习题 11.1 - 解答

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对于一个质量为 $M$ 的粒子衰变为两个质量均为 $m$ 的粒子的过程，其树图阶（tree level）的总衰变宽度（衰变率）由下式给出： $\Gamma = \frac{S}{2M} \int |\mathcal{M}|^2 d\Pi_2$ 其中，$S$ 为末态全同粒子的对称因子（symmetry factor），$\mathcal{M}$ 为该过程的费曼振幅（Feynman amplitude），$d\Pi_2$ 为两体相空间（two-body phase space）。

在衰变粒子的静止参考系中，两体相空间积分可以化简为： $\int d\Pi_2 = \int \frac{d^3k_1}{(2\pi)^3 2E_1} \frac{d^3k_2}{(2\pi)^3 2E_2} (2\pi)^4 \delta^{(4)}(p - k_1 - k_2) = \frac{|\mathbf{k}|}{8\pi M}$ 其中 $|\mathbf{k}|$ 是末态粒子在质心系中的动量大小。由能量守恒 $M = 2\sqrt{|\mathbf{k}|^2 + m^2}$ 可得： $|\mathbf{k}| = \sqrt{\frac{M^2}{4} - m^2} = \frac{M}{2}\sqrt{1 - \frac{4m^2}{M^2}}$ 因此，两体相空间积分为： $\int d\Pi_2 = \frac{1}{16\pi} \sqrt{1 - \frac{4m^2}{M^2}}$

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a) 分析与解答

本题考虑实标量场 $A$ 和 $B$，相互作用拉格朗日量为 $\mathcal{L}_1 = gAB^2$。我们需要计算过程 $A \to B + B$ 的衰变率。

1. 费曼振幅 $\mathcal{M}$ 的计算： 根据 Wick 定理，在计算跃迁矩阵元 $\langle B(k_1) B(k_2) | i \int d^4x \, g A B^2 | A(p) \rangle$ 时，拉格朗日量中的 $B^2$ 算符与末态的两个 $B$ 粒子有两种等价的收缩（contraction）方式。因此，该顶点的费曼规则会产生一个额外的组合数因子 $2$。 树图阶的费曼振幅为： $i\mathcal{M} = i(2g) \implies \mathcal{M} = 2g$ 其模平方为： $|\mathcal{M}|^2 = 4g^2$

2. 对称因子 $S$： 由于末态是两个完全相同的实标量粒子 $B$，在对相空间进行积分时会发生重复计数，因此必须引入对称因子： $S = \frac{1}{2!} = \frac{1}{2}$

3. 总衰变率 $\Gamma_A$： 将上述结果代入衰变率的一般公式，其中 $M = m_A$，$m = m_B$： $\Gamma_A = \frac{1}{2m_A} \times \frac{1}{2} \times (4g^2) \times \frac{1}{16\pi} \sqrt{1 - \frac{4m_B^2}{m_A^2}}$ 化简后得到 $A$ 粒子的总衰变率为： $\boxed{ \Gamma_A = \frac{g^2}{16\pi m_A} \sqrt{1 - \frac{4m_B^2}{m_A^2}} }$

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b) 分析与解答

本题考虑实标量场 $\varphi$ 和复标量场 $\chi$，相互作用拉格朗日量为 $\mathcal{L}_1 = g\varphi\chi^\dagger\chi$。我们需要计算过程 $\varphi \to \chi + \bar{\chi}$ 的衰变率。

1. 费曼振幅 $\mathcal{M}$ 的计算： 复标量场 $\chi$ 包含正反粒子自由度，$\chi$ 湮灭粒子（或产生反粒子），$\chi^\dagger$ 产生粒子（或湮灭反粒子）。在计算跃迁矩阵元 $\langle \chi(k_1) \bar{\chi}(k_2) | i \int d^4x \, g \varphi \chi^\dagger \chi | \varphi(p) \rangle$ 时，拉格朗日量中的 $\chi^\dagger$ 只能与末态的粒子 $\chi$ 收缩，而 $\chi$ 只能与末态的反粒子 $\bar{\chi}$ 收缩。这里只有一种收缩方式，不存在额外的组合数因子。 树图阶的费曼振幅为： $i\mathcal{M} = ig \implies \mathcal{M} = g$ 其模平方为： $|\mathcal{M}|^2 = g^2$

2. 对称因子 $S$： 末态包含一个粒子 $\chi$ 和一个反粒子 $\bar{\chi}$。由于粒子和反粒子是可区分的物理态，相空间积分不存在重复计数问题，因此对称因子为： $S = 1$

3. 总衰变率 $\Gamma_\varphi$： 将上述结果代入衰变率的一般公式，其中 $M = m_\varphi$，$m = m_\chi$： $\Gamma_\varphi = \frac{1}{2m_\varphi} \times 1 \times (g^2) \times \frac{1}{16\pi} \sqrt{1 - \frac{4m_\chi^2}{m_\varphi^2}}$ 化简后得到 $\varphi$ 粒子的总衰变率为： $\boxed{ \Gamma_\varphi = \frac{g^2}{32\pi m_\varphi} \sqrt{1 - \frac{4m_\chi^2}{m_\varphi^2}} }$

习题 11.2 - 解答

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a) 表达 Mandelstam 变量 $s$ 和 $u$

在固定靶（Fixed Target, FT）参考系中，初始电子静止。我们采用大多为正的度规约定 $(-, +, +, +)$，此时四维动量平方 $p^2 = -m^2$。各粒子的四维动量可写为：

• 初始电子：$p = (m, \mathbf{0})$
• 初始光子：$k = (\omega, \mathbf{k})$，且 $|\mathbf{k}| = \omega$
• 末态光子：$k' = (\omega', \mathbf{k}')$，且 $|\mathbf{k}'| = \omega'$
• 末态电子：$p' = (E', \mathbf{p}')$

Mandelstam 变量 $s$ 定义为质心系总能量的平方： $s = -(p + k)^2 = -p^2 - 2p \cdot k - k^2$ 代入四维动量，利用 $p^2 = -m^2$ 和 $k^2 = 0$： $s = m^2 - 2(-m\omega) - 0 = m^2 + 2m\omega$

Mandelstam 变量 $u$ 定义为： $u = -(p - k')^2 = -p^2 + 2p \cdot k' - k'^2$ 代入四维动量，利用 $k'^2 = 0$： $u = m^2 + 2(-m\omega') - 0 = m^2 - 2m\omega'$

最终结果为： $\boxed{s = m^2 + 2m\omega, \quad u = m^2 - 2m\omega'}$

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b) 表达散射角 $\theta_{\text{FT}}$

根据四维动量守恒定律 $p + k = p' + k'$，可得末态电子动量 $p' = p + k - k'$。将其平方以消去末态电子的未知参量： $p'^2 = (p + k - k')^2$ $-m^2 = p^2 + k^2 + k'^2 + 2p \cdot k - 2p \cdot k' - 2k \cdot k'$ 代入已知量 $p^2 = -m^2$，$k^2 = k'^2 = 0$： $-m^2 = -m^2 + 2(-m\omega) - 2(-m\omega') - 2(-\omega\omega' + \mathbf{k} \cdot \mathbf{k}')$ 化简并消去 $-m^2$： $0 = -2m\omega + 2m\omega' + 2\omega\omega' - 2\omega\omega'\cos\theta_{\text{FT}}$ 两边同除以 $2\omega\omega'$： $0 = -\frac{m}{\omega'} + \frac{m}{\omega} + 1 - \cos\theta_{\text{FT}}$ 整理得到散射角 $\theta_{\text{FT}}$ 与光子能量的关系（即康普顿散射频移公式）： $\boxed{\cos\theta_{\text{FT}} = 1 - m\left(\frac{1}{\omega'} - \frac{1}{\omega}\right)}$

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c) 推导微分散射截面 $d\sigma/d\Omega_{\text{FT}}$ 及 Klein-Nishina 公式

1. 相空间与截面公式化简 在 FT 参考系中，$2 \to 2$ 散射的微分散射截面公式为： $d\sigma = \frac{1}{4m\omega} |\mathcal{T}|^2 d\text{LIPS}_2$ 其中两体洛伦兹不变相空间为： $d\text{LIPS}_2 = \frac{d^3k'}{(2\pi)^3 2\omega'} \frac{d^3p'}{(2\pi)^3 2E'} (2\pi)^4 \delta^4(p+k-p'-k')$ 对 $\mathbf{p}'$ 积分消除空间 $\delta$ 函数后，转换为球坐标 $d^3k' = \omega'^2 d\omega' d\Omega_{\text{FT}}$： $d\text{LIPS}_2 = \frac{1}{16\pi^2} \frac{\omega' d\omega' d\Omega_{\text{FT}}}{E'} \delta(m + \omega - \omega' - E')$ 利用能量 $\delta$ 函数对 $\omega'$ 积分。令 $f(\omega') = m + \omega - \omega' - \sqrt{m^2 + \omega^2 + \omega'^2 - 2\omega\omega'\cos\theta_{\text{FT}}}$，计算雅可比行列式： $\left| \frac{\partial f}{\partial \omega'} \right| = 1 + \frac{\omega' - \omega\cos\theta_{\text{FT}}}{E'} = \frac{E' + \omega' - \omega\cos\theta_{\text{FT}}}{E'} = \frac{m + \omega - \omega\cos\theta_{\text{FT}}}{E'}$ 利用 (b) 中的关系 $m(\omega - \omega') = \omega\omega'(1 - \cos\theta_{\text{FT}})$，可得 $\omega - \omega\cos\theta_{\text{FT}} = \frac{m\omega}{\omega'} - m$。代入上式： $\left| \frac{\partial f}{\partial \omega'} \right| = \frac{m + \frac{m\omega}{\omega'} - m}{E'} = \frac{m\omega}{\omega' E'}$ 因此相空间积分为： $\int d\text{LIPS}_2 = \frac{1}{16\pi^2} \frac{\omega' d\Omega_{\text{FT}}}{E'} \frac{\omega' E'}{m\omega} = \frac{1}{16\pi^2} \frac{\omega'^2}{m\omega} d\Omega_{\text{FT}}$ 微分散射截面化为： \frac{d\sigma}{d\Omega_{\text{FT}}} = \frac{1}{4m\omega} \frac{1}{16\pi^2} \frac{\omega'^2}{m\omega} |\mathcal{T}|^2 = \frac{1}{64\pi^2 m^2} \left(\frac{\omega'}{\omega}\right)^2 |\mathcal{T}|^2 \tag{A}

2. 矩阵元 $|\mathcal{T}|^2$ 的代数化简 将 (a) 中的 $s - m^2 = 2m\omega$ 和 $u - m^2 = -2m\omega'$ 代入题目给定的 $|\mathcal{T}|^2$ 的三个分式中。 第一项分子： $N_1 = m^4 + m^2(3s + u) - su = m^4 + 3m^2(m^2+2m\omega) + m^2(m^2-2m\omega') - (m^2+2m\omega)(m^2-2m\omega')$ 展开并合并同类项： $N_1 = 4m^4 + 4m^3\omega + 4m^2\omega\omega'$ 第一项分母为 $(m^2 - s)^2 = 4m^2\omega^2$。故第一项为： $T_1 = \frac{4m^2(m^2 + m\omega + \omega\omega')}{4m^2\omega^2} = \frac{m^2}{\omega^2} + \frac{m}{\omega} + \frac{\omega'}{\omega}$

第二项在 $s \leftrightarrow u$（即 $\omega \leftrightarrow -\omega'$）下对称： $T_2 = \frac{m^2}{\omega'^2} - \frac{m}{\omega'} + \frac{\omega}{\omega'}$

第三项分子： $N_3 = 2m^2(s + u + 2m^2) = 2m^2(4m^2 + 2m\omega - 2m\omega') = 8m^4 + 4m^3(\omega - \omega')$ 第三项分母为 $(m^2 - s)(m^2 - u) = (-2m\omega)(2m\omega') = -4m^2\omega\omega'$。故第三项为： $T_3 = \frac{8m^4 + 4m^3(\omega - \omega')}{-4m^2\omega\omega'} = -\frac{2m^2}{\omega\omega'} - \frac{m}{\omega'} + \frac{m}{\omega}$

将三项求和 $T_1 + T_2 + T_3$，并按 $m$ 的幂次重新分组： $\sum T_i = m^2\left(\frac{1}{\omega^2} + \frac{1}{\omega'^2} - \frac{2}{\omega\omega'}\right) + m\left(\frac{1}{\omega} - \frac{1}{\omega'} - \frac{1}{\omega'} + \frac{1}{\omega}\right) + \frac{\omega'}{\omega} + \frac{\omega}{\omega'}$ $\sum T_i = m^2\left(\frac{1}{\omega'} - \frac{1}{\omega}\right)^2 - 2m\left(\frac{1}{\omega'} - \frac{1}{\omega}\right) + \frac{\omega'}{\omega} + \frac{\omega}{\omega'}$ 定义 $x = m\left(\frac{1}{\omega'} - \frac{1}{\omega}\right)$，由 (b) 可知 $x = 1 - \cos\theta_{\text{FT}}$。代入上式： $\sum T_i = x^2 - 2x + \frac{\omega'}{\omega} + \frac{\omega}{\omega'} = (1 - \cos\theta_{\text{FT}})^2 - 2(1 - \cos\theta_{\text{FT}}) + \frac{\omega'}{\omega} + \frac{\omega}{\omega'}$ $\sum T_i = \cos^2\theta_{\text{FT}} - 1 + \frac{\omega'}{\omega} + \frac{\omega}{\omega'} = \frac{\omega'}{\omega} + \frac{\omega}{\omega'} - \sin^2\theta_{\text{FT}}$ 因此，平方矩阵元化简为： $|\mathcal{T}|^2 = 32\pi^2\alpha^2 \left[ \frac{\omega'}{\omega} + \frac{\omega}{\omega'} - \sin^2\theta_{\text{FT}} \right]$

3. 最终结果 将化简后的 $|\mathcal{T}|^2$ 代入式 (A)： $\frac{d\sigma}{d\Omega_{\text{FT}}} = \frac{1}{64\pi^2 m^2} \left(\frac{\omega'}{\omega}\right)^2 \times 32\pi^2\alpha^2 \left[ \frac{\omega'}{\omega} + \frac{\omega}{\omega'} - \sin^2\theta_{\text{FT}} \right]$ 整理即得 Klein-Nishina 公式： $\boxed{\frac{d\sigma}{d\Omega_{\text{FT}}} = \frac{\alpha^2}{2m^2} \frac{\omega'^2}{\omega^2} \left[ \frac{\omega}{\omega'} + \frac{\omega'}{\omega} - \sin^2 \theta_{\text{FT}} \right]}$

习题 11.3 - 解答

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题目分析与物理背景 本题旨在通过计算缪子衰变 $\mu^- \rightarrow e^- \overline{\nu}_e \nu_\mu$ 的衰变率 $\Gamma$ 和电子能谱，展示多体相空间积分的处理技巧。由于涉及三体末态，直接积分较为复杂。物理上，我们可以利用相空间的分解性质（将三体相空间分解为一个单体相空间和一个两体相空间）以及洛伦兹协变性，将复杂的积分转化为张量代数运算。计算中忽略了中微子和电子的质量（$m_e \ll m_\mu$）。

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(a) 证明相空间分解公式

三体相空间测度定义为： $d\text{LIPS}_3(k_1) = (2\pi)^4 \delta^4(k_1 - k'_1 - k'_2 - k'_3) \widetilde{dk}'_1 \widetilde{dk}'_2 \widetilde{dk}'_3$ 其中 $\widetilde{dk} \equiv \frac{d^3k}{(2\pi)^3 2E}$。我们在积分中插入一个恒等式 $1 = \int d^4k \ \delta^4(k - k'_1 - k'_2)$，得到： $d\text{LIPS}_3(k_1) = \widetilde{dk}'_3 \int d^4k \ \delta^4(k_1 - k - k'_3) \left[ (2\pi)^4 \delta^4(k - k'_1 - k'_2) \widetilde{dk}'_1 \widetilde{dk}'_2 \right]$ 方括号内的部分正是两体相空间测度 $d\text{LIPS}_2(k)$。对 $d^4k$ 的积分由 $\delta^4(k_1 - k - k'_3)$ 平凡完成，强制令 $k = k_1 - k'_3$。因此相空间分解为： $d\text{LIPS}_3(k_1) = \widetilde{dk}'_3 \ d\text{LIPS}_2(k_1 - k'_3)$ 将给定的衰变率公式中的点乘展开为张量形式 $(k_1 \cdot k'_2)(k'_1 \cdot k'_3) = k_{1\mu} k_{3\nu}' (k_2'^\mu k_1'^\nu)$，代入分解后的相空间，即得： $\boxed{ \Gamma = \frac{32G_F^2}{m} \int \widetilde{dk}_3' \ k_{1\mu} k_{3\nu}' \int k_2'^\mu k_1'^\nu \ d\text{LIPS}_2(k_1 - k_3') }$

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(b) 利用洛伦兹不变性确定积分形式

考虑积分 $I^{\mu\nu}(k) = \int k_1'^\mu k_2'^\nu \ d\text{LIPS}_2(k)$。 由于积分是对内部动量 $k'_1, k'_2$ 在满足四动量守恒 $k'_1 + k'_2 = k$ 的约束下进行的，积分结果只能依赖于外部四维动量 $k^\mu$。 根据洛伦兹协变性，二阶张量 $I^{\mu\nu}$ 只能由度规张量 $g^{\mu\nu}$ 和动量张量 $k^\mu k^\nu$ 线性组合而成。 此外，相空间测度 $d\text{LIPS}_2$ 是无量纲的，而 $k'_1, k'_2$ 具有质量量纲 1，因此 $I^{\mu\nu}$ 的质量量纲为 2。为了匹配量纲，系数必须正比于 $k^2$。因此可以写出： $\boxed{ \int k_1'^\mu k_2'^\nu \ d\text{LIPS}_2(k) = Ak^2 g^{\mu\nu} + Bk^\mu k^\nu }$ 其中 $A$ 和 $B$ 是无量纲的常数。

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(c) 计算无质量两体相空间积分

我们需要计算 $I = \int d\text{LIPS}_2(k) = \int (2\pi)^4 \delta^4(k - k'_1 - k'_2) \frac{d^3k'_1}{(2\pi)^3 2E'_1} \frac{d^3k'_2}{(2\pi)^3 2E'_2}$。 由于该积分是洛伦兹标量，我们可以在质心系中计算，此时 $k = (E, \mathbf{0})$，且 $E = \sqrt{k^2}$。 利用空间 $\delta$ 函数积掉 $\mathbf{k}'_2$，得到 $\mathbf{k}'_2 = -\mathbf{k}'_1$。由于粒子无质量，能量 $E'_1 = E'_2 = |\mathbf{k}'_1| \equiv p$。 $I = \frac{1}{(2\pi)^2} \int \frac{d^3p}{4p^2} \delta(E - 2p) = \frac{1}{4\pi^2} \int d\Omega \int_0^\infty \frac{p^2 dp}{4p^2} \delta(E - 2p)$ 代入角向积分 $\int d\Omega = 4\pi$，并利用 $\delta(E - 2p) = \frac{1}{2}\delta(p - E/2)$，得到： $\boxed{ \int d\text{LIPS}_2(k) = \frac{4\pi}{4\pi^2} \int_0^\infty \frac{1}{4} \frac{1}{2} \delta(p - E/2) dp = \frac{1}{8\pi} }$

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(d) 求解常数 $A$ 和 $B$

将 (b) 中的等式两边分别与 $g_{\mu\nu}$ 和 $k_\mu k_\nu$ 缩并。 已知 $k = k'_1 + k'_2$，且 $k_1'^2 = k_2'^2 = 0$，故 $k^2 = 2(k'_1 \cdot k'_2)$。

1. 与 $g_{\mu\nu}$ 缩并： 左边：$\int (k'_1 \cdot k'_2) d\text{LIPS}_2(k) = \int \frac{k^2}{2} d\text{LIPS}_2(k) = \frac{k^2}{2} \left(\frac{1}{8\pi}\right) = \frac{k^2}{16\pi}$。 右边：$g_{\mu\nu}(Ak^2 g^{\mu\nu} + Bk^\mu k^\nu) = 4Ak^2 + Bk^2$。 由此得到：$4A + B = \frac{1}{16\pi}$。

2. 与 $k_\mu k_\nu$ 缩并： 左边：$\int (k \cdot k'_1)(k \cdot k'_2) d\text{LIPS}_2(k)$。因为 $k \cdot k'_1 = (k'_1 + k'_2) \cdot k'_1 = k'_1 \cdot k'_2 = \frac{k^2}{2}$，同理 $k \cdot k'_2 = \frac{k^2}{2}$。 左边 $= \int \frac{k^4}{4} d\text{LIPS}_2(k) = \frac{k^4}{32\pi}$。 右边：$k_\mu k_\nu (Ak^2 g^{\mu\nu} + Bk^\mu k^\nu) = Ak^4 + Bk^4$。 由此得到：$A + B = \frac{1}{32\pi}$。

联立方程组： $\begin{cases} 4A + B = \frac{1}{16\pi} \\ A + B = \frac{1}{32\pi} \end{cases}$ 解得 $3A = \frac{1}{32\pi} \implies A = \frac{1}{96\pi}$，进而 $B = \frac{1}{32\pi} - \frac{1}{96\pi} = \frac{2}{96\pi} = \frac{1}{48\pi}$。 $\boxed{ A = \frac{1}{96\pi}, \quad B = \frac{1}{48\pi} }$

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(e) 计算微分衰变率 $d\Gamma/dE_e$ 及电子最大能量

将 $I^{\mu\nu}$ 代入 (a) 的结果中，其中 $k = k_1 - k'_3$： $k_{1\mu} k_{3\nu}' I^{\mu\nu}(k) = A k^2 (k_1 \cdot k'_3) + B (k_1 \cdot k)(k'_3 \cdot k)$ 在缪子静止系中，$k_1 = (m, \mathbf{0})$，电子动量 $k'_3 = (E_e, \mathbf{k}_e)$ 且 $|\mathbf{k}_e| = E_e$。 计算各运动学不变量： $k_1 \cdot k'_3 = m E_e$ $k^2 = (k_1 - k'_3)^2 = m^2 - 2m E_e$ $k_1 \cdot k = k_1 \cdot (k_1 - k'_3) = m^2 - m E_e$ $k'_3 \cdot k = k'_3 \cdot (k_1 - k'_3) = m E_e$ 代入 $A$ 和 $B$： $k_{1\mu} k_{3\nu}' I^{\mu\nu} = \frac{1}{96\pi} (m^2 - 2m E_e)(m E_e) + \frac{1}{48\pi} (m^2 - m E_e)(m E_e) = \frac{m^2 E_e}{96\pi} (3m - 4E_e)$ 单体相空间测度为 $\widetilde{dk}'_3 = \frac{4\pi E_e^2 dE_e}{(2\pi)^3 2E_e} = \frac{E_e dE_e}{4\pi^2}$。 代入 $\Gamma$ 表达式得到微分衰变率： $d\Gamma = \frac{32G_F^2}{m} \frac{E_e dE_e}{4\pi^2} \frac{m^2 E_e}{96\pi} (3m - 4E_e) \implies \boxed{ \frac{d\Gamma}{dE_e} = \frac{G_F^2 m}{12\pi^3} E_e^2 (3m - 4E_e) }$ 最大能量分析：两个中微子的不变质量平方为 $k^2 = (k'_1 + k'_2)^2 \ge 0$。 由 $k^2 = m^2 - 2m E_e \ge 0$，可得电子的最大能量为： $\boxed{ E_{e,\text{max}} = \frac{m}{2} }$ （物理图像：当电子向一个方向发射，而两个中微子同向向相反方向发射时，电子动能最大）。

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(f) 计算总衰变率 $\Gamma$

对 $E_e$ 从 $0$ 到 $m/2$ 积分： $\Gamma = \int_0^{m/2} \frac{G_F^2 m}{12\pi^3} E_e^2 (3m - 4E_e) dE_e = \frac{G_F^2 m}{12\pi^3} \left[ m E_e^3 - E_e^4 \right]_0^{m/2}$ $\Gamma = \frac{G_F^2 m}{12\pi^3} \left( m \frac{m^3}{8} - \frac{m^4}{16} \right) = \frac{G_F^2 m}{12\pi^3} \left( \frac{m^4}{16} \right)$ $\boxed{ \Gamma = \frac{G_F^2 m^5}{192\pi^3} }$

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(g) 确定费米常数 $G_F$ 的数值

已知 $\tau = 2.197 \times 10^{-6} \text{ s}$，利用自然单位制转换常数 $\hbar \approx 6.582 \times 10^{-25} \text{ GeV}\cdot\text{s}$。 衰变宽度 $\Gamma = \frac{\hbar}{\tau} = \frac{6.582 \times 10^{-25}}{2.197 \times 10^{-6}} \approx 2.996 \times 10^{-19} \text{ GeV}$。 由 (f) 的结果反解 $G_F$： $G_F = \sqrt{\frac{192\pi^3 \Gamma}{m^5}}$ 代入 $m = 105.66 \text{ MeV} = 0.10566 \text{ GeV}$： $G_F = \sqrt{\frac{192\pi^3 \times (2.996 \times 10^{-19})}{(0.10566)^5}} \approx \sqrt{\frac{5953.8 \times 2.996 \times 10^{-19}}{1.318 \times 10^{-5}}} \approx \sqrt{1.353 \times 10^{-10}}$ $\boxed{ G_F \approx 1.163 \times 10^{-5} \text{ GeV}^{-2} }$

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(h) 电子能谱 $P(E_e)$ 及其图像

根据定义 $P(E_e) \equiv \Gamma^{-1} \frac{d\Gamma}{dE_e}$，代入 (e) 和 (f) 的结果： $P(E_e) = \left( \frac{192\pi^3}{G_F^2 m^5} \right) \frac{G_F^2 m}{12\pi^3} E_e^2 (3m - 4E_e) = \frac{16}{m^4} E_e^2 (3m - 4E_e)$ 引入无量纲变量 $x = E_e/m$，其定义域为 $x \in [0, 0.5]$。能谱函数可写为： $\boxed{ P(E_e) = \frac{16}{m} \left(\frac{E_e}{m}\right)^2 \left(3 - 4\frac{E_e}{m}\right) }$

图像特征描述： 以横轴为 $x = E_e/m$，纵轴为 $m P(E_e)$ 绘制图像：

1. 起点：$x=0$ 处，$P=0$，且导数为 0（与横轴相切）。
2. 单调性与极值：导数 $P'(x) \propto x(1-2x)$，在 $x \in [0, 0.5)$ 内恒大于 0，说明能谱随能量单调递增。在运动学终点 $x=0.5$ 处达到全局最大值 $m P(0.5) = 4$。
3. 拐点：二阶导数在 $x=0.25$ 处为零，曲线在 $x \in (0, 0.25)$ 呈下凸（凹）状，在 $x \in (0.25, 0.5)$ 呈上凸状。 图像呈现为一个从原点出发、逐渐加速上升后平缓，最终在 $E_e/m = 0.5$ 处被截断的非对称钟形左半边。

习题 11.4 - 解答

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物理背景与 Feynman 规则分析

由给定的拉格朗日量 $\mathcal{L}$ 可知，该理论包含三个实标量场 $A, B, C$。动能项的符号 $-\frac{1}{2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi$ 表明使用的是 mostly plus 度规 $(-, +, +, +)$。 在此度规下，四维动量平方为 $p^2 = -E^2 + \mathbf{p}^2$。 根据拉格朗日量，我们可以提取出树图级别的 Feynman 规则：

1. 传播子：对于场 $S \in \{A, B, C\}$，其动量空间传播子为 $\frac{-i}{p^2 + m_S^2}$。
2. 相互作用顶点：相互作用项为 $+gABC$，这意味着唯一的顶点必须恰好连接一条 $A$ 线、一条 $B$ 线和一条 $C$ 线。顶点因子为 $ig$。任何包含两个相同粒子（如 $AAA, AAB, BCC$ 等）的顶点都是严格禁止的。
3. Mandelstam 变量：对于散射过程 $1 + 2 \to 3 + 4$，定义 $s = -(p_1 + p_2)^2, \quad t = -(p_1 - p_3)^2, \quad u = -(p_1 - p_4)^2$ 在 $s, t, u$ 通道中，传递的中间粒子动量平方分别为 $-s, -t, -u$。因此，若中间粒子为 $S$，其传播子可分别写为 $\frac{-i}{m_S^2 - s}$，$\frac{-i}{m_S^2 - t}$，$\frac{-i}{m_S^2 - u}$。 结合两个顶点因子 $(ig)^2 = -g^2$，每个有效通道对散射振幅 $i\mathcal{T}$ 的贡献形式为 $\frac{ig^2}{m_S^2 - x}$（其中 $x \in \{s, t, u\}$），即 $\mathcal{T} = \frac{g^2}{m_S^2 - x}$。

下面逐一分析题目要求的六个散射过程：

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(a) $AA \rightarrow AA$

• 分析：初始态和末态共有四个 $A$ 粒子。任何树图都需要两个三线顶点，且每个顶点至少连接两个外部 $A$ 线（例如 $s$ 通道顶点为 $AA \to X$）。由于理论中不存在包含两个 $A$ 的顶点，该过程无法画出任何合法的 Feynman 图。
• 结果： $\boxed{\mathcal{T} = 0}$

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(b) $AA \rightarrow AB$

• 分析：外部连线为三个 $A$ 和一个 $B$。无论如何组合，必然至少有一个顶点需要连接两个 $A$ 粒子（例如 $A+A \to X$ 或 $A \to A+X$），这违反了顶点必须是 $ABC$ 的规则。
• 结果： $\boxed{\mathcal{T} = 0}$

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(c) $AA \rightarrow BB$

• 分析：设初始态为 $A(p_1) + A(p_2)$，末态为 $B(p_3) + B(p_4)$。
  • $s$ 通道：$A(p_1) + A(p_2) \to X \to B(p_3) + B(p_4)$。需要 $AAX$ 顶点，不合法。
  • $t$ 通道：$A(p_1) \to B(p_3) + X$。为了满足 $ABC$ 顶点，中间粒子 $X$ 必须是 $C$。另一个顶点为 $A(p_2) + C \to B(p_4)$，同样是合法的 $ABC$ 顶点。中间粒子 $C$ 的动量平方为 $-t$，贡献为 $\frac{g^2}{m_C^2 - t}$。
  • $u$ 通道：$A(p_1) \to B(p_4) + X$。同理，中间粒子 $X$ 必须是 $C$。另一个顶点为 $A(p_2) + C \to B(p_3)$，合法。中间粒子 $C$ 的动量平方为 $-u$，贡献为 $\frac{g^2}{m_C^2 - u}$。
• 结果： $\boxed{\mathcal{T} = g^2 \left[ \frac{1}{m_C^2 - t} + \frac{1}{m_C^2 - u} \right]}$

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(d) $AA \rightarrow BC$

• 分析：设初始态为 $A(p_1) + A(p_2)$，末态为 $B(p_3) + C(p_4)$。
  • $s$ 通道：需要 $AAX$ 顶点，不合法。
  • $t$ 通道：$A(p_1) \to B(p_3) + X \implies X=C$。另一个顶点为 $A(p_2) + C \to C(p_4)$，这需要 $ACC$ 顶点，不合法。
  • $u$ 通道：$A(p_1) \to C(p_4) + X \implies X=B$。另一个顶点为 $A(p_2) + B \to B(p_3)$，这需要 $ABB$ 顶点，不合法。
• 结果： $\boxed{\mathcal{T} = 0}$

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(e) $AB \rightarrow AB$

• 分析：设初始态为 $A(p_1) + B(p_2)$，末态为 $A(p_3) + B(p_4)$。
  • $s$ 通道：$A(p_1) + B(p_2) \to X \implies X=C$。另一个顶点为 $C \to A(p_3) + B(p_4)$，合法。中间粒子 $C$ 的动量平方为 $-s$，贡献为 $\frac{g^2}{m_C^2 - s}$。
  • $t$ 通道：$A(p_1) \to A(p_3) + X$，需要 $AAX$ 顶点，不合法。
  • $u$ 通道：$A(p_1) \to B(p_4) + X \implies X=C$。另一个顶点为 $B(p_2) + C \to A(p_3)$，合法。中间粒子 $C$ 的动量平方为 $-u$，贡献为 $\frac{g^2}{m_C^2 - u}$。
• 结果： $\boxed{\mathcal{T} = g^2 \left[ \frac{1}{m_C^2 - s} + \frac{1}{m_C^2 - u} \right]}$

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(f) $AB \rightarrow AC$

• 分析：设初始态为 $A(p_1) + B(p_2)$，末态为 $A(p_3) + C(p_4)$。
  • $s$ 通道：$A(p_1) + B(p_2) \to X \implies X=C$。另一个顶点为 $C \to A(p_3) + C(p_4)$，需要 $ACC$ 顶点，不合法。
  • $t$ 通道：$A(p_1) \to A(p_3) + X$，需要 $AAX$ 顶点，不合法。
  • $u$ 通道：$A(p_1) \to C(p_4) + X \implies X=B$。另一个顶点为 $B(p_2) + B \to A(p_3)$，需要 $ABB$ 顶点，不合法。
• 结果： $\boxed{\mathcal{T} = 0}$