习题 3.1 - 解答

---

物理背景与分析 本题旨在从自由标量场的等时对易关系（Equal-Time Commutation Relations, ETCR）出发，推导产生与湮灭算符 $a^\dagger(\mathbf{k})$ 和 $a(\mathbf{k})$ 的对易关系。这是正则量子化过程中的核心步骤，它将场算符的量子化条件转化为动量空间中粒子态的代数结构，从而建立起多粒子 Fock 空间。

推导过程

首先，根据式 (3.21) 和 (3.24)，将湮灭算符 $a(\mathbf{k})$ 及其厄米共轭（产生算符） $a^\dagger(\mathbf{k})$ 用场算符 $\varphi(x)$ 和共轭动量 $\Pi(x)$ 表示。 已知四维内积 $kx = \omega_k t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}$，其中 $\omega_k = \sqrt{\mathbf{k}^2 + m^2}$。将 $\Pi(x) = \partial_0 \varphi(x)$ 代入式 (3.21) 可得：

由于 $\varphi(x)$ 和 $\Pi(x)$ 均为厄米算符，对上式取厄米共轭可得产生算符：

由于算符 $a(\mathbf{k})$ 和 $a^\dagger(\mathbf{k})$ 是守恒量（不随时间演化），我们可以选择在同一时刻 $t$ 计算它们的对易子。

1. 计算 $[a(\mathbf{k}), a(\mathbf{k}')]$

利用积分表达式展开对易子：

利用式 (3.28) 给出的等时对易关系：

展开被积函数中的对易子：

将其代回积分中，并利用 $\delta$ 函数完成对 $\mathbf{y}$ 的积分：

由于 $\delta^3(\mathbf{k} + \mathbf{k}')$ 要求 $\mathbf{k}' = -\mathbf{k}$，此时 $\omega_{k'} = \sqrt{(-\mathbf{k})^2 + m^2} = \omega_k$。因此因子 $(-\omega_k + \omega_{k'}) = 0$，从而得到：

2. 计算 $[a^\dagger(\mathbf{k}), a^\dagger(\mathbf{k}')]$

对上述结果直接取厄米共轭，利用对易子的性质 $[A, B]^\dagger = -[A^\dagger, B^\dagger]$，可得：

或者通过完全类似的积分计算，对易子部分变为 $(\omega_k - \omega_{k'}) \delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y})$，同样由于 $\delta^3(\mathbf{k} + \mathbf{k}')$ 使得 $\omega_k = \omega_{k'}$，结果为零：

3. 计算 $[a(\mathbf{k}), a^\dagger(\mathbf{k}')]$

展开对易子：

计算被积函数中的对易子：

代回积分并对 $\mathbf{y}$ 积分：

狄拉克 $\delta$ 函数 $\delta^3(\mathbf{k} - \mathbf{k}')$ 强制要求 $\mathbf{k}' = \mathbf{k}$，这蕴含着 $\omega_{k'} = \omega_k$。 因此，时间演化相位因子 $e^{-i (\omega_k - \omega_{k'}) t} = e^0 = 1$，且能量因子 $(\omega_k + \omega_{k'}) = 2\omega_k$。代入后得到最终结果：

至此，式 (3.29) 的三个对易关系已全部推导完毕。

习题 3.2 - 解答

---

题目分析

本题要求证明由 $n$ 个产生算符作用在真空态上构成的多粒子态 $|k_1 \dots k_n\rangle$ 是自由场哈密顿量 $H$ 的本征态，并求出其本征值。 根据题意，取 $\mathcal{E}_0 = \Omega_0$，哈密顿量常数项抵消，式 (3.30) 简化为：

其中，$\widetilde{dk}$ 是洛伦兹不变的相空间测度，其定义与对易关系式 (3.29) 相匹配，即 $\widetilde{dk} = \frac{d^3k}{(2\pi)^3 2\omega_{\mathbf{k}}}$。$\omega_{\mathbf{k}}$ 代表动量为 $\mathbf{k}$ 的粒子的能量。

要计算 $H$ 作用在态 $|k_1 \dots k_n\rangle$ 上的结果，核心技巧是利用对易关系计算单粒子产生算符与哈密顿量的对易子 $[H, a^\dagger(\mathbf{p})]$，然后将 $H$ 逐次向右对易，直到其直接作用于真空态 $|0\rangle$ 上并将其湮灭。

解题过程

第一步：计算基本对易子 $[H, a^\dagger(\mathbf{p})]$

利用算符对易关系恒等式 $[AB, C] = A[B, C] + [A, C]B$，我们计算哈密顿量密度与产生算符的对易关系：

根据式 (3.29) 给出的对易关系 $[a^\dagger(\mathbf{k}), a^\dagger(\mathbf{p})] = 0$ 以及 $[a(\mathbf{k}), a^\dagger(\mathbf{p})] = (2\pi)^3 2\omega_{\mathbf{k}} \ \delta^3(\mathbf{k} - \mathbf{p})$，上式化简为：

将其代入哈密顿量 $H$ 的积分中：

利用狄拉克 $\delta$ 函数的性质完成对 $\mathbf{k}$ 的积分，得到：

这表明产生算符 $a^\dagger(\mathbf{p})$ 具有将系统能量增加 $\omega_{\mathbf{p}}$ 的作用。该关系也可等价写为：

第二步：确定哈密顿量对真空态的作用

已知真空态满足 $a(\mathbf{k})|0\rangle = 0$，因此哈密顿量作用于真空态的结果为：

即真空态的能量本征值为 $0$。

第三步：计算 $H$ 对多粒子态 $|k_1 \dots k_n\rangle$ 的作用

将哈密顿量作用于目标态：

利用式 (2)，将 $H$ 与最左侧的 $a^\dagger(\mathbf{k}_1)$ 交换位置：

其中简记 $\omega_i \equiv \omega_{\mathbf{k}_i}$。展开后得到：

继续将 $H$ 与 $a^\dagger(\mathbf{k}_2)$ 交换位置：

重复此过程（即通过数学归纳法），将 $H$ 逐次向右移动穿过所有的产生算符，每次交换都会产生一个对应的能量项 $\omega_i$：

根据式 (3)，最右侧的 $H|0\rangle = 0$，因此最后一项消失。最终得到：

结论

上述推导明确表明，态 $|k_1 \dots k_n\rangle$ 是哈密顿量 $H$ 的本征态，其对应的本征值为各个单粒子能量之和。

习题 3.3 - 解答

---

习题分析与物理背景

在相对论性量子场论中，标量场 $\varphi(x)$ 在洛伦兹变换下作为一个标量函数变换，即 $U(\Lambda)^{-1}\varphi(x)U(\Lambda) = \varphi(\Lambda^{-1}x)$。为了探究这一变换对动量空间中的产生算符 $a^\dagger(\mathbf{k})$ 和湮灭算符 $a(\mathbf{k})$ 的影响，我们需要利用自由标量场的傅里叶展开。

关键的物理概念在于洛伦兹不变的动量积分测度。通常，标量场展开为：

其中 $d\tilde{k}$ 是洛伦兹不变测度（例如 $d\tilde{k} = \frac{d^3k}{(2\pi)^3 2\omega_k}$）。利用测度的不变性以及四维内积的洛伦兹不变性，我们可以直接提取出算符的变换规律。进而，通过在产生算符之间插入幺正算符的恒等式 $U^{-1}U = I$，并结合真空态的洛伦兹不变性，可以推导出多粒子态的变换行为。

---

解题过程

(1) 证明产生与湮灭算符的变换规律

首先，写出标量场 $\varphi(x)$ 的傅里叶展开式：

对场算符应用洛伦兹变换的幺正算符 $U(\Lambda)$：

根据题意，场算符的变换满足 $U(\Lambda)^{-1}\varphi(x)U(\Lambda) = \varphi(\Lambda^{-1}x)$。我们将 $\Lambda^{-1}x$ 代入场的展开式中：

利用四维矢量的内积性质，我们知道 $k \cdot (\Lambda^{-1}x) = (\Lambda k) \cdot x$。因此上式可以写为：

为了与 $U(\Lambda)^{-1}\varphi(x)U(\Lambda)$ 的表达式进行对比，我们对积分变量进行代换。令 $k' = \Lambda k$，由于积分测度 $d\tilde{k}$ 是洛伦兹不变的，故有 $d\tilde{k}' = d\tilde{k}$。同时，逆变换给出 $k = \Lambda^{-1}k'$。代入积分中得到：

将积分哑变量 $k'$ 重新替换为 $k$，我们得到：

比较 $U(\Lambda)^{-1}\varphi(x)U(\Lambda)$ 和 $\varphi(\Lambda^{-1}x)$ 展开式中 $e^{-ik \cdot x}$ 和 $e^{ik \cdot x}$ 的系数，由于平面波基底的线性独立性，必然有：

(2) 证明多粒子态的变换规律

已知 $n$ 粒子态定义为 $|k_1 \dots k_n\rangle = a^\dagger(\mathbf{k}_1) \dots a^\dagger(\mathbf{k}_n)|0\rangle$。我们需要计算 $U(\Lambda)|k_1 \dots k_n\rangle$。

首先，从前面得到的产生算符变换关系 $U(\Lambda)^{-1}a^\dagger(\mathbf{k})U(\Lambda) = a^\dagger(\Lambda^{-1}\mathbf{k})$ 出发。将该式中的 $\Lambda$ 替换为 $\Lambda^{-1}$，得到：

由于 $U$ 是洛伦兹群的幺正表示，满足 $U(\Lambda^{-1}) = U(\Lambda)^{-1}$，因此 $U(\Lambda^{-1})^{-1} = U(\Lambda)$。上式即化简为：

现在，将 $U(\Lambda)$ 作用于 $n$ 粒子态：

在每一个产生算符之间插入恒等算符 $I = U(\Lambda)^{-1}U(\Lambda)$：

利用物理真空态的洛伦兹不变性，即 $U(\Lambda)|0\rangle = |0\rangle$，并将前面推导的 $U(\Lambda)a^\dagger(\mathbf{k})U(\Lambda)^{-1} = a^\dagger(\Lambda\mathbf{k})$ 逐项代入：

根据多粒子态的定义，右侧正是动量分别为 $\Lambda k_1, \dots, \Lambda k_n$ 的 $n$ 粒子态。因此我们证明了：

习题 3.4 - 解答

---

a) 推导 $[\varphi(x), P^\mu]$

已知时空平移算符为 $T(a) \equiv \exp(-iP^\mu a_\mu)$，且满足 $T(a)^{-1}\varphi(x)T(a) = \varphi(x - a)$。 当 $a^\mu$ 为无穷小量时，我们可以将等式两侧保留至 $a^\mu$ 的一阶项进行展开。 对于等式左侧，平移算符及其逆算符展开为： $T(a) \approx 1 - iP^\mu a_\mu, \quad T(a)^{-1} \approx 1 + iP^\mu a_\mu$ 代入左侧得到： $(1 + iP^\mu a_\mu)\varphi(x)(1 - iP^\nu a_\nu) \approx \varphi(x) + i a_\mu P^\mu \varphi(x) - i a_\mu \varphi(x) P^\mu = \varphi(x) + i a_\mu [P^\mu, \varphi(x)]$ 对于等式右侧，将场算符在 $x$ 处进行泰勒展开： $\varphi(x - a) \approx \varphi(x) - a^\mu \partial_\mu \varphi(x) = \varphi(x) - a_\mu \partial^\mu \varphi(x)$ 比较等式两侧的一阶项，得到： $i a_\mu [P^\mu, \varphi(x)] = - a_\mu \partial^\mu \varphi(x)$ 由于 $a_\mu$ 是任意无穷小量，可将其消去，得到： $i [P^\mu, \varphi(x)] = - \partial^\mu \varphi(x)$ 两边同乘 $-i$ 并利用对易子反对称性 $[A, B] = -[B, A]$，得到最终结果： $\boxed{ [\varphi(x), P^\mu] = -i \partial^\mu \varphi(x) }$

b) 证明其时间分量等价于海森堡运动方程

取 (a) 中结果的时间分量 $\mu = 0$： $[\varphi(x), P^0] = -i \partial^0 \varphi(x)$ 已知 $P^0$ 被等同于哈密顿量 $H$。为了使该结果与标准的海森堡运动方程 $i\dot{\varphi} = [\varphi, H]$ 符号完全一致，我们需要采用“多加”度规约定（mostly-plus metric signature）$(-, +, +, +)$。 在该度规下，坐标逆变与协变分量的关系为 $x^\mu = (t, \mathbf{x})$，$x_\mu = (-t, \mathbf{x})$，因此导数算符满足 $\partial^0 = -\partial_0 = -\frac{\partial}{\partial t}$。 代入上式可得： $[\varphi(x), H] = -i \left( -\frac{\partial \varphi}{\partial t} \right) = i \dot{\varphi}(x)$ 等式两边同乘 $i$（注意 $i^2 = -1$），并交换对易子顺序： $\boxed{ i\dot{\varphi}(x) = [\varphi(x), H] }$ 这正是算符演化的海森堡运动方程。

c) 利用海森堡方程推导自由场的克莱因-高登方程

自由标量场的哈密顿量为： $H = \int d^3y \, \frac{1}{2} \left[ \Pi(\mathbf{y})^2 + (\nabla_y \varphi(\mathbf{y}))^2 + m^2 \varphi(\mathbf{y})^2 \right]$ 利用等时正则对易关系 $[\varphi(\mathbf{x}), \Pi(\mathbf{y})] = i\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ 以及 $[\varphi(\mathbf{x}), \varphi(\mathbf{y})] = 0$，计算 $\dot{\varphi}$： $\dot{\varphi}(\mathbf{x}) = -i [\varphi(\mathbf{x}), H] = -i \int d^3y \, \frac{1}{2} [\varphi(\mathbf{x}), \Pi(\mathbf{y})^2] = -i \int d^3y \, i\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y}) \Pi(\mathbf{y}) = \Pi(\mathbf{x})$ 接着计算 $\ddot{\varphi}(\mathbf{x}) = \dot{\Pi}(\mathbf{x}) = -i [\Pi(\mathbf{x}), H]$。利用 $[\Pi(\mathbf{x}), \Pi(\mathbf{y})] = 0$ 和 $[\Pi(\mathbf{x}), \varphi(\mathbf{y})] = -i\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})$： $[\Pi(\mathbf{x}), H] = \int d^3y \, \frac{1}{2} \left( [\Pi(\mathbf{x}), (\nabla_y \varphi(\mathbf{y}))^2] + m^2 [\Pi(\mathbf{x}), \varphi(\mathbf{y})^2] \right)$ 其中： $[\Pi(\mathbf{x}), (\nabla_y \varphi(\mathbf{y}))^2] = 2 \nabla_y \varphi(\mathbf{y}) \cdot \nabla_y [\Pi(\mathbf{x}), \varphi(\mathbf{y})] = 2 \nabla_y \varphi(\mathbf{y}) \cdot \nabla_y (-i\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y}))$ $[\Pi(\mathbf{x}), \varphi(\mathbf{y})^2] = 2 \varphi(\mathbf{y}) (-i\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y}))$ 代入积分，并对第一项进行分部积分（假设边界项为零）： $[\Pi(\mathbf{x}), H] = -i \int d^3y \left[ -\nabla_y^2 \varphi(\mathbf{y}) \delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y}) + m^2 \varphi(\mathbf{y}) \delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y}) \right] = i \nabla^2 \varphi(\mathbf{x}) - i m^2 \varphi(\mathbf{x})$ 因此： $\ddot{\varphi}(\mathbf{x}) = -i \left( i \nabla^2 \varphi(\mathbf{x}) - i m^2 \varphi(\mathbf{x}) \right) = \nabla^2 \varphi(\mathbf{x}) - m^2 \varphi(\mathbf{x})$ 移项并利用达朗贝尔算符 $\partial_\mu \partial^\mu = -\partial_t^2 + \nabla^2$（在 $(-,+,+,+)$ 度规下），得到： $\boxed{ (\partial_\mu \partial^\mu + m^2)\varphi(x) = 0 }$ 此即克莱因-高登方程。

d) 证明空间动量算符 $\mathbf{P}$ 满足 (a) 中的关系

已知空间动量算符定义为： $\mathbf{P} \equiv - \int d^3y \, \Pi(\mathbf{y}) \nabla_y \varphi(\mathbf{y})$ 计算 $\varphi(\mathbf{x})$ 与 $\mathbf{P}$ 的对易子（注意 $\varphi(\mathbf{x})$ 与 $\nabla_y \varphi(\mathbf{y})$ 对易）： $[\varphi(\mathbf{x}), \mathbf{P}] = - \int d^3y \, [\varphi(\mathbf{x}), \Pi(\mathbf{y})] \nabla_y \varphi(\mathbf{y})$ 代入等时正则对易关系 $[\varphi(\mathbf{x}), \Pi(\mathbf{y})] = i\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y})$： $[\varphi(\mathbf{x}), \mathbf{P}] = - \int d^3y \, i\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y}) \nabla_y \varphi(\mathbf{y}) = -i \nabla \varphi(\mathbf{x})$ 在 $(-,+,+,+)$ 度规下，空间分量 $\mu = j$ 满足 $\partial^j = \partial_j = \nabla^j$。因此上式可写为分量形式： $\boxed{ [\varphi(x), P^j] = -i \partial^j \varphi(x) }$ 这与 (a) 中推导的 $[\varphi(x), P^\mu] = -i \partial^\mu \varphi(x)$ 的空间分量完全一致。

e) 用产生和湮灭算符表达 $\mathbf{P}$

写出自由标量场 $\varphi(\mathbf{x})$ 和共轭动量 $\Pi(\mathbf{x})$ 在 $t=0$ 时的动量空间展开式： $\varphi(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3 \sqrt{2\omega_k}} \left( a(\mathbf{k}) e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} + a^\dagger(\mathbf{k}) e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} \right)$ $\Pi(\mathbf{x}) = \dot{\varphi}(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3 \sqrt{2\omega_k}} (-i\omega_k) \left( a(\mathbf{k}) e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} - a^\dagger(\mathbf{k}) e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}} \right)$ 计算 $\varphi(\mathbf{x})$ 的空间梯度： $\nabla \varphi(\mathbf{x}) = \int \frac{d^3k'}{(2\pi)^3 \sqrt{2\omega_{k'}}} (i\mathbf{k}') \left( a(\mathbf{k}') e^{i\mathbf{k}'\cdot\mathbf{x}} - a^\dagger(\mathbf{k}') e^{-i\mathbf{k}'\cdot\mathbf{x}} \right)$ 将它们代入 $\mathbf{P}$ 的定义式中，并首先完成对 $d^3x$ 的空间积分。空间积分会产生狄拉克 $\delta$ 函数 $(2\pi)^3 \delta^{(3)}(\mathbf{k} \pm \mathbf{k}')$，从而消除 $d^3k'$ 的积分： $\mathbf{P} = - \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3 2\omega_k} (\omega_k \mathbf{k}) \left[ a(\mathbf{k})a(-\mathbf{k}) - a(\mathbf{k})a^\dagger(\mathbf{k}) - a^\dagger(\mathbf{k})a(\mathbf{k}) + a^\dagger(\mathbf{k})a^\dagger(-\mathbf{k}) \right]$ 由于积分域是对称的，且 $\mathbf{k}$ 是奇函数，而 $a(\mathbf{k})a(-\mathbf{k})$ 和 $a^\dagger(\mathbf{k})a^\dagger(-\mathbf{k})$ 在 $\mathbf{k} \to -\mathbf{k}$ 下是偶函数，因此这两项的积分严格为零。剩下交叉项： $\mathbf{P} = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \frac{\mathbf{k}}{2} \left[ a(\mathbf{k})a^\dagger(\mathbf{k}) + a^\dagger(\mathbf{k})a(\mathbf{k}) \right]$ 利用对易关系 $a(\mathbf{k})a^\dagger(\mathbf{k}) = a^\dagger(\mathbf{k})a(\mathbf{k}) + (2\pi)^3 \delta^{(3)}(0)$ 进行正规序化（Normal Ordering）。由于无穷大常数项正比于 $\int d^3k \, \mathbf{k} \delta^{(3)}(0)$，被积函数为奇函数，该常数项积分为零（物理上也要求真空动量为零）。最终得到： $\boxed{ \mathbf{P} = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \mathbf{k} \, a^\dagger(\mathbf{k}) a(\mathbf{k}) }$