Gauge Field Notes
4.1

Problem 4.1

srednickiChapter 4

习题 4.1

来源: 第4章, PDF第48页

4.1 Verify eq. (4.12). Verify its limit as m→0m \rightarrow 0.

Referenced Equations:

Equation (4.12):

[φ+(x),φ−(x′)]∓=∫dk~ dk~′ ei(kx−k′x′)[a(k),a†(k′)]∓=∫dk~ eik(x−x′)=m4π2rK1(mr)≡C(r).(4.12)\begin{aligned} [\varphi^{+}(x), \varphi^{-}(x')]_{\mp} &= \int \widetilde{dk} \, \widetilde{dk}' \, e^{i(kx - k'x')} [a(\mathbf{k}), a^{\dagger}(\mathbf{k}')]_{\mp} \\ &= \int \widetilde{dk} \, e^{ik(x - x')} \\ &= \frac{m}{4\pi^2 r} K_1(mr) \\ &\equiv C(r) . \end{aligned} \tag{4.12}

习题 4.1 - 解答

验证公式 (4.12)

在相对论性量子场论中，标量场的正频部分 φ+(x)\varphi^{+}(x)（包含湮灭算符）与负频部分 φ−(x′)\varphi^{-}(x')（包含产生算符）的对易（或反对易）关系由下式给出。首先，利用洛伦兹不变的动量空间积分测度 dk~=d3k(2π)32ωk\widetilde{dk} = \frac{d^3k}{(2\pi)^3 2\omega_k}，其中 ωk=k2+m2\omega_k = \sqrt{\mathbf{k}^2 + m^2}。

产生与湮灭算符满足标准的对易（或反对易）关系：

[a(k),a†(k′)]∓=(2π)32ωkδ(3)(k−k′)[a(\mathbf{k}), a^{\dagger}(\mathbf{k}')]_{\mp} = (2\pi)^3 2\omega_k \delta^{(3)}(\mathbf{k} - \mathbf{k}')

将此关系代入对易子的定义式中：

[φ+(x),φ−(x′)]∓=∫dk~ dk~′ ei(kx−k′x′)[a(k),a†(k′)]∓=∫d3k(2π)32ωk∫d3k′(2π)32ωk′ei(kx−k′x′)(2π)32ωkδ(3)(k−k′)\begin{aligned} [\varphi^{+}(x), \varphi^{-}(x')]_{\mp} &= \int \widetilde{dk} \, \widetilde{dk}' \, e^{i(kx - k'x')} [a(\mathbf{k}), a^{\dagger}(\mathbf{k}')]_{\mp} \\ &= \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3 2\omega_k} \int \frac{d^3k'}{(2\pi)^3 2\omega_{k'}} e^{i(kx - k'x')} (2\pi)^3 2\omega_k \delta^{(3)}(\mathbf{k} - \mathbf{k}') \end{aligned}

利用 δ\delta 函数完成对 k′\mathbf{k}' 的积分，此时 k′→k\mathbf{k}' \to \mathbf{k}，ωk′→ωk\omega_{k'} \to \omega_k，且 k′→kk' \to k：

[φ+(x),φ−(x′)]∓=∫d3k(2π)32ωkeik(x−x′)=∫dk~ eik(x−x′)[\varphi^{+}(x), \varphi^{-}(x')]_{\mp} = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3 2\omega_k} e^{ik(x - x')} = \int \widetilde{dk} \, e^{ik(x - x')}

这证明了公式 (4.12) 的前两行。

为了计算该积分的具体空间依赖形式，我们考虑类空间隔，并选取等时参考系 x0=x′0x^0 = x'^0。此时四维内积 k(x−x′)=k⋅(x−x′)=k⋅rk(x - x') = \mathbf{k} \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{x}') = \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}，其中 r=x−x′\mathbf{r} = \mathbf{x} - \mathbf{x}'，且定义距离 r=∣r∣r = |\mathbf{r}|。

积分变为：

I=∫d3k(2π)32k2+m2eik⋅rI = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3 2\sqrt{\mathbf{k}^2 + m^2}} e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}

在动量空间采用球坐标系，并将极轴 zz 选在 r\mathbf{r} 的方向上，使得 k⋅r=krcos⁡θ\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} = kr \cos\theta：

I=1(2π)3∫0∞k2 dk2k2+m2∫0πeikrcos⁡θsin⁡θ dθ∫02πdϕI = \frac{1}{(2\pi)^3} \int_0^\infty \frac{k^2 \, dk}{2\sqrt{k^2 + m^2}} \int_0^\pi e^{ikr \cos\theta} \sin\theta \, d\theta \int_0^{2\pi} d\phi

先完成角向积分：

∫02πdϕ∫0πeikrcos⁡θsin⁡θ dθ=2π[eikrcos⁡θ−ikr]0π=2πeikr−e−ikrikr=4πsin⁡(kr)kr\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi e^{ikr \cos\theta} \sin\theta \, d\theta = 2\pi \left[ \frac{e^{ikr \cos\theta}}{-ikr} \right]_0^\pi = 2\pi \frac{e^{ikr} - e^{-ikr}}{ikr} = \frac{4\pi \sin(kr)}{kr}

将其代回原积分：

I=14π2r∫0∞ksin⁡(kr)k2+m2 dkI = \frac{1}{4\pi^2 r} \int_0^\infty \frac{k \sin(kr)}{\sqrt{k^2 + m^2}} \, dk

为了计算这个径向积分，我们可以利用第二类修正贝塞尔函数 K0(z)K_0(z) 的标准积分表示：

∫0∞cos⁡(kr)k2+m2 dk=K0(mr)\int_0^\infty \frac{\cos(kr)}{\sqrt{k^2 + m^2}} \, dk = K_0(mr)

对上式两边关于参数 rr 求导：

∂∂r∫0∞cos⁡(kr)k2+m2 dk=∫0∞−ksin⁡(kr)k2+m2 dk\frac{\partial}{\partial r} \int_0^\infty \frac{\cos(kr)}{\sqrt{k^2 + m^2}} \, dk = \int_0^\infty \frac{-k \sin(kr)}{\sqrt{k^2 + m^2}} \, dk
∂∂rK0(mr)=−mK1(mr)\frac{\partial}{\partial r} K_0(mr) = -m K_1(mr)

（这里使用了贝塞尔函数的递推关系 K0′(z)=−K1(z)K_0'(z) = -K_1(z)）。

因此，我们得到：

∫0∞ksin⁡(kr)k2+m2 dk=mK1(mr)\int_0^\infty \frac{k \sin(kr)}{\sqrt{k^2 + m^2}} \, dk = m K_1(mr)

代入 II 的表达式中，最终得到：

[φ+(x),φ−(x′)]∓=m4π2rK1(mr)≡C(r)\boxed{ [\varphi^{+}(x), \varphi^{-}(x')]_{\mp} = \frac{m}{4\pi^2 r} K_1(mr) \equiv C(r) }

至此，公式 (4.12) 得到完整验证。

验证 m→0m \rightarrow 0 的极限

我们需要计算当质量 m→0m \to 0 时，C(r)C(r) 的极限。 第二类修正贝塞尔函数 K1(z)K_1(z) 在小自变量 z≪1z \ll 1 处的渐近展开式为：

K1(z)=1z+z2ln⁡(z2)+O(z)K_1(z) = \frac{1}{z} + \frac{z}{2} \ln\left(\frac{z}{2}\right) + \mathcal{O}(z)

令 z=mrz = mr，当 m→0m \to 0 时，保留展开式的领头项：

K1(mr)≈1mrK_1(mr) \approx \frac{1}{mr}

将此渐近形式代入 C(r)C(r) 的表达式中：

lim⁡m→0C(r)=lim⁡m→0m4π2r(1mr)=14π2r2\lim_{m \to 0} C(r) = \lim_{m \to 0} \frac{m}{4\pi^2 r} \left( \frac{1}{mr} \right) = \frac{1}{4\pi^2 r^2}

物理一致性检验（直接积分法）： 如果在积分表达式中直接取 m=0m=0，积分变为：

Im=0=14π2r∫0∞sin⁡(kr) dkI_{m=0} = \frac{1}{4\pi^2 r} \int_0^\infty \sin(kr) \, dk

该积分在无穷远处振荡，需引入指数衰减因子 e−ϵke^{-\epsilon k}（ϵ→0+\epsilon \to 0^+）进行正规化：

∫0∞sin⁡(kr)e−ϵk dk=rr2+ϵ2→ϵ→01r\int_0^\infty \sin(kr) e^{-\epsilon k} \, dk = \frac{r}{r^2 + \epsilon^2} \xrightarrow{\epsilon \to 0} \frac{1}{r}

代入后同样得到 14π2r2\frac{1}{4\pi^2 r^2}。两种方法结果一致。

最终极限结果为：

lim⁡m→0[φ+(x),φ−(x′)]∓=14π2r2\boxed{ \lim_{m \to 0} [\varphi^{+}(x), \varphi^{-}(x')]_{\mp} = \frac{1}{4\pi^2 r^2} }