Gauge Field Notes
17.1

Problem 17.1

srednickiChapter 17

习题 17.1

来源: 第17章, PDF第128页

17.1 Verify eq. (17.3).

Referenced Equations:

Equation (17.3):

D1234=x1x4k12+x2x4k22+x2x3k32+x1x3k42+x1x2(k1+k2)2+x3x4(k2+k3)2+m2.(17.3)\begin{aligned} D_{1234} &= x_1x_4k_1^2 + x_2x_4k_2^2 + x_2x_3k_3^2 + x_1x_3k_4^2 \\ &\quad + x_1x_2(k_1+k_2)^2 + x_3x_4(k_2+k_3)^2 + m^2 . \end{aligned} \tag{17.3}

习题 17.1 - 解答

习题分析与物理背景

本题要求验证单圈四点函数（如箱型图，Box diagram）在引入 Feynman 参数化并完成动量平移后，分母中与积分动量无关的常数项 D1234D_{1234} 的表达式。

在计算单圈图时，通常会引入 Feynman 参数 xix_i（满足归一化条件 ∑i=14xi=1\sum_{i=1}^4 x_i = 1）将多个传播子合并为一个。合并后的传播子分母形式为： D=∑i=14xi(qi2+m2)=∑i=14xiqi2+m2D = \sum_{i=1}^4 x_i (q_i^2 + m^2) = \sum_{i=1}^4 x_i q_i^2 + m^2 其中 qiq_i 为各内部传播子的动量。通过配方和平移环路动量，可以将分母化为 D=ℓ2+D1234D = \ell^2 + D_{1234} 的形式，其中 ℓ\ell 是平移后的新环路动量，D1234D_{1234} 是仅依赖于外部动量 kik_i、Feynman 参数 xix_i 和质量 mm 的项（即第二 Symanzik 多项式相关的项）。

推导与解答过程

1. 内部动量的参数化 对于一个具有四个外线动量 k1,k2,k3,k4k_1, k_2, k_3, k_4（约定所有外动量均流入顶点，满足动量守恒 k1+k2+k3+k4=0k_1 + k_2 + k_3 + k_4 = 0）的箱型图，为了与目标公式 (17.3) 的各项系数匹配，我们按如下方式设定内部传播子的动量 qiq_i：

q1=qq4=q+k1q2=q+k1+k2q3=q+k1+k2+k3\begin{aligned} q_1 &= q \\ q_4 &= q + k_1 \\ q_2 &= q + k_1 + k_2 \\ q_3 &= q + k_1 + k_2 + k_3 \end{aligned}

其中 qq 为未平移的环路动量。

2. 动量平方和的恒等式变形 利用 Feynman 参数的归一化条件 ∑i=14xi=1\sum_{i=1}^4 x_i = 1，我们可以引入一个代数恒等式（类似于方差公式）来处理二次型：

∑i=14xiqi2=(∑i=14xiqi)2+∑1≤i<j≤4xixj(qi−qj)2\sum_{i=1}^4 x_i q_i^2 = \left( \sum_{i=1}^4 x_i q_i \right)^2 + \sum_{1 \le i < j \le 4} x_i x_j (q_i - q_j)^2

证明简述：

∑i<jxixj(qi−qj)2=12∑i,jxixj(qi2+qj2−2qi⋅qj)=12(∑ixiqi2∑jxj+∑jxjqj2∑ixi−2∑ixiqi⋅∑jxjqj)=∑i=14xiqi2−(∑i=14xiqi)2\begin{aligned} \sum_{i<j} x_i x_j (q_i - q_j)^2 &= \frac{1}{2} \sum_{i,j} x_i x_j (q_i^2 + q_j^2 - 2 q_i \cdot q_j) \\ &= \frac{1}{2} \left( \sum_i x_i q_i^2 \sum_j x_j + \sum_j x_j q_j^2 \sum_i x_i - 2 \sum_i x_i q_i \cdot \sum_j x_j q_j \right) \\ &= \sum_{i=1}^4 x_i q_i^2 - \left( \sum_{i=1}^4 x_i q_i \right)^2 \end{aligned}

将此恒等式代入合并后的分母 DD 中：

D=(∑i=14xiqi)2+∑1≤i<j≤4xixj(qi−qj)2+m2D = \left( \sum_{i=1}^4 x_i q_i \right)^2 + \sum_{1 \le i < j \le 4} x_i x_j (q_i - q_j)^2 + m^2

3. 环路动量平移 定义平移后的新环路动量为 ℓ=∑i=14xiqi\ell = \sum_{i=1}^4 x_i q_i。此时分母变为标准形式 D=ℓ2+D1234D = \ell^2 + D_{1234}，其中与 ℓ\ell 无关的项为：

D1234=∑1≤i<j≤4xixj(qi−qj)2+m2D_{1234} = \sum_{1 \le i < j \le 4} x_i x_j (q_i - q_j)^2 + m^2

4. 计算动量差的平方 根据前面定义的内部动量 qiq_i，我们逐一计算所有 6 对动量差的平方 (qi−qj)2(q_i - q_j)^2：

  • (q1−q4)2=(−k1)2=k12(q_1 - q_4)^2 = (-k_1)^2 = k_1^2
  • (q4−q2)2=(−k2)2=k22(q_4 - q_2)^2 = (-k_2)^2 = k_2^2
  • (q2−q3)2=(−k3)2=k32(q_2 - q_3)^2 = (-k_3)^2 = k_3^2
  • (q1−q3)2=(−k1−k2−k3)2=k42(q_1 - q_3)^2 = (-k_1 - k_2 - k_3)^2 = k_4^2 （利用了动量守恒 k1+k2+k3=−k4k_1+k_2+k_3 = -k_4）
  • (q1−q2)2=(−k1−k2)2=(k1+k2)2(q_1 - q_2)^2 = (-k_1 - k_2)^2 = (k_1 + k_2)^2
  • (q4−q3)2=(−k2−k3)2=(k2+k3)2(q_4 - q_3)^2 = (-k_2 - k_3)^2 = (k_2 + k_3)^2

5. 组合最终结果 将上述动量差的平方代入 D1234D_{1234} 的表达式中，展开求和项：

D1234=x1x4(q1−q4)2+x2x4(q4−q2)2+x2x3(q2−q3)2+x1x3(q1−q3)2+x1x2(q1−q2)2+x3x4(q4−q3)2+m2\begin{aligned} D_{1234} &= x_1 x_4 (q_1 - q_4)^2 + x_2 x_4 (q_4 - q_2)^2 + x_2 x_3 (q_2 - q_3)^2 \\ &\quad + x_1 x_3 (q_1 - q_3)^2 + x_1 x_2 (q_1 - q_2)^2 + x_3 x_4 (q_4 - q_3)^2 + m^2 \end{aligned}

替换为外部动量不变量后，得到：

D1234=x1x4k12+x2x4k22+x2x3k32+x1x3k42+x1x2(k1+k2)2+x3x4(k2+k3)2+m2\begin{aligned} D_{1234} &= x_1 x_4 k_1^2 + x_2 x_4 k_2^2 + x_2 x_3 k_3^2 + x_1 x_3 k_4^2 \\ &\quad + x_1 x_2 (k_1+k_2)^2 + x_3 x_4 (k_2+k_3)^2 + m^2 \end{aligned}

这与题目给定的公式 (17.3) 完全一致，验证完毕。

D1234=x1x4k12+x2x4k22+x2x3k32+x1x3k42+x1x2(k1+k2)2+x3x4(k2+k3)2+m2\boxed{ \begin{aligned} D_{1234} &= x_1x_4k_1^2 + x_2x_4k_2^2 + x_2x_3k_3^2 + x_1x_3k_4^2 \\ &\quad + x_1x_2(k_1+k_2)^2 + x_3x_4(k_2+k_3)^2 + m^2 \end{aligned} }