕ6\boxed{ \phi^3, \phi^4, \phi^5, \phi^6 }

(3) 四维时空 (d=4d=4)

标量场的量纲为 [ϕ]=4−22=1[\phi] = \frac{4-2}{2} = 1。 重整化条件化简为： n+m≤4n + m \le 4

  • 若 m≥2m \ge 2，则 n≤2n \le 2，无新的相互作用。
  • 若 m=0m=0，则 n≤4n \le 4。可能的相互作用为 n=3,4n=3, 4。 ϕ3,ϕ4\boxed{ \phi^3, \phi^4 }

(4) 五维时空 (d=5d=5)

标量场的量纲为 [ϕ]=5−22=32[\phi] = \frac{5-2}{2} = \frac{3}{2}。 重整化条件化简为： 3n2+m≤5\frac{3n}{2} + m \le 5

  • 若 m≥2m \ge 2，则 3n2≤3  ⟹  n≤2\frac{3n}{2} \le 3 \implies n \le 2，无新的相互作用。
  • 若 m=0m=0，则 3n2≤5  ⟹  n≤103≈3.33\frac{3n}{2} \le 5 \implies n \le \frac{10}{3} \approx 3.33。可能的相互作用仅有 n=3n=3。 ϕ3\boxed{ \phi^3 }

(5) 六维时空 (d=6d=6)

标量场的量纲为 [ϕ]=6−22=2[\phi] = \frac{6-2}{2} = 2。 重整化条件化简为： 2n+m≤62n + m \le 6

  • 若 m≥2m \ge 2，则 2n≤4  ⟹  n≤22n \le 4 \implies n \le 2，无新的相互作用。
  • 若 m=0m=0，则 2n≤6  ⟹  n≤32n \le 6 \implies n \le 3。可能的相互作用仅有 n=3n=3。 ϕ3\boxed{ \phi^3 }