习题 6.1 - 解答
习题分析与物理背景
本题旨在通过具体计算，展示量子力学中路径积分表述与传统算符表述的等价性。
(a)问 要求明确路径积分测度 D q \mathcal{D}q D q (b)问 要求对自由粒子（V = 0 V=0 V = 0 (c)问 要求在算符形式下，通过插入动量完备基来计算自由粒子的传播子，并与路径积分的结果进行对比，从而验证两种表述的内在一致性。
(a) 路径积分测度 D q \mathcal{D}q D q
在路径积分的时间切片（Time-slicing）定义中，我们将总时间区间 T = t ′ ′ − t ′ T = t'' - t' T = t ′′ − t ′ N + 1 N+1 N + 1 ϵ = t ′ ′ − t ′ N + 1 \epsilon = \frac{t'' - t'}{N+1} ϵ = N + 1 t ′′ − t ′ t j = t ′ + j ϵ t_j = t' + j\epsilon t j = t ′ + j ϵ q j = q ( t j ) q_j = q(t_j) q j = q ( t j ) q 0 = q ′ q_0 = q' q 0 = q ′ q N + 1 = q ′ ′ q_{N+1} = q'' q N + 1 = q ′′
对于每一个极小的时间步 ϵ \epsilon ϵ ( m 2 π i ϵ ) 1 / 2 \left( \frac{m}{2\pi i \epsilon} \right)^{1/2} ( 2 π i ϵ m ) 1/2 ℏ = 1 \hbar = 1 ℏ = 1 N + 1 N+1 N + 1 N + 1 N+1 N + 1 N N N q j q_j q j
因此，路径积分测度 D q \mathcal{D}q D q
D q = lim N → ∞ ( m 2 π i ϵ ) N + 1 2 ∏ j = 1 N d q j \mathcal{D}q = \lim_{N \to \infty} \left( \frac{m}{2\pi i \epsilon} \right)^{\frac{N+1}{2}} \prod_{j=1}^{N} dq_j D q = N → ∞ lim ( 2 π i ϵ m ) 2 N + 1 j = 1 ∏ N d q j 根据题目要求的形式 D q = C ∏ j = 1 N d q j \mathcal{D}q = C \prod_{j=1}^{N} dq_j D q = C ∏ j = 1 N d q j C C C
C = lim N → ∞ ( m 2 π i ϵ ) N + 1 2 \boxed{ C = \lim_{N \to \infty} \left( \frac{m}{2\pi i \epsilon} \right)^{\frac{N+1}{2}} } C = N → ∞ lim ( 2 π i ϵ m ) 2 N + 1 其中 ϵ = t ′ ′ − t ′ N + 1 \epsilon = \frac{t'' - t'}{N+1} ϵ = N + 1 t ′′ − t ′
(b) 自由粒子的路径积分计算
对于自由粒子，势能 V ( q ) = 0 V(q) = 0 V ( q ) = 0 L = 1 2 m q ˙ 2 L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 L = 2 1 m q ˙ 2
S = ∑ j = 0 N ϵ 1 2 m ( q j + 1 − q j ϵ ) 2 = ∑ j = 0 N m 2 ϵ ( q j + 1 − q j ) 2 S = \sum_{j=0}^{N} \epsilon \frac{1}{2} m \left( \frac{q_{j+1} - q_j}{\epsilon} \right)^2 = \sum_{j=0}^{N} \frac{m}{2\epsilon} (q_{j+1} - q_j)^2 S = j = 0 ∑ N ϵ 2 1 m ( ϵ q j + 1 − q j ) 2 = j = 0 ∑ N 2 ϵ m ( q j + 1 − q j ) 2 代入 (6.9) 式，传播子可以写为：
⟨ q ′ ′ , t ′ ′ ∣ q ′ , t ′ ⟩ = lim N → ∞ ( m 2 π i ϵ ) N + 1 2 ∫ ( ∏ j = 1 N d q j ) exp [ i m 2 ϵ ∑ j = 0 N ( q j + 1 − q j ) 2 ] \langle q'', t'' | q', t' \rangle = \lim_{N \to \infty} \left( \frac{m}{2\pi i \epsilon} \right)^{\frac{N+1}{2}} \int \left( \prod_{j=1}^{N} dq_j \right) \exp \left[ \frac{im}{2\epsilon} \sum_{j=0}^{N} (q_{j+1} - q_j)^2 \right] ⟨ q ′′ , t ′′ ∣ q ′ , t ′ ⟩ = N → ∞ lim ( 2 π i ϵ m ) 2 N + 1 ∫ ( j = 1 ∏ N d q j ) exp [ 2 ϵ im j = 0 ∑ N ( q j + 1 − q j ) 2 ] 步骤 1：对 q 1 q_1 q 1
提取出指数中包含 q 1 q_1 q 1
I 1 = ∫ − ∞ ∞ d q 1 exp [ i m 2 ϵ ( ( q 2 − q 1 ) 2 + ( q 1 − q 0 ) 2 ) ] I_1 = \int_{-\infty}^{\infty} dq_1 \exp \left[ \frac{im}{2\epsilon} \left( (q_2 - q_1)^2 + (q_1 - q_0)^2 \right) \right] I 1 = ∫ − ∞ ∞ d q 1 exp [ 2 ϵ im ( ( q 2 − q 1 ) 2 + ( q 1 − q 0 ) 2 ) ] 利用配方技巧，将指数中的二次型重写：
( q 2 − q 1 ) 2 + ( q 1 − q 0 ) 2 = 2 ( q 1 − q 2 + q 0 2 ) 2 + 1 2 ( q 2 − q 0 ) 2 (q_2 - q_1)^2 + (q_1 - q_0)^2 = 2 \left( q_1 - \frac{q_2 + q_0}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} (q_2 - q_0)^2 ( q 2 − q 1 ) 2 + ( q 1 − q 0 ) 2 = 2 ( q 1 − 2 q 2 + q 0 ) 2 + 2 1 ( q 2 − q 0 ) 2 令 x = q 1 − q 2 + q 0 2 x = q_1 - \frac{q_2 + q_0}{2} x = q 1 − 2 q 2 + q 0 ∫ − ∞ ∞ e − a x 2 d x = π a \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} ∫ − ∞ ∞ e − a x 2 d x = a π a = − i m ϵ a = -\frac{im}{\epsilon} a = − ϵ im
I 1 = exp [ i m 4 ϵ ( q 2 − q 0 ) 2 ] ∫ − ∞ ∞ d x exp [ i m ϵ x 2 ] = i π ϵ m exp [ i m 2 ( 2 ϵ ) ( q 2 − q 0 ) 2 ] I_1 = \exp \left[ \frac{im}{4\epsilon} (q_2 - q_0)^2 \right] \int_{-\infty}^{\infty} dx \exp \left[ \frac{im}{\epsilon} x^2 \right] = \sqrt{\frac{i\pi\epsilon}{m}} \exp \left[ \frac{im}{2(2\epsilon)} (q_2 - q_0)^2 \right] I 1 = exp [ 4 ϵ im ( q 2 − q 0 ) 2 ] ∫ − ∞ ∞ d x exp [ ϵ im x 2 ] = m iπ ϵ exp [ 2 ( 2 ϵ ) im ( q 2 − q 0 ) 2 ] 将这个结果与前两个时间步的归一化因子结合：
( m 2 π i ϵ ) 2 2 I 1 = ( m 2 π i ϵ ) i π ϵ m exp [ i m 2 ( 2 ϵ ) ( q 2 − q 0 ) 2 ] = m 2 π i ( 2 ϵ ) exp [ i m 2 ( 2 ϵ ) ( q 2 − q 0 ) 2 ] \left( \frac{m}{2\pi i \epsilon} \right)^{\frac{2}{2}} I_1 = \left( \frac{m}{2\pi i \epsilon} \right) \sqrt{\frac{i\pi\epsilon}{m}} \exp \left[ \frac{im}{2(2\epsilon)} (q_2 - q_0)^2 \right] = \sqrt{\frac{m}{2\pi i (2\epsilon)}} \exp \left[ \frac{im}{2(2\epsilon)} (q_2 - q_0)^2 \right] ( 2 π i ϵ m ) 2 2 I 1 = ( 2 π i ϵ m ) m iπ ϵ exp [ 2 ( 2 ϵ ) im ( q 2 − q 0 ) 2 ] = 2 π i ( 2 ϵ ) m exp [ 2 ( 2 ϵ ) im ( q 2 − q 0 ) 2 ] 规律总结：
积掉 q 1 q_1 q 1 ϵ \epsilon ϵ 2 ϵ 2\epsilon 2 ϵ
步骤 2：递推与最终结果
按照相同的模式，依次对 q 2 , q 3 , … , q N q_2, q_3, \dots, q_N q 2 , q 3 , … , q N ϵ \epsilon ϵ N N N ( N + 1 ) ϵ = t ′ ′ − t ′ (N+1)\epsilon = t'' - t' ( N + 1 ) ϵ = t ′′ − t ′ q N + 1 − q 0 = q ′ ′ − q ′ q_{N+1} - q_0 = q'' - q' q N + 1 − q 0 = q ′′ − q ′
⟨ q ′ ′ , t ′ ′ ∣ q ′ , t ′ ⟩ = m 2 π i ( t ′ ′ − t ′ ) exp [ i m ( q ′ ′ − q ′ ) 2 2 ( t ′ ′ − t ′ ) ] \langle q'', t'' | q', t' \rangle = \sqrt{\frac{m}{2\pi i (t'' - t')}} \exp \left[ \frac{im(q'' - q')^2}{2(t'' - t')} \right] ⟨ q ′′ , t ′′ ∣ q ′ , t ′ ⟩ = 2 π i ( t ′′ − t ′ ) m exp [ 2 ( t ′′ − t ′ ) im ( q ′′ − q ′ ) 2 ] 步骤 3：通过量纲分析恢复 ℏ \hbar ℏ
在国际单位制中，作用量 S S S ℏ \hbar ℏ i S ℏ \frac{iS}{\hbar} ℏ i S i m ( q ′ ′ − q ′ ) 2 2 ℏ ( t ′ ′ − t ′ ) \frac{im(q'' - q')^2}{2\hbar(t'' - t')} 2ℏ ( t ′′ − t ′ ) im ( q ′′ − q ′ ) 2 ⟨ q ′ ′ ∣ q ′ ⟩ = δ ( q ′ ′ − q ′ ) \langle q'' | q' \rangle = \delta(q'' - q') ⟨ q ′′ ∣ q ′ ⟩ = δ ( q ′′ − q ′ ) [ 长度 ] − 1 [\text{长度}]^{-1} [ 长度 ] − 1 m t \sqrt{\frac{m}{t}} t m M / T \sqrt{M/T} M / T ℏ \hbar ℏ M L 2 / T ML^2/T M L 2 / T ℏ \sqrt{\hbar} ℏ L − 1 L^{-1} L − 1 ℏ \hbar ℏ
⟨ q ′ ′ , t ′ ′ ∣ q ′ , t ′ ⟩ = m 2 π i ℏ ( t ′ ′ − t ′ ) exp [ i m ( q ′ ′ − q ′ ) 2 2 ℏ ( t ′ ′ − t ′ ) ] \boxed{ \langle q'', t'' | q', t' \rangle = \sqrt{\frac{m}{2\pi i \hbar (t'' - t')}} \exp \left[ \frac{im(q'' - q')^2}{2\hbar(t'' - t')} \right] } ⟨ q ′′ , t ′′ ∣ q ′ , t ′ ⟩ = 2 π i ℏ ( t ′′ − t ′ ) m exp [ 2ℏ ( t ′′ − t ′ ) im ( q ′′ − q ′ ) 2 ] (c) 算符形式下的传播子计算与对比
在算符表述中，自由粒子的哈密顿量为 H = p 2 2 m H = \frac{p^2}{2m} H = 2 m p 2
⟨ q ′ ′ , t ′ ′ ∣ q ′ , t ′ ⟩ = ⟨ q ′ ′ ∣ e − i H ( t ′ ′ − t ′ ) / ℏ ∣ q ′ ⟩ \langle q'', t'' | q', t' \rangle = \langle q'' | e^{-iH(t''-t')/\hbar} | q' \rangle ⟨ q ′′ , t ′′ ∣ q ′ , t ′ ⟩ = ⟨ q ′′ ∣ e − i H ( t ′′ − t ′ ) /ℏ ∣ q ′ ⟩ 插入动量本征态的完备基 ∫ − ∞ ∞ d p ∣ p ⟩ ⟨ p ∣ = I \int_{-\infty}^{\infty} dp \, |p\rangle \langle p| = \mathbb{I} ∫ − ∞ ∞ d p ∣ p ⟩ ⟨ p ∣ = I
⟨ q ′ ′ ∣ e − i p 2 2 m t ′ ′ − t ′ ℏ ∣ q ′ ⟩ = ∫ − ∞ ∞ d p ⟨ q ′ ′ ∣ p ⟩ ⟨ p ∣ e − i p 2 2 m t ′ ′ − t ′ ℏ ∣ q ′ ⟩ \langle q'' | e^{-i \frac{p^2}{2m} \frac{t''-t'}{\hbar}} | q' \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} dp \, \langle q'' | p \rangle \langle p | e^{-i \frac{p^2}{2m} \frac{t''-t'}{\hbar}} | q' \rangle ⟨ q ′′ ∣ e − i 2 m p 2 ℏ t ′′ − t ′ ∣ q ′ ⟩ = ∫ − ∞ ∞ d p ⟨ q ′′ ∣ p ⟩ ⟨ p ∣ e − i 2 m p 2 ℏ t ′′ − t ′ ∣ q ′ ⟩ 由于 ∣ p ⟩ |p\rangle ∣ p ⟩ ⟨ q ∣ p ⟩ = 1 2 π ℏ e i p q / ℏ \langle q | p \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{ipq/\hbar} ⟨ q ∣ p ⟩ = 2 π ℏ 1 e i pq /ℏ
⟨ q ′ ′ , t ′ ′ ∣ q ′ , t ′ ⟩ = ∫ − ∞ ∞ d p 2 π ℏ exp [ i p ( q ′ ′ − q ′ ) ℏ ] exp [ − i p 2 2 m t ′ ′ − t ′ ℏ ] \langle q'', t'' | q', t' \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dp}{2\pi\hbar} \exp \left[ \frac{ip(q'' - q')}{\hbar} \right] \exp \left[ -i \frac{p^2}{2m} \frac{t''-t'}{\hbar} \right] ⟨ q ′′ , t ′′ ∣ q ′ , t ′ ⟩ = ∫ − ∞ ∞ 2 π ℏ d p exp [ ℏ i p ( q ′′ − q ′ ) ] exp [ − i 2 m p 2 ℏ t ′′ − t ′ ] 合并指数项，得到一个关于动量 p p p
⟨ q ′ ′ , t ′ ′ ∣ q ′ , t ′ ⟩ = 1 2 π ℏ ∫ − ∞ ∞ d p exp [ − i ( t ′ ′ − t ′ ) 2 m ℏ p 2 + i ( q ′ ′ − q ′ ) ℏ p ] \langle q'', t'' | q', t' \rangle = \frac{1}{2\pi\hbar} \int_{-\infty}^{\infty} dp \exp \left[ - \frac{i(t''-t')}{2m\hbar} p^2 + \frac{i(q''-q')}{\hbar} p \right] ⟨ q ′′ , t ′′ ∣ q ′ , t ′ ⟩ = 2 π ℏ 1 ∫ − ∞ ∞ d p exp [ − 2 m ℏ i ( t ′′ − t ′ ) p 2 + ℏ i ( q ′′ − q ′ ) p ] 利用标准高斯积分公式 ∫ − ∞ ∞ e − a p 2 + b p d p = π a e b 2 / 4 a \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a p^2 + b p} dp = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{b^2 / 4a} ∫ − ∞ ∞ e − a p 2 + b p d p = a π e b 2 /4 a
a = i ( t ′ ′ − t ′ ) 2 m ℏ , b = i ( q ′ ′ − q ′ ) ℏ a = \frac{i(t''-t')}{2m\hbar}, \quad b = \frac{i(q''-q')}{\hbar} a = 2 m ℏ i ( t ′′ − t ′ ) , b = ℏ i ( q ′′ − q ′ ) 计算积分结果：
π a = 2 π m ℏ i ( t ′ ′ − t ′ ) \sqrt{\frac{\pi}{a}} = \sqrt{\frac{2\pi m \hbar}{i(t''-t')}} a π = i ( t ′′ − t ′ ) 2 π m ℏ b 2 4 a = − ( q ′ ′ − q ′ ) 2 / ℏ 2 2 i ( t ′ ′ − t ′ ) / m ℏ = i m ( q ′ ′ − q ′ ) 2 2 ℏ ( t ′ ′ − t ′ ) \frac{b^2}{4a} = \frac{-(q''-q')^2 / \hbar^2}{2i(t''-t') / m\hbar} = \frac{im(q''-q')^2}{2\hbar(t''-t')} 4 a b 2 = 2 i ( t ′′ − t ′ ) / m ℏ − ( q ′′ − q ′ ) 2 / ℏ 2 = 2ℏ ( t ′′ − t ′ ) im ( q ′′ − q ′ ) 2 将这些结果代回原式，并与前置因子 1 2 π ℏ \frac{1}{2\pi\hbar} 2 π ℏ 1
⟨ q ′ ′ , t ′ ′ ∣ q ′ , t ′ ⟩ = 1 2 π ℏ 2 π m ℏ i ( t ′ ′ − t ′ ) exp [ i m ( q ′ ′ − q ′ ) 2 2 ℏ ( t ′ ′ − t ′ ) ] \langle q'', t'' | q', t' \rangle = \frac{1}{2\pi\hbar} \sqrt{\frac{2\pi m \hbar}{i(t''-t')}} \exp \left[ \frac{im(q''-q')^2}{2\hbar(t''-t')} \right] ⟨ q ′′ , t ′′ ∣ q ′ , t ′ ⟩ = 2 π ℏ 1 i ( t ′′ − t ′ ) 2 π m ℏ exp [ 2ℏ ( t ′′ − t ′ ) im ( q ′′ − q ′ ) 2 ] 化简前置因子：
⟨ q ′ ′ , t ′ ′ ∣ q ′ , t ′ ⟩ = m 2 π i ℏ ( t ′ ′ − t ′ ) exp [ i m ( q ′ ′ − q ′ ) 2 2 ℏ ( t ′ ′ − t ′ ) ] \boxed{ \langle q'', t'' | q', t' \rangle = \sqrt{\frac{m}{2\pi i \hbar (t'' - t')}} \exp \left[ \frac{im(q'' - q')^2}{2\hbar(t'' - t')} \right] } ⟨ q ′′ , t ′′ ∣ q ′ , t ′ ⟩ = 2 π i ℏ ( t ′′ − t ′ ) m exp [ 2ℏ ( t ′′ − t ′ ) im ( q ′′ − q ′ ) 2 ] 对比结论：
通过算符形式插入动量完备基计算得到的结果，与 (b) 问中通过路径积分严格积出的结果完全一致 。这完美验证了量子力学中路径积分表述与正则算符表述的等价性。