Gauge Field Notes
13.1

Problem 13.1

srednickiChapter 13

习题 13.1

来源: 第13章, PDF第108页

13.1 Consider an interacting scalar field theory in dd spacetime dimensions,

L=−12Zφ∂μφ∂μφ−12Zmm2φ2−L1(φ),(13.18)\mathcal{L} = -\frac{1}{2} Z_{\varphi} \partial^{\mu} \varphi \partial_{\mu} \varphi - \frac{1}{2} Z_m m^2 \varphi^2 - \mathcal{L}_1(\varphi) , \tag{13.18}

where L1(φ)\mathcal{L}_1(\varphi) is a function of φ\varphi (and not its derivatives). The exact momentum-space propagator for φ\varphi can be expressed in Lehmann-Källén form by eq. (13.17). Find a formula for the renormalizing factor ZφZ_{\varphi} in terms of ρ(s)\rho(s). Hint: consider the commutator [φ(x),φ˙(y)][\varphi(x), \dot{\varphi}(y)].

Referenced Equations:

Equation (13.17):

Δ~(k2)=1k2+m2−iϵ+∫4m2∞ds ρ(s)1k2+s−iϵ.(13.17)\tilde{\Delta}(k^2) = \frac{1}{k^2 + m^2 - i\epsilon} + \int_{4m^2}^{\infty} ds \, \rho(s) \frac{1}{k^2 + s - i\epsilon} . \tag{13.17}

习题 13.1 - 解答

习题分析与物理背景

本题要求我们在 dd 维时空中，利用 Lehmann-Källén 谱表示（Lehmann-Källén spectral representation）推导重整化因子 ZφZ_{\varphi} 与谱密度 ρ(s)\rho(s) 之间的关系。

在量子场论中，Lehmann-Källén 谱表示将相互作用理论的精确两点格林函数表达为具有不同质量的自由场两点函数的线性叠加。谱密度反映了单粒子态和多粒子连续态对场算符的贡献。通过考察等时对易关系（Equal-Time Commutation Relation, ETCR），我们可以将由拉格朗日量直接给出的正则对易关系与由谱表示给出的对易关系进行对比，从而提取出场重整化因子 ZφZ_{\varphi}。

解题过程

1. 由拉格朗日量推导正则等时对易关系

给定的相互作用标量场拉格朗日量为：

L=−12Zφ∂μφ∂μφ−12Zmm2φ2−L1(φ)\mathcal{L} = -\frac{1}{2} Z_{\varphi} \partial^{\mu} \varphi \partial_{\mu} \varphi - \frac{1}{2} Z_m m^2 \varphi^2 - \mathcal{L}_1(\varphi)

采用多数为正的度规约定 (−,+,…,+)(-, +, \dots, +)，动能项可以展开为：

−12Zφ∂μφ∂μφ=12Zφφ˙2−12Zφ(∇φ)2-\frac{1}{2} Z_{\varphi} \partial^{\mu} \varphi \partial_{\mu} \varphi = \frac{1}{2} Z_{\varphi} \dot{\varphi}^2 - \frac{1}{2} Z_{\varphi} (\nabla \varphi)^2

场 φ(x)\varphi(x) 的共轭动量 Π(x)\Pi(x) 为：

Π(x)=∂L∂φ˙(x)=Zφφ˙(x)\Pi(x) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\varphi}(x)} = Z_{\varphi} \dot{\varphi}(x)

根据正则量子化条件，场与共轭动量满足等时对易关系：

[φ(t,x),Π(t,y)]=iδd−1(x−y)[\varphi(t, \mathbf{x}), \Pi(t, \mathbf{y})] = i \delta^{d-1}(\mathbf{x} - \mathbf{y})

代入 Π(x)=Zφφ˙(x)\Pi(x) = Z_{\varphi} \dot{\varphi}(x)，我们得到相互作用场的等时对易关系：

[φ(t,x),φ˙(t,y)]=iZφδd−1(x−y)(A)[\varphi(t, \mathbf{x}), \dot{\varphi}(t, \mathbf{y})] = \frac{i}{Z_{\varphi}} \delta^{d-1}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) \tag{A}

由于该对易子是一个 c-数，其真空期望值等于它本身：

⟨0∣[φ(t,x),φ˙(t,y)]∣0⟩=iZφδd−1(x−y)\langle 0 | [\varphi(t, \mathbf{x}), \dot{\varphi}(t, \mathbf{y})] | 0 \rangle = \frac{i}{Z_{\varphi}} \delta^{d-1}(\mathbf{x} - \mathbf{y})

2. 利用 Lehmann-Källén 谱表示计算对易子

根据 Lehmann-Källén 谱表示，相互作用场的精确传播子可以写为自由场传播子的积分：

Δ~(k2)=∫0∞dμ2ρfull(μ2)k2+μ2−iϵ\tilde{\Delta}(k^2) = \int_0^\infty d\mu^2 \frac{\rho_{\text{full}}(\mu^2)}{k^2 + \mu^2 - i\epsilon}

对比题目给出的公式 (13.17)：

Δ~(k2)=1k2+m2−iϵ+∫4m2∞ds ρ(s)1k2+s−iϵ\tilde{\Delta}(k^2) = \frac{1}{k^2 + m^2 - i\epsilon} + \int_{4m^2}^{\infty} ds \, \rho(s) \frac{1}{k^2 + s - i\epsilon}

我们可以识别出全谱密度 ρfull(μ2)\rho_{\text{full}}(\mu^2) 为单粒子极点与多粒子连续态贡献之和：

ρfull(μ2)=δ(μ2−m2)+ρ(μ2)θ(μ2−4m2)\rho_{\text{full}}(\mu^2) = \delta(\mu^2 - m^2) + \rho(\mu^2) \theta(\mu^2 - 4m^2)

同样地，相互作用场的对易子也可以表示为质量为 μ\mu 的自由场对易子 [φ(x),φ(y)]free,μ2[\varphi(x), \varphi(y)]_{\text{free}, \mu^2} 的谱积分：

⟨0∣[φ(x),φ(y)]∣0⟩=∫0∞dμ2ρfull(μ2)⟨0∣[φ(x),φ(y)]∣0⟩free,μ2\langle 0 | [\varphi(x), \varphi(y)] | 0 \rangle = \int_0^\infty d\mu^2 \rho_{\text{full}}(\mu^2) \langle 0 | [\varphi(x), \varphi(y)] | 0 \rangle_{\text{free}, \mu^2}

对时间 y0y^0 求导，并取等时极限 x0=y0=tx^0 = y^0 = t：

⟨0∣[φ(t,x),φ˙(t,y)]∣0⟩=∫0∞dμ2ρfull(μ2)⟨0∣[φ(t,x),φ˙(t,y)]∣0⟩free,μ2\langle 0 | [\varphi(t, \mathbf{x}), \dot{\varphi}(t, \mathbf{y})] | 0 \rangle = \int_0^\infty d\mu^2 \rho_{\text{full}}(\mu^2) \langle 0 | [\varphi(t, \mathbf{x}), \dot{\varphi}(t, \mathbf{y})] | 0 \rangle_{\text{free}, \mu^2}

对于质量为 μ\mu 的自由标量场，其等时对易关系为标准的：

⟨0∣[φ(t,x),φ˙(t,y)]∣0⟩free,μ2=iδd−1(x−y)\langle 0 | [\varphi(t, \mathbf{x}), \dot{\varphi}(t, \mathbf{y})] | 0 \rangle_{\text{free}, \mu^2} = i \delta^{d-1}(\mathbf{x} - \mathbf{y})

将其代入积分中，得到：

⟨0∣[φ(t,x),φ˙(t,y)]∣0⟩=(∫0∞dμ2ρfull(μ2))iδd−1(x−y)(B)\langle 0 | [\varphi(t, \mathbf{x}), \dot{\varphi}(t, \mathbf{y})] | 0 \rangle = \left( \int_0^\infty d\mu^2 \rho_{\text{full}}(\mu^2) \right) i \delta^{d-1}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) \tag{B}

3. 比较并得出 ZφZ_{\varphi} 的表达式

将由拉格朗日量得到的式 (A) 与由谱表示得到的式 (B) 进行对比，必须有：

1Zφ=∫0∞dμ2ρfull(μ2)\frac{1}{Z_{\varphi}} = \int_0^\infty d\mu^2 \rho_{\text{full}}(\mu^2)

代入前面识别出的全谱密度 ρfull(μ2)\rho_{\text{full}}(\mu^2)：

1Zφ=∫0∞dμ2[δ(μ2−m2)+ρ(μ2)θ(μ2−4m2)]\frac{1}{Z_{\varphi}} = \int_0^\infty d\mu^2 \left[ \delta(\mu^2 - m^2) + \rho(\mu^2) \theta(\mu^2 - 4m^2) \right]

完成积分后得到：

1Zφ=1+∫4m2∞ds ρ(s)\frac{1}{Z_{\varphi}} = 1 + \int_{4m^2}^\infty ds \, \rho(s)

对上式取倒数，即可得到重整化因子 ZφZ_{\varphi} 的最终表达式。

最终答案

重整化因子 ZφZ_{\varphi} 用谱密度 ρ(s)\rho(s) 表示的公式为：

Zφ=11+∫4m2∞ds ρ(s)\boxed{ Z_{\varphi} = \frac{1}{1 + \int_{4m^2}^{\infty} ds \, \rho(s)} }