习题 29.1 - 解答

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物理背景与过程分析

在标准模型中，LEP 上的希格斯玻色子主要产生机制为 Higgs-strahlung 过程：$e^+(p_1) + e^-(p_2) \rightarrow Z^*(q) \rightarrow Z(k_1) + H(k_2)$。 在树图阶，该过程通过 $s$-通道的虚 $Z$ 玻色子交换进行。由于 LEP 运行能量 $\sqrt{s} = 206 \text{ GeV}$ 远高于 $Z$ 玻色子质量（$m_Z \approx 91.2 \text{ GeV}$），我们可以忽略 $Z$ 玻色子传播子中的宽度 $\Gamma_Z$。同时，电子质量 $m_e$ 极小，在极高能下可完全忽略（$m_e \to 0$）。

1. 矩阵元与截面推导

顶点与传播子规则：

1. $e^+e^-Z$ 顶点：$-i \frac{g}{\cos\theta_W} \gamma^\mu (c_V - c_A \gamma^5)$，其中 $c_V = -\frac{1}{4} + \sin^2\theta_W$，$c_A = -\frac{1}{4}$。为书写简便，记 $g_Z = \frac{g}{\cos\theta_W}$。
2. $ZZH$ 顶点：$i g_Z m_Z g^{\nu\rho}$。
3. $Z$ 玻色子传播子：$\frac{-i(g_{\mu\nu} - q_\mu q_\nu/m_Z^2)}{s - m_Z^2}$。由于电子质量忽略不计，由狄拉克方程可知与电子流缩并的 $q_\mu$ 项为零，因此传播子可简化为 $\frac{-i g_{\mu\nu}}{s - m_Z^2}$。

写出不变矩阵元 $\mathcal{M}$： $i\mathcal{M} = \bar{v}(p_1) \left[ -i g_Z \gamma^\mu (c_V - c_A \gamma^5) \right] u(p_2) \left[ \frac{-i g_{\mu\nu}}{s - m_Z^2} \right] \left[ i g_Z m_Z g^{\nu\rho} \epsilon^*_\rho(k_1) \right]$ 化简得： $\mathcal{M} = \frac{g_Z^2 m_Z}{s - m_Z^2} \bar{v}(p_1) \gamma^\mu (c_V - c_A \gamma^5) u(p_2) \epsilon^*_\mu(k_1)$

计算自旋平均的矩阵元平方： 对初态电子自旋求平均（因子 $\frac{1}{4}$），对末态 $Z$ 玻色子极化求和 $\sum \epsilon^*_\mu \epsilon_\nu = -g_{\mu\nu} + \frac{k_{1\mu} k_{1\nu}}{m_Z^2} \equiv P_{\mu\nu}$： $\overline{|\mathcal{M}|^2} = \frac{1}{4} \frac{g_Z^4 m_Z^2}{(s - m_Z^2)^2} \text{Tr}\left[ \not{p}_1 \gamma^\mu (c_V - c_A \gamma^5) \not{p}_2 \gamma^\nu (c_V - c_A \gamma^5) \right] P_{\mu\nu}$ 利用 $\gamma^5$ 的反交换关系，迹可化为： $\text{Tr}[\dots] = \text{Tr}\left[ \not{p}_1 \gamma^\mu \not{p}_2 \gamma^\nu (c_V^2 + c_A^2) - 2c_V c_A \not{p}_1 \gamma^\mu \not{p}_2 \gamma^\nu \gamma^5 \right]$ 由于 $P_{\mu\nu}$ 是对称张量，含 $\gamma^5$ 的反对称项在缩并后为零。计算剩余的迹： $\text{Tr}[\dots] = 4(c_V^2 + c_A^2) \left( p_1^\mu p_2^\nu + p_1^\nu p_2^\mu - (p_1 \cdot p_2) g^{\mu\nu} \right)$ 将其与极化张量 $P_{\mu\nu}$ 缩并。在质心系中，$p_1 \cdot p_2 = s/2$。设末态 $Z$ 玻色子的动量大小为 $|\vec{k}|$，出射角为 $\theta$，则有 $E_Z^2 - m_Z^2 = |\vec{k}|^2$。经过标准运动学代数运算，缩并结果为： $\left( p_1^\mu p_2^\nu + p_1^\nu p_2^\mu - \frac{s}{2} g^{\mu\nu} \right) \left( -g_{\mu\nu} + \frac{k_{1\mu} k_{1\nu}}{m_Z^2} \right) = s \left( 1 + \frac{|\vec{k}|^2}{2 m_Z^2} \sin^2\theta \right)$ 因此，矩阵元平方为： $\overline{|\mathcal{M}|^2} = \frac{g_Z^4 m_Z^2 s}{(s - m_Z^2)^2} (c_V^2 + c_A^2) \left( 1 + \frac{|\vec{k}|^2}{2 m_Z^2} \sin^2\theta \right)$

计算总截面： 两体相空间微分为 $d\Phi_2 = \frac{|\vec{k}|}{16\pi^2 \sqrt{s}} d\Omega$。微分散射截面为： $\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{1}{2s} \frac{|\vec{k}|}{16\pi^2 \sqrt{s}} \overline{|\mathcal{M}|^2} = \frac{|\vec{k}|}{32\pi^2 s^{3/2}} \overline{|\mathcal{M}|^2}$ 对立体角 $d\Omega = 2\pi \sin\theta d\theta$ 积分，利用 $\int_{-1}^1 (1 + A \sin^2\theta) d(\cos\theta) = 2 + \frac{4}{3}A = 2(1 + \frac{2}{3}A)$： $\sigma = \frac{|\vec{k}|}{8\pi s^{3/2}} \frac{g_Z^4 m_Z^2 s}{(s - m_Z^2)^2} (c_V^2 + c_A^2) \left( 1 + \frac{|\vec{k}|^2}{3 m_Z^2} \right)$ 利用费米常数关系 $G_F = \frac{\sqrt{2} g^2}{8 m_W^2} = \frac{\sqrt{2} g_Z^2}{8 m_Z^2}$，可得 $g_Z^4 = 128 G_F^2 m_Z^4$。代入上式并引入两体运动学函数 $\lambda = (1 - m_H^2/s - m_Z^2/s)^2 - 4 m_H^2 m_Z^2 / s^2$，其中 $|\vec{k}| = \frac{\sqrt{s}}{2} \lambda^{1/2}$，最终得到树图阶总截面的解析表达式： $\boxed{ \sigma(e^+e^- \to ZH) = \frac{2 G_F^2 m_Z^4}{3 \pi s} (c_V^2 + c_A^2) \frac{\lambda^{1/2} \left( \lambda + 12 m_Z^2/s \right)}{(1 - m_Z^2/s)^2} }$

2. 数值计算与事例数预估

代入标准模型参数：

• 质心能：$\sqrt{s} = 206 \text{ GeV} \implies s = 42436 \text{ GeV}^2$
• 玻色子质量：$m_Z = 91.1876 \text{ GeV}$，$m_H = 100 \text{ GeV}$
• 弱混合角：$\sin^2\theta_W \approx 0.2312$
• 费米常数：$G_F = 1.16637 \times 10^{-5} \text{ GeV}^{-2}$

计算耦合常数因子： $c_V = -0.25 + 0.2312 = -0.0188, \quad c_A = -0.25 \implies c_V^2 + c_A^2 \approx 0.06285$ 计算运动学因子： $m_Z^2/s \approx 0.1959, \quad m_H^2/s \approx 0.2356$ $\lambda = (1 - 0.2356 - 0.1959)^2 - 4(0.2356)(0.1959) \approx 0.1387 \implies \lambda^{1/2} \approx 0.3724$ $\frac{\lambda^{1/2} (\lambda + 12 m_Z^2/s)}{(1 - m_Z^2/s)^2} = \frac{0.3724 \times (0.1387 + 2.3508)}{(1 - 0.1959)^2} \approx 1.433$ 计算截面（利用转换关系 $1 \text{ GeV}^{-2} = 0.389 \times 10^9 \text{ pb}$）： $\sigma = \frac{2 \times (1.166 \times 10^{-5})^2 \times (91.19)^4}{3 \pi \times 42436} \times 0.06285 \times 1.433 \times (0.389 \times 10^9 \text{ pb})$ $\boxed{ \sigma \approx 1.65 \text{ pb} }$

计算产生的希格斯玻色子数量： 在 2000 年 LEP 运行于 $\sqrt{s} \approx 206 \text{ GeV}$ 附近时，四个实验组（ALEPH, DELPHI, L3, OPAL）每个探测器收集到的积分亮度约为 $\mathcal{L} \approx 200 \text{ pb}^{-1}$，总积分亮度约为 $\mathcal{L}_{\text{tot}} \approx 800 \text{ pb}^{-1}$。 产生的 100 GeV 希格斯玻色子总数为： $N = \sigma \times \mathcal{L}_{\text{tot}} = 1.65 \text{ pb} \times 800 \text{ pb}^{-1}$ $\boxed{ N \approx 1320 \text{ events} }$ (注：若仅按单个探测器计算，则约为 330 个事例。)

习题 29.2 - 解答

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(a) 树图阶总截面 $\sigma_{\text{tot}}(e^+ e^- \rightarrow \text{hadrons})$

在标准模型中，正负电子湮灭产生强子（即夸克-反夸克对 $e^+ e^- \rightarrow q \bar{q}$）的树图阶过程包含 $s$-通道的光子 ($\gamma$) 交换和 $Z$ 玻色子交换。

设电子和夸克与 $Z$ 玻色子的矢量和轴矢量耦合常数分别为 $c_V^f$ 和 $c_A^f$。在标准约定下，相互作用顶点为 $-i \frac{g}{\cos\theta_W} \gamma^\mu (c_V^f - c_A^f \gamma_5)$，其中： $c_V^f = \frac{1}{2} T_3^f - Q_f \sin^2\theta_W, \quad c_A^f = \frac{1}{2} T_3^f$ 对于电子，$Q_e = -1, T_3^e = -1/2$；对于夸克，$Q_f$ 为分数电荷，$T_3^f = \pm 1/2$。

总散射振幅为 $\mathcal{M} = \mathcal{M}_\gamma + \mathcal{M}_Z$，其中： $\mathcal{M}_\gamma = \frac{e^2 Q_e Q_f}{s} (\bar{v}_e \gamma^\mu u_e) (\bar{u}_f \gamma_\mu v_f)$ $\mathcal{M}_Z = \frac{g^2}{\cos^2\theta_W} \frac{1}{s - M_Z^2 + i M_Z \Gamma_Z} [\bar{v}_e \gamma^\mu (c_V^e - c_A^e \gamma_5) u_e] [\bar{u}_f \gamma_\mu (c_V^f - c_A^f \gamma_5) v_f]$

对初始自旋求平均并对末态自旋和颜色（$N_c = 3$）求和，计算平方项 $\frac{1}{4} \sum |\mathcal{M}|^2$：

1. 纯光子贡献： $\frac{1}{4} \sum |\mathcal{M}_\gamma|^2 = N_c \frac{e^4 Q_e^2 Q_f^2}{s^2} 2s^2 (1 + \cos^2\theta)$ 对立体角积分 $\int d\Omega (1+\cos^2\theta) = \frac{16\pi}{3}$，得到： $\sigma_\gamma = \frac{4\pi \alpha^2}{3s} N_c Q_f^2$

2. 干涉项贡献： 计算 $2\text{Re}(\mathcal{M}_\gamma^* \mathcal{M}_Z)$ 时，迹的计算会产生对称部分（正比于 $c_V^e c_V^f (1+\cos^2\theta)$）和反对称部分（正比于 $c_A^e c_A^f \cos\theta$）。由于 $\cos\theta$ 在全立体角积分下为零，轴矢量干涉项对总截面的贡献严格为零。仅保留矢量部分： $\sigma_{\gamma Z} = \frac{4\pi \alpha^2}{3s} N_c \left( \frac{2 Q_e Q_f c_V^e c_V^f}{\sin^2\theta_W \cos^2\theta_W} \right) \frac{s(s - M_Z^2)}{(s - M_Z^2)^2 + M_Z^2 \Gamma_Z^2}$

3. 纯 $Z$ 玻色子贡献： 同理，纯 $Z$ 交换的平方项中，交叉项（正比于 $c_V c_A \cos\theta$）积分后消失，仅留下 $(c_V^2 + c_A^2)$ 项： $\sigma_Z = \frac{4\pi \alpha^2}{3s} N_c \frac{((c_V^e)^2 + (c_A^e)^2)((c_V^f)^2 + (c_A^f)^2)}{\sin^4\theta_W \cos^4\theta_W} \frac{s^2}{(s - M_Z^2)^2 + M_Z^2 \Gamma_Z^2}$

将上述三项相加，代入 $Q_e = -1$，并对所有运动学允许的夸克味道 $f$（通常为 $u, d, s, c, b$）求和，得到树图阶总截面： $\boxed{ \sigma_{\text{tot}}^{\text{tree}} = \frac{4\pi \alpha^2}{3s} N_c \sum_f \left[ Q_f^2 - \frac{2 Q_f c_V^e c_V^f s (s - M_Z^2)}{\sin^2\theta_W \cos^2\theta_W |D_Z(s)|^2} + \frac{((c_V^e)^2 + (c_A^e)^2)((c_V^f)^2 + (c_A^f)^2) s^2}{\sin^4\theta_W \cos^4\theta_W |D_Z(s)|^2} \right] }$ 其中 $|D_Z(s)|^2 = (s - M_Z^2)^2 + M_Z^2 \Gamma_Z^2$。

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(b) 单圈阶 (1-loop) 总截面

在单圈阶，QCD 修正来源于末态夸克的虚胶子交换（顶点修正）和实胶子辐射（$e^+ e^- \rightarrow q \bar{q} g$）。 由于在当前能标下夸克质量可以近似为零，夸克的矢量流和轴矢量流是守恒的（手征极限下无反常维度）。因此，QCD 对矢量流（光子和 $Z$ 的矢量部分）和轴矢量流（$Z$ 的轴矢量部分）的修正因子是完全相同的。

根据标准的微扰 QCD 计算，单圈阶的修正表现为一个整体的乘性因子 $(1 + \frac{\alpha_s(s)}{\pi})$。因此，包含 1-loop QCD 修正的总截面为： $\boxed{ \sigma_{\text{tot}}^{\text{1-loop}} = \sigma_{\text{tot}}^{\text{tree}} \left( 1 + \frac{\alpha_s(s)}{\pi} \right) }$

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(c) 总截面随质心能量的变化及干涉项分析

以下是使用 LaTeX pgfplots 绘制的各部分截面随质心能量 $\sqrt{s}$ 变化的示意图代码及物理分析：

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
    width=12cm, height=8cm,
    xmode=log, ymode=log,
    xmin=10, xmax=200,
    ymin=10, ymax=100000,
    xlabel={Center-of-mass energy $\sqrt{s}$ [GeV]},
    ylabel={Total cross section $\sigma_{\text{tot}}$ [pb]},
    legend pos=south west,
    domain=10:200,
    samples=200,
    grid=both,
    thick
]
% 纯光子贡献 (正比于 1/s)
\addplot[blue, dashed] {318000/(x^2)};
\addlegendentry{Photon ($\gamma$) contribution}

% 纯 Z 玻色子贡献 (Breit-Wigner 共振峰)
\addplot[red, dashed] {217000*(x^2)/((x^2 - 91.2^2)^2 + (91.2*2.5)^2)};
\addlegendentry{$Z$-boson contribution}

% 包含干涉项的总和
\addplot[black, solid] {318000/(x^2) + 217000*(x^2)/((x^2 - 91.2^2)^2 + (91.2*2.5)^2) + 16100*(x^2 - 91.2^2)/((x^2 - 91.2^2)^2 + (91.2*2.5)^2)};
\addlegendentry{Total sum (with interference)}

% 忽略干涉项的总和
\addplot[green, dotted, very thick] {318000/(x^2) + 217000*(x^2)/((x^2 - 91.2^2)^2 + (91.2*2.5)^2)};
\addlegendentry{Sum ignoring interference}
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}

物理分析与干涉项的忽略条件：

1. 截面行为：纯光子截面随能量呈 $1/s$ 衰减；纯 $Z$ 玻色子截面在 $\sqrt{s} = M_Z \approx 91.2 \text{ GeV}$ 处展现出显著的 Breit-Wigner 共振峰。
2. 干涉项何时可以被忽略？ 干涉项在几乎所有能量下都可以被安全地忽略（即图中黑色实线与绿色虚线几乎完全重合）。原因有两点：
   • 在 $Z$ 极点附近 ($\sqrt{s} \approx M_Z$)：干涉项正比于 $s - M_Z^2$。在共振峰处，传播子的实部穿过零点，导致干涉项严格为零。
   • 在远离 $Z$ 极点的区域：干涉项的系数正比于电子的矢量耦合常数 $c_V^e = -\frac{1}{4} + \sin^2\theta_W$。由于实验测得的弱混合角 $\sin^2\theta_W \approx 0.2315$，这使得 $c_V^e \approx -0.0185 \ll 1$。电子的矢量耦合由于偶然的参数相消而极小，导致 $\gamma-Z$ 干涉项受到强烈的参数压低。

因此，在计算总截面时，忽略干涉项是一个极其优良的近似。

习题 29.3 - 解答

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(a) Calculate the rate for $H \rightarrow b\bar{b}$ in the Standard Model

在标准模型中，Higgs 玻色子与费米子的汤川耦合（Yukawa coupling）拉格朗日量为： $\mathcal{L}_{\text{Yukawa}} \supset -\frac{m_b}{v} h \bar{b} b$ 其中 $v = (\sqrt{2} G_F)^{-1/2} \approx 246 \text{ GeV}$ 是 Higgs 场的真空期望值。由此可得 $H \rightarrow b\bar{b}$ 的顶点 Feynman 规则为 $-i \frac{m_b}{v}$。

衰变过程的矩阵元为： $\mathcal{M} = -i \frac{m_b}{v} \bar{u}(p_1) v(p_2)$ 对末态自旋求和并包含底夸克的颜色自由度 $N_c = 3$，矩阵元模方为： $\sum |\mathcal{M}|^2 = N_c \frac{m_b^2}{v^2} \text{Tr}\left[ (\not{p}_1 + m_b)(\not{p}_2 - m_b) \right] = 3 \frac{m_b^2}{v^2} \times 4(p_1 \cdot p_2 - m_b^2)$ 利用运动学关系 $p_H = p_1 + p_2$，可得 $m_H^2 = 2m_b^2 + 2p_1 \cdot p_2$，即 $2p_1 \cdot p_2 = m_H^2 - 2m_b^2$。代入上式： $\sum |\mathcal{M}|^2 = \frac{12 m_b^2}{v^2} \left( \frac{m_H^2 - 2m_b^2}{2} - m_b^2 \right) = \frac{6 m_b^2}{v^2} m_H^2 \left( 1 - \frac{4m_b^2}{m_H^2} \right)$ 两体衰变率的相空间公式为 $\Gamma = \frac{1}{2m_H} \frac{1}{8\pi} \sqrt{1 - \frac{4m_b^2}{m_H^2}} \sum |\mathcal{M}|^2$。代入矩阵元模方并使用 $v^2 = 1/(\sqrt{2} G_F)$，得到： $\Gamma(H \rightarrow b\bar{b}) = \frac{3 m_b^2 m_H}{8\pi v^2} \left( 1 - \frac{4m_b^2}{m_H^2} \right)^{3/2} = \frac{3 \sqrt{2} G_F m_b^2 m_H}{8\pi} \left( 1 - \frac{4m_b^2}{m_H^2} \right)^{3/2}$ 最终结果为： $\boxed{ \Gamma(H \rightarrow b\bar{b}) = \frac{3 \sqrt{2} G_F m_b^2 m_H}{8\pi} \left( 1 - \frac{4m_b^2}{m_H^2} \right)^{3/2} }$

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(b) Calculate the rate for $H \rightarrow gg$ in the Standard Model

Higgs 玻色子不带色荷，因此 $H \rightarrow gg$ 过程在树图级别为零，主要贡献来自于重夸克（主要是顶夸克 $t$）的三角圈图。 在 $m_H \ll 2m_t$ 的极限下，可以通过计算顶夸克圈图得到 Higgs 与胶子的有效相互作用拉格朗日量（由 QCD 迹反常给出）： $\mathcal{L}_{\text{eff}} = \frac{\alpha_s}{12\pi v} h G_{\mu\nu}^a G^{a\mu\nu}$ 由此导出的矩阵元为： $\mathcal{M} = \frac{\alpha_s}{3\pi v} \delta^{ab} \left( k_1^\mu k_2^\nu - (k_1 \cdot k_2) g^{\mu\nu} \right) \epsilon_{1\mu}^*(k_1) \epsilon_{2\nu}^*(k_2)$ 对极化和颜色求和（注意胶子是全同粒子，相空间需乘以 $1/2!$）： $\sum |\mathcal{M}|^2 = \left( \frac{\alpha_s}{3\pi v} \right)^2 \times 8 \times 2 (k_1 \cdot k_2)^2 = \frac{16 \alpha_s^2}{9\pi^2 v^2} \left( \frac{m_H^2}{2} \right)^2 = \frac{4 \alpha_s^2 m_H^4}{9\pi^2 v^2}$ 衰变率为： $\Gamma_{\text{eff}} = \frac{1}{2m_H} \frac{1}{8\pi} \frac{1}{2!} \sum |\mathcal{M}|^2 = \frac{\alpha_s^2 m_H^3}{72\pi^3 v^2} = \frac{\sqrt{2} G_F \alpha_s^2 m_H^3}{72\pi^3}$ 为了包含精确的顶夸克质量依赖，引入圈图形状因子 $A_{1/2}(\tau_t)$，其中 $\tau_t = m_H^2 / 4m_t^2$。在重顶夸克极限下 $A_{1/2}(\tau_t) \rightarrow 4/3$。将有效衰变率除以极限值 $|4/3|^2 = 16/9$ 并乘上精确形状因子模方，得到完整的衰变率： $\boxed{ \Gamma(H \rightarrow gg) = \frac{G_F \alpha_s^2 m_H^3}{64 \sqrt{2} \pi^3} \left| A_{1/2}(\tau_t) \right|^2 }$ 其中形状因子定义为： $A_{1/2}(\tau) = \frac{2}{\tau^2} \left[ \tau + (\tau - 1) f(\tau) \right]$ 对于 $\tau \le 1$（即 $m_H \le 2m_t$），函数 $f(\tau) = \arcsin^2\sqrt{\tau}$。

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(c) Calculate the rate for $H \rightarrow \gamma\gamma$ in the Standard Model

与双胶子衰变类似，$H \rightarrow \gamma\gamma$ 也是单圈诱导过程。不同之处在于，除了带电费米子（主要是顶夸克）的贡献外，还有 $W$ 玻色子圈图的贡献。 费米子圈和 $W$ 玻色子圈的贡献可以分别用形状因子 $A_{1/2}(\tau_f)$ 和 $A_1(\tau_W)$ 参数化。总振幅是这两部分贡献的相干叠加。

根据 QED 迹反常和圈图计算，衰变率的精确表达式为： $\boxed{ \Gamma(H \rightarrow \gamma\gamma) = \frac{G_F \alpha^2 m_H^3}{128 \sqrt{2} \pi^3} \left| \sum_f N_{cf} Q_f^2 A_{1/2}(\tau_f) + A_1(\tau_W) \right|^2 }$ 其中：

• $\alpha$ 是精细结构常数。
• $N_{cf}$ 是费米子的颜色数（夸克为 3，轻子为 1），$Q_f$ 是费米子的电荷（顶夸克为 $+2/3$）。
• $\tau_i = m_H^2 / 4m_i^2$。
• 费米子形状因子 $A_{1/2}(\tau)$ 与 (b) 问中定义相同。
• 矢量玻色子形状因子 $A_1(\tau)$ 定义为： $A_1(\tau) = - \frac{1}{\tau^2} \left[ 2\tau^2 + 3\tau + 3(2\tau - 1) f(\tau) \right]$ 物理说明：对于 $m_H \approx 125 \text{ GeV}$，顶夸克贡献 $A_{1/2}(\tau_t) \approx 1.38$，而 $W$ 玻色子贡献 $A_1(\tau_W) \approx -8.3$。两者符号相反，表明费米子圈和规范玻色子圈之间存在强烈的相消干涉（Destructive interference），且 $W$ 玻色子圈的贡献占据主导地位。

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(d) Plot the branching ratios for $H \rightarrow b\bar{b}$, $H \rightarrow gg$ and $H \rightarrow \gamma\gamma$ as a function of Higgs mass

分支比（Branching Ratio, BR）定义为特定通道的衰变率除以 Higgs 的总衰变宽度 $\Gamma_{\text{tot}}$。总宽度必须包含所有可能的衰变通道（如 $WW^*, ZZ^*, \tau^+\tau^-, c\bar{c}$ 等）。

以下是这三个通道分支比随 Higgs 质量 $m_H$ 变化的解析特征与趋势描述（等效于绘图分析）：

1. $H \rightarrow b\bar{b}$ 曲线：

   • 在低质量区（$m_H < 135 \text{ GeV}$），由于底夸克是该区域内最重的运动学允许费米子，该通道占据绝对主导。
   • 当 $m_H = 100 \text{ GeV}$ 时，$\text{BR}(b\bar{b}) \approx 80\%$。
   • 当 $m_H = 125 \text{ GeV}$ 时，$\text{BR}(b\bar{b}) \approx 58\%$。
   • 当 $m_H > 140 \text{ GeV}$ 时，随着 $H \rightarrow WW^*$ 和 $ZZ^*$ 阈值的打开，规范玻色子通道迅速主导，导致 $b\bar{b}$ 的分支比呈指数级断崖式下降。

2. $H \rightarrow gg$ 曲线：

   • 这是一个单圈过程，但由于强耦合常数 $\alpha_s$ 较大且顶夸克汤川耦合极强，其分支比在低质量区相当可观。
   • 在 $100 \text{ GeV} < m_H < 135 \text{ GeV}$ 范围内，$\text{BR}(gg)$ 呈现一个平缓的峰，数值维持在 $5\% \sim 8\%$ 之间（$125 \text{ GeV}$ 时约为 $8\%$）。
   • 同样在 $m_H > 140 \text{ GeV}$ 后，受 $WW^*$ 通道压制而迅速衰减。

3. $H \rightarrow \gamma\gamma$ 曲线：

   • 依赖于电磁耦合 $\alpha$ 且为纯圈图过程，因此分支比极小。
   • 曲线形状与 $gg$ 类似，在 $m_H \approx 125 \text{ GeV}$ 附近达到峰值，最大分支比约为 $0.22\%$。
   • 尽管数值微小，但由于双光子末态在探测器中具有极高的能量分辨率和干净的背景，它是发现 $125 \text{ GeV}$ Higgs 玻色子的最重要黄金通道之一。

分支比随 $m_H$ 变化的特征数据表（近似值，用于构建曲线轮廓）：

| $m_H$ (GeV) | $\text{BR}(H \rightarrow b\bar{b})$ | $\text{BR}(H \rightarrow gg)$ | $\text{BR}(H \rightarrow \gamma\gamma)$ | 主导物理效应 | | :---: | :---: | :---: | :---: | :--- | | 100 | $\sim 80\%$ | $\sim 6\%$ | $\sim 0.15\%$ | $b\bar{b}$ 绝对主导 | | 115 | $\sim 70\%$ | $\sim 7\%$ | $\sim 0.20\%$ | $WW^*$ 贡献开始显现 | | 125 | $\sim 58\%$ | $\sim 8\%$ | $\sim 0.22\%$ | 物理 Higgs 质量点 | | 140 | $\sim 35\%$ | $\sim 5\%$ | $\sim 0.15\%$ | $WW^*$ 成为主要通道 | | 160 | $\sim 4\%$ | $\sim 1\%$ | $\sim 0.02\%$ | $WW$ 真实阈值打开，完全压制其他通道 |

习题 29.4 - 解答

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(a) 纵向 $W_L^+ W_L^- \rightarrow W_L^+ W_L^-$ 散射的矩阵元

在标准模型中，计算纵向规范玻色子在极高能极限（$s, t \gg m_W^2$）下的散射矩阵元。在高能下，纵向极化矢量可以近似为 $\epsilon_L^\mu(p) \approx p^\mu / m_W$。

树图级别的散射振幅包含两部分贡献：规范玻色子交换（接触图、$s$-道和 $t$-道 $\gamma/Z$ 交换）以及 Higgs 玻色子交换（$s$-道和 $t$-道）。

1. 规范部分的贡献： 将 $\epsilon_L^\mu \approx p^\mu / m_W$ 代入规范相互作用图中，会产生随能量增长的 $\mathcal{O}(E^4/m_W^4)$ 和 $\mathcal{O}(E^2/m_W^2)$ 项。由于标准模型非阿贝尔规范群的结构，所有 $\mathcal{O}(E^4/m_W^4)$ 的发散项在接触图和 $s, t$-道交换图之间精确抵消。规范部分剩余的 $\mathcal{O}(E^2/m_W^2)$ 领头项为： $\mathcal{M}_{\text{gauge}} \approx \frac{g^2}{4 m_W^2} (s+t)$

2. Higgs 交换的贡献： 利用 $hWW$ 顶点 $-i g m_W g_{\mu\nu}$，可以计算 $s$-道和 $t$-道 Higgs 交换的振幅： $\mathcal{M}_{h,s} = (-i g m_W g_{\mu\nu}) \epsilon_1^\mu \epsilon_2^\nu \frac{i}{s - m_h^2} (-i g m_W g_{\rho\sigma}) \epsilon_3^\rho \epsilon_4^\sigma \approx - g^2 m_W^2 \frac{(p_1 \cdot p_2 / m_W^2)(p_3 \cdot p_4 / m_W^2)}{s - m_h^2} = - \frac{g^2}{4 m_W^2} \frac{s^2}{s - m_h^2}$ 同理，对于 $t$-道有： $\mathcal{M}_{h,t} \approx - \frac{g^2}{4 m_W^2} \frac{t^2}{t - m_h^2}$ 将两者相加，并利用代数恒等式 $\frac{x^2}{x - m_h^2} = x + m_h^2 + \frac{m_h^4}{x - m_h^2}$ 展开： $\mathcal{M}_h \approx - \frac{g^2}{4 m_W^2} \left( s + t + 2 m_h^2 + \frac{m_h^4}{s - m_h^2} + \frac{m_h^4}{t - m_h^2} \right)$

3. 总矩阵元： 将规范部分与 Higgs 部分相加，随能量增长的 $\mathcal{O}(E^2)$ 项 $(s+t)$ 再次精确抵消，得到高能极限下有限的矩阵元： $\mathcal{M} = \mathcal{M}_{\text{gauge}} + \mathcal{M}_h \approx - \frac{g^2 m_h^2}{4 m_W^2} \left( 2 + \frac{m_h^2}{s - m_h^2} + \frac{m_h^2}{t - m_h^2} \right)$ 代入 $W$ 玻色子质量关系 $m_W = g v / 2$，即 $\frac{g^2 m_h^2}{4 m_W^2} = \frac{m_h^2}{v^2}$，最终得到： $\boxed{ \mathcal{M}(W_L^+ W_L^- \rightarrow W_L^+ W_L^-) \approx - \frac{m_h^2}{v^2} \left( \frac{s}{s - m_h^2} + \frac{t}{t - m_h^2} \right) }$

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(b) 使用 Goldstone 玻色子等效定理 (GBET) 验证

Goldstone 玻色子等效定理指出，在 $E \gg m_W$ 时，纵向规范玻色子的散射振幅等效于其对应的 Goldstone 玻色子的散射振幅：$\mathcal{M}(W_L^+ W_L^- \rightarrow W_L^+ W_L^-) \approx \mathcal{M}(\pi^+ \pi^- \rightarrow \pi^+ \pi^-)$。

在标准模型中，Higgs 二重态参数化为 $H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} \pi^+ \\ v + h + i \pi^0 \end{pmatrix}$。标量势为 $V(H) = \lambda (H^\dagger H - v^2/2)^2$。 展开 $H^\dagger H - \frac{v^2}{2} = v h + \frac{1}{2} h^2 + \pi^+ \pi^- + \frac{1}{2} (\pi^0)^2$，提取与 $\pi^+ \pi^- \rightarrow \pi^+ \pi^-$ 相关的相互作用项： $\mathcal{L} \supset - \lambda (\pi^+ \pi^-)^2 - 2 \lambda v h \pi^+ \pi^-$ 由此可得四点接触顶点为 $-4i\lambda$，三点顶点 $h\pi^+\pi^-$ 为 $-2i\lambda v$。计算树图振幅（包含接触图、$s$-道和 $t$-道 Higgs 交换）： $\mathcal{M}(\pi^+ \pi^- \rightarrow \pi^+ \pi^-) = -4 \lambda + \frac{(-2 \lambda v)^2}{s - m_h^2} + \frac{(-2 \lambda v)^2}{t - m_h^2}$ 利用 Higgs 质量关系 $m_h^2 = 2 \lambda v^2$，可替换 $\lambda = \frac{m_h^2}{2 v^2}$： $\mathcal{M}(\pi^+ \pi^- \rightarrow \pi^+ \pi^-) = - \frac{2 m_h^2}{v^2} - \frac{m_h^4 / v^2}{s - m_h^2} - \frac{m_h^4 / v^2}{t - m_h^2} = - \frac{m_h^2}{v^2} \left( 2 + \frac{m_h^2}{s - m_h^2} + \frac{m_h^2}{t - m_h^2} \right)$ 化简后得到： $\boxed{ \mathcal{M}(\pi^+ \pi^- \rightarrow \pi^+ \pi^-) = - \frac{m_h^2}{v^2} \left( \frac{s}{s - m_h^2} + \frac{t}{t - m_h^2} \right) }$ 这与 (a) 中直接计算纵向 $W$ 玻色子得到的高能行为完全一致。

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(c) 与 $W_L^+ Z_L \rightarrow W_L^+ Z_L$ 散射的幺正性约束对比

为了得到幺正性约束，我们需要计算 $s \gg m_h^2$ 极限下的第 $0$ 分波振幅 $a_0 = \frac{1}{32\pi} \int_{-1}^1 \mathcal{M} d\cos\theta$。

1. 对于 $W_L^+ W_L^- \rightarrow W_L^+ W_L^-$： 在 $s \gg m_h^2$ 极限下，矩阵元趋于常数 $\mathcal{M} \approx - \frac{2 m_h^2}{v^2}$。 $a_0(W_L^+ W_L^-) \approx \frac{1}{32\pi} \int_{-1}^1 \left( - \frac{2 m_h^2}{v^2} \right) d\cos\theta = - \frac{m_h^2}{8 \pi v^2}$

2. 对于 $W_L^+ Z_L \rightarrow W_L^+ Z_L$： 根据 GBET，这等效于 $\pi^+ \pi^0 \rightarrow \pi^+ \pi^0$ 散射。从标量势中提取相关项 $\mathcal{L} \supset - \lambda \pi^+ \pi^- (\pi^0)^2$，得到四点顶点为 $-2i\lambda$。由于 $\pi^+ \pi^0$ 态的电荷守恒，只有 $t$-道可以交换 Higgs 玻色子： $\mathcal{M}(\pi^+ \pi^0 \rightarrow \pi^+ \pi^0) = -2 \lambda + \frac{(-2 \lambda v)^2}{t - m_h^2} = - \frac{m_h^2}{v^2} \left( 1 + \frac{m_h^2}{t - m_h^2} \right) = - \frac{m_h^2}{v^2} \frac{t}{t - m_h^2}$ 在 $s \gg m_h^2$ 极限下，除了极小角区域外 $\frac{t}{t - m_h^2} \approx 1$，矩阵元趋于 $\mathcal{M} \approx - \frac{m_h^2}{v^2}$。 $a_0(W_L^+ Z_L) \approx \frac{1}{32\pi} \int_{-1}^1 \left( - \frac{m_h^2}{v^2} \right) d\cos\theta = - \frac{m_h^2}{16 \pi v^2}$

结论： 对比两者分波振幅的绝对值，有 $|a_0(W_L^+ W_L^-)| = 2 |a_0(W_L^+ Z_L)|$。根据部分波幺正性条件 $|\text{Re } a_0| \le 1/2$，振幅越大给出的质量上限越严格。因此： $\boxed{ \text{是 (Yes)，} W_L^+ W_L^- \rightarrow W_L^+ W_L^- \text{ 散射给出了比 } W_L^+ Z_L \rightarrow W_L^+ Z_L \text{ 更强的幺正性约束。} }$

习题 29.5 - 解答

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(a) $\epsilon_K$ 曲线的形状及其敏感的 CKM 矩阵元组合

参数 $\epsilon_K$ 描述了中性 K 介子系统 ($K^0-\bar{K}^0$) 中的间接 CP 破坏。在标准模型中，$K^0-\bar{K}^0$ 混合主要由包含上型夸克 ($u, c, t$) 和 $W$ 玻色子的盒图 (box diagrams) 贡献。$\epsilon_K$ 正比于混合矩阵元 $M_{12}$ 的虚部： $\epsilon_K \propto \text{Im}(M_{12})$

根据 GIM 机制和 OPE (算符乘积展开)，$M_{12}$ 的表达式依赖于 CKM 矩阵元的组合 $\lambda_i = V_{is}^* V_{id}$（其中 $i = c, t$），具体形式为： $M_{12} \propto \eta_{cc} \lambda_c^2 S_0(x_c) + \eta_{tt} \lambda_t^2 S_0(x_t) + 2\eta_{ct} \lambda_c \lambda_t S_0(x_c, x_t)$ 其中 $x_i = m_i^2/m_W^2$，$S_0$ 为 Inami-Lim 函数，$\eta_{ij}$ 为微扰 QCD 修正因子。

为了在 $(\bar{\rho}, \bar{\eta})$ 平面上分析其形状，我们引入 Wolfenstein 参数化： $V_{cd} \approx -\lambda, \quad V_{cs} \approx 1 \implies \lambda_c \approx -\lambda$ $V_{td} = A\lambda^3(1-\bar{\rho}-i\bar{\eta}), \quad V_{ts} \approx -A\lambda^2 \implies \lambda_t \approx -A^2\lambda^5(1-\bar{\rho}-i\bar{\eta})$

由于 $\lambda_c$ 在此近似下为实数，$\text{Im}(\lambda_c^2) \approx 0$。CP 破坏（虚部）完全来源于包含顶夸克的项：

1. 交叉项 $\lambda_c \lambda_t$ 的虚部： $\text{Im}(\lambda_c \lambda_t) \approx \text{Im}\left[ (-\lambda) \cdot (-A^2\lambda^5(1-\bar{\rho}-i\bar{\eta})) \right] = -A^2\lambda^6 \bar{\eta}$
2. 顶夸克项 $\lambda_t^2$ 的虚部： $\text{Im}(\lambda_t^2) = 2\text{Re}(\lambda_t)\text{Im}(\lambda_t) \approx 2[-A^2\lambda^5(1-\bar{\rho})][A^2\lambda^5\bar{\eta}] = -2A^4\lambda^{10}\bar{\eta}(1-\bar{\rho})$

将这些虚部代入 $\epsilon_K$ 的表达式中，我们得到： $\epsilon_K \propto \bar{\eta} \left[ C_1 + C_2 (1 - \bar{\rho}) \right]$ 其中 $C_1 \propto A^2\lambda^6 \eta_{ct} S_0(x_c, x_t)$ 和 $C_2 \propto A^4\lambda^{10} \eta_{tt} S_0(x_t)$ 均为正的常数。

在实验测量中 $\epsilon_K$ 是一个定值，因此在 $(\bar{\rho}, \bar{\eta})$ 平面上，上述方程的形式为 $\bar{\eta}(K_1 - K_2 \bar{\rho}) = \text{const}$。这是一个双曲线方程。这就是为什么图中标记为 $\epsilon_K$ 的限制曲线呈现出双曲线带的形状。

关于 $\epsilon_K$ 敏感的 CKM 矩阵元组合，由上述推导可知，它直接依赖于 $\text{Im}(\lambda_c \lambda_t)$ 和 $\text{Im}(\lambda_t^2)$。 $\boxed{\text{The parameter } \epsilon_K \text{ is sensitive to the combinations } \text{Im}(V_{cs}^* V_{cd} V_{ts}^* V_{td}) \text{ and } \text{Im}((V_{ts}^* V_{td})^2).}$

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(b) 产生 $\Delta m_d$ 和 $|V_{ub}|$ 曲线的物理测量

1. $\Delta m_d$ 曲线 $\Delta m_d$ 是中性 B 介子系统 ($B^0-\bar{B}^0$，即 $B_d$ 介子) 的质量差。与 K 介子系统类似，它由盒图主导。但由于顶夸克质量极大 ($m_t \gg m_c, m_u$)，顶夸克在环图中的贡献占据绝对主导地位。 $\Delta m_d \propto |V_{tb} V_{td}^*|^2 S_0(x_t)$ 由于 $V_{tb} \approx 1$，我们有 $\Delta m_d \propto |V_{td}|^2$。在 Wolfenstein 参数化下： $|V_{td}|^2 = |A\lambda^3(1-\bar{\rho}-i\bar{\eta})|^2 = A^2\lambda^6 \left[ (1-\bar{\rho})^2 + \bar{\eta}^2 \right]$ 这在 $(\bar{\rho}, \bar{\eta})$ 平面上是一个以 $(1, 0)$ 为圆心的圆。 为了产生这条曲线，需要测量 $B^0-\bar{B}^0$ 混合的振荡频率。 $\boxed{\text{To produce the } \Delta m_d \text{ curves, one must measure the time-dependent oscillation frequency of } B^0 \leftrightarrow \bar{B}^0 \text{ mixing.}}$ （实验上通常通过测量 $B^0$ 介子衰变到特定味最终态（如半轻子衰变 $B^0 \to D^- \ell^+ \nu$）的时间演化率来实现）。

2. $|V_{ub}|$ 曲线 $|V_{ub}|$ 对应于底夸克到上夸克的带电流弱衰变 ($b \to u W^-$)。在 Wolfenstein 参数化下： $V_{ub} = A\lambda^3(\bar{\rho}-i\bar{\eta}) \implies |V_{ub}|^2 = A^2\lambda^6 (\bar{\rho}^2 + \bar{\eta}^2)$ 这在 $(\bar{\rho}, \bar{\eta})$ 平面上是一个以原点 $(0, 0)$ 为圆心的圆。 为了产生这条曲线，需要测量不含粲夸克的 B 介子半轻子衰变过程的衰变率（分支比）。 $\boxed{\text{To produce the } |V_{ub}| \text{ curves, one must measure the branching ratios of charmless semileptonic B decays (e.g., } B \to \pi \ell \nu \text{ or inclusive } B \to X_u \ell \nu \text{).}}$