习题 35.1 - 解答

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习题 35.1 分析与解答

(a) 证明 HQET 拉格朗日量在重参数化变换下的不变性

重夸克有效理论（HQET）的拉格朗日量（包含 $\mathcal{O}(1/m_Q)$ 修正）为：

其中 $D_\perp^\mu = D^\mu - v^\mu (v \cdot D)$。在 $\mathcal{O}(1/m_Q)$ 精度下，动能项也可等价写作 $-\bar{Q}_v \frac{D^2}{2m_Q} Q_v$。

给定的重参数化变换（Reparametrization Invariance, RPI）为：

其中 $v \cdot k = 0$ 且 $k \ll m_Q$。对应的伴随旋量变换为 $\bar{Q}_v \rightarrow \bar{Q}_v \left( 1 + \frac{\cancel{k}}{2m_Q} \right) e^{-ik \cdot x}$。

第一步：分析领头项 $\bar{Q}_v i v \cdot D Q_v$ 的变换 将变换代入领头项，并保留至 $\mathcal{O}(1/m_Q)$：

由于导数作用在相位上会产生平移 $e^{-ik \cdot x} D_\mu e^{ik \cdot x} = D_\mu + i k_\mu$，中间的算符变为 $i(v + k/m_Q) \cdot (D + ik) = i v \cdot D - v \cdot k + i \frac{k \cdot D}{m_Q} + \mathcal{O}(1/m_Q^2)$。利用 $v \cdot k = 0$，算符化简为 $i v \cdot D + i \frac{k \cdot D}{m_Q}$。

将其夹在旋量之间展开：

由于 $v \cdot D$ 是标量算符，它与 $\cancel{k}$ 对易。利用 HQET 旋量的性质 $\cancel{v} Q_v = Q_v$ 和 $\bar{Q}_v \cancel{v} = \bar{Q}_v$，我们有 $\bar{Q}_v \cancel{k} Q_v = \bar{Q}_v \frac{\{\cancel{v}, \cancel{k}\}}{2} Q_v = \bar{Q}_v (v \cdot k) Q_v = 0$。因此包含 $\cancel{k}$ 的项在物理态上矩阵元为零。领头项的变分为：

第二步：分析次领头项 $-\bar{Q}_v \frac{D^2}{2m_Q} Q_v$ 的变换 由于该项本身已是 $\mathcal{O}(1/m_Q)$，我们只需考虑变换中的 $\mathcal{O}(k^0)$ 部分，即相因子 $Q_v \to e^{ik \cdot x} Q_v$。

忽略高阶项 $k^2/m_Q$，并利用 $k$ 是常矢量（$k \cdot D = D \cdot k$），得到：

这精确抵消了领头项产生的变分。色磁矩项 $-\frac{g_s}{4m_Q} \bar{Q}_v \sigma_{\mu\nu} F^{\mu\nu} Q_v$ 在此变换下显然是不变的（相因子抵消，且无导数作用于场）。因此，总拉格朗日量在 $\mathcal{O}(1/m_Q)$ 下具有重参数化不变性。

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(b) 利用 RPI 证明动能项与领头项的重整化不可独立进行

重参数化不变性（RPI）是源自全 QCD 洛伦兹不变性的精确对称性，因此重整化后的裸拉格朗日量（Bare Lagrangian）也必须严格遵守 RPI。 设裸拉格朗日量中这两个算符的重整化常数分别为 $Z_v$ 和 $Z_k$：

对其施加 (a) 中的 RPI 变换，变分为：

为了使裸拉格朗日量保持 RPI 对称性（即 $\delta \mathcal{L}_0 = 0$），必须满足：

这表明动能项 $\bar{Q}_v \frac{D^2}{2m_Q} Q_v$ 的重整化常数被领头项 $\bar{Q}_v i v \cdot D Q_v$ 唯一锁定，它们不能被独立重整化。

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(c) 通过单圈计算验证两项具有相同的重整化方式

为了在单圈水平上直接验证 $Z_v = Z_k$，我们需要计算重夸克的单圈自能 $\Sigma(p)$。 在 HQET 中，包含动能项修正的完整重夸克传播子为：

定义组合动量变量 $E \equiv v \cdot p - \frac{p^2}{2m_Q}$。对应的夸克-胶子顶角（由协变导数展开得到）为：

在 Feynman 规范下，单圈自能积分为：

为了提取 UV 发散，我们关注积分的高动量区域。在微扰展开中，我们将传播子分母中的 $E$ 作为一个整体保留（它充当红外截断并追踪外部运动学依赖），而将顶角收缩：

在严格的 $1/m_Q$ 展开下，自能的 UV 发散完全由领头项积分的结构决定。将传播子按 $k$ 展开并提取对数发散部分，其核心积分正比于：

利用维度正规化（$d = 4 - 2\epsilon$）计算该标准 HQET 积分：

代入色因子 $C_F$ 和耦合常数，单圈自能的极点部分为：

物理结论： 自能的 UV 发散严格正比于组合变量 $E = v \cdot p - \frac{p^2}{2m_Q}$。这意味着抵消该发散所需的反项结构为：

这直接证明了 $v \cdot D$ 算符与 $\frac{D^2}{2m_Q}$ 算符吸收了完全相同的重整化常数（即 $\delta Z_v = \delta Z_k$），从而在单圈水平上确证了：

两者确实以相同的方式被重整化。

习题 35.2 - 解答

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为了计算 HQET 中色磁偶极矩算符 $\mathcal{O} = \frac{g}{4m_Q} \bar{Q}_v \sigma_{\mu\nu} F^{\mu\nu} Q_v$ 在单圈水平的反常维数，最简捷且物理图像最清晰的方法是使用背景场方法 (Background Field Method, BFM)。

在背景场方法中，我们将规范场分解为背景场 $B^\mu$ 和量子场 $A^\mu$。算符中的 $F^{\mu\nu}$ 被视为纯背景场 $G^{\mu\nu}$。由于背景场方法保留了显式的规范不变性，乘积 $g G^{\mu\nu}$ 是不重整化的（即 $Z_g Z_B^{1/2} = 1$）。因此，算符 $\mathcal{O}$ 的重整化常数 $Z_{\mathcal{O}}$ 完全由重夸克的波函数重整化 $Z_Q$ 和包含算符插入的 1PI 顶点修正 $Z_{1PI}$ 决定： $\mathcal{O}_{bare} = Z_{\mathcal{O}} \mathcal{O}_{ren}, \quad Z_{\mathcal{O}} = Z_Q Z_{1PI}$

下面分两步进行具体计算。我们在 $d = 4 - 2\epsilon$ 维和 Feynman 规范下进行推导。

1. 重夸克波函数重整化 $Z_Q$

重夸克的单圈自能图由交换一个量子胶子给出。设重夸克的剩余动量为 $p$，且 $v \cdot p = \omega$。自能 $-i\Sigma(\omega)$ 的积分为： $-i\Sigma(\omega) = \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} (-ig v_\mu T^a) \frac{i}{v \cdot (p+k) + i\epsilon} (-ig v^\mu T^a) \frac{-i}{k^2 + i\epsilon}$ 提取颜色因子 $T^a T^a = C_F$，并利用 HQET 中的标准积分公式： $\int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \frac{1}{k^2 (v \cdot k + \omega)} = \frac{i}{(4\pi)^2} \frac{2\omega}{\epsilon_{UV}} + \text{有限项}$ 代入可得： $-i\Sigma(\omega) = -g^2 C_F \frac{i}{(4\pi)^2} \frac{2\omega}{\epsilon} = -i \frac{\alpha_s}{4\pi} C_F \frac{2}{\epsilon} \omega \implies \Sigma(\omega) = \frac{\alpha_s}{4\pi} C_F \frac{2}{\epsilon} \omega$ 重夸克传播子为 $\frac{i}{\omega - \Sigma(\omega)} \approx \frac{i}{\omega} \left( 1 + \frac{\Sigma(\omega)}{\omega} \right)$，由此得到波函数重整化常数： $Z_Q = 1 + \frac{\alpha_s}{4\pi} \frac{2C_F}{\epsilon}$

2. 1PI 顶点修正 $Z_{1PI}$

在背景场方法中，算符 $\mathcal{O}$ 作为背景场 $G^{\mu\nu}$ 的插入顶点，其树图顶点规则为 $V_0 = \frac{g}{4m_Q} \sigma_{\mu\nu} G^{\mu\nu}_a T^a$。 单圈 1PI 修正仅来自量子胶子跨越该算符顶点的交换图（其他如图中算符发射量子胶子的图，其结果正比于 $v \cdot p$，在壳条件下为零）。该顶点修正图的值为： $V_1 = \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} (-ig v_\alpha T^b) \frac{i}{v \cdot (p'+k)} V_0 \frac{i}{v \cdot (p+k)} (-ig v^\alpha T^b) \frac{-i}{k^2}$ 首先计算颜色因子： $T^b T^a T^b = T^b [T^a, T^b] + T^b T^b T^a = -\frac{1}{2} C_A T^a + C_F T^a = \left( C_F - \frac{C_A}{2} \right) T^a$ 为了提取紫外发散，我们令外动量 $p=p'=0$（或保留相同的红外调节器 $\omega$）。积分部分为： $I_{vertex} = \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \frac{1}{k^2 (v \cdot k + \omega)^2}$ 利用对 $\omega$ 的求导技巧，可以直接从自能积分中得到该结果： $I_{vertex} = -\frac{\partial}{\partial \omega} \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \frac{1}{k^2 (v \cdot k + \omega)} = -\frac{\partial}{\partial \omega} \left( \frac{i}{(4\pi)^2} \frac{2\omega}{\epsilon} \right) = -\frac{i}{(4\pi)^2} \frac{2}{\epsilon}$ 将所有因子组合起来： $V_1 = -g^2 \left( C_F - \frac{C_A}{2} \right) V_0 \left( -\frac{i}{(4\pi)^2} \frac{2}{\epsilon} \right) = -\frac{\alpha_s}{4\pi} \left( 2C_F - C_A \right) \frac{1}{\epsilon} V_0$ 因此，1PI 顶点的重整化常数为： $Z_{1PI} = 1 - \frac{\alpha_s}{4\pi} \frac{2C_F - C_A}{\epsilon}$

3. 算符的反常维数 $\gamma$

结合上述结果，算符的总重整化常数 $Z_{\mathcal{O}}$ 为： $Z_{\mathcal{O}} = Z_Q Z_{1PI} = \left( 1 + \frac{\alpha_s}{4\pi} \frac{2C_F}{\epsilon} \right) \left( 1 - \frac{\alpha_s}{4\pi} \frac{2C_F - C_A}{\epsilon} \right) = 1 + \frac{\alpha_s}{4\pi} \frac{C_A}{\epsilon}$ 注意这里 $C_F$ 的依赖性完全抵消，这反映了色磁偶极矩算符反常维数的一个重要特征。

根据反常维数的定义 $\gamma = \frac{d \ln Z_{\mathcal{O}}}{d \ln \mu}$，并利用 $d$-维空间中耦合常数的重整化群方程 $\frac{d \alpha_s}{d \ln \mu} = -2\epsilon \alpha_s + \mathcal{O}(\alpha_s^2)$，我们得到： $\gamma = \frac{d}{d \ln \mu} \left( \frac{\alpha_s}{4\pi} \frac{C_A}{\epsilon} \right) = \frac{C_A}{4\pi \epsilon} (-2\epsilon \alpha_s) = -2 C_A \frac{\alpha_s}{4\pi}$ (注：若按照 Wilson 系数 $C(\mu)$ 的演化方程 $\mu \frac{d}{d\mu} C(\mu) = \gamma_C C(\mu)$ 定义，则 $\gamma_C = -\gamma = 2 C_A \frac{\alpha_s}{4\pi}$，这导致了低能标下色磁相互作用的压低效应。)

最终，该 HQET 算符在单圈水平的反常维数为： $\boxed{ \gamma = -2 C_A \frac{\alpha_s}{4\pi} }$