Gauge Field Notes
18.1

Problem 18.1

srednickiChapter 18

习题 18.1

来源: 第18章, PDF第132页

18.1 In any number dd of spacetime dimensions, a Dirac field Ψα(x)\Psi_{\alpha}(x) carries a spin index α\alpha, and has a kinetic term of the form iΨ‾γμ∂μΨi\overline{\Psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi, where we have suppressed the spin indices; the gamma matrices γμ\gamma^{\mu} are dimensionless, and Ψ‾=Ψ†γ0\overline{\Psi} = \Psi^{\dagger}\gamma^{0}.

a) What is the mass dimension [Ψ][\Psi] of the field Ψ\Psi?

b) Consider interactions of the form gn(Ψ‾Ψ)ng_{n}(\overline{\Psi}\Psi)^{n}, where n≥2n \geq 2 is an integer. What is the mass dimension [gn][g_{n}] of gng_{n}?

c) Consider interactions of the form gm,nφm(Ψ‾Ψ)ng_{m,n}\varphi^{m}(\overline{\Psi}\Psi)^{n}, where φ\varphi is a scalar field, and m≥1m \geq 1 and n≥1n \geq 1 are integers. What is the mass dimension [gm,n][g_{m,n}] of gm,ng_{m,n}?

d) In d=4d = 4 spacetime dimensions, which of these interactions are allowed in a renormalizable theory?

习题 18.1 - 解答

在自然单位制（ℏ=c=1\hbar = c = 1）下，作用量 S=∫ddxLS = \int d^d x \mathcal{L} 必须是无量纲的，即 [S]=0[S] = 0。由于 dd 维时空积分测度 ddxd^d x 的质量量纲为 −d-d，拉格朗日密度 L\mathcal{L} 的质量量纲必须为 [L]=d[\mathcal{L}] = d。这是通过量纲分析（Power Counting）确定场和耦合常数量纲的基本出发点。

(a) 狄拉克场 Ψ\Psi 的质量量纲

狄拉克场的动能项为 Lkin=iΨ‾γμ∂μΨ\mathcal{L}_{\text{kin}} = i\overline{\Psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi。 我们已知：

  1. 偏导数 ∂μ\partial_{\mu} 对应于空间坐标的倒数，其质量量纲为 [∂μ]=1[\partial_{\mu}] = 1。
  2. 狄拉克矩阵 γμ\gamma^{\mu} 是无量纲常数矩阵，[γμ]=0[\gamma^{\mu}] = 0。
  3. 狄拉克伴随场 Ψ‾=Ψ†γ0\overline{\Psi} = \Psi^{\dagger}\gamma^0，由于 γ0\gamma^0 无量纲，故 [Ψ‾]=[Ψ][\overline{\Psi}] = [\Psi]。

将动能项的量纲与拉格朗日密度的总质量量纲 dd 相等： [Lkin]=[Ψ‾]+[γμ]+[∂μ]+[Ψ]=2[Ψ]+1[\mathcal{L}_{\text{kin}}] = [\overline{\Psi}] + [\gamma^{\mu}] + [\partial_{\mu}] + [\Psi] = 2[\Psi] + 1 2[Ψ]+1=d2[\Psi] + 1 = d 解得狄拉克场 Ψ\Psi 的质量量纲为： [Ψ]=d−12\boxed{[\Psi] = \frac{d-1}{2}}

(b) 耦合常数 gng_n 的质量量纲

考虑相互作用项 Lint=gn(Ψ‾Ψ)n\mathcal{L}_{\text{int}} = g_{n}(\overline{\Psi}\Psi)^{n}。 该项的总质量量纲必须等于 dd。算符 (Ψ‾Ψ)n(\overline{\Psi}\Psi)^{n} 的量纲为： [(Ψ‾Ψ)n]=n×(2[Ψ])=n(d−1)[(\overline{\Psi}\Psi)^{n}] = n \times (2[\Psi]) = n(d-1) 因此，耦合常数 gng_n 的量纲满足： [gn]+n(d−1)=d[g_n] + n(d-1) = d 解得 gng_n 的质量量纲为： [gn]=d−n(d−1)\boxed{[g_n] = d - n(d-1)}

(c) 耦合常数 gm,ng_{m,n} 的质量量纲

考虑相互作用项 Lint=gm,nφm(Ψ‾Ψ)n\mathcal{L}_{\text{int}} = g_{m,n}\varphi^{m}(\overline{\Psi}\Psi)^{n}。 首先需要确定标量场 φ\varphi 的质量量纲。标量场的标准动能项为 12∂μφ∂μφ\frac{1}{2}\partial_{\mu}\varphi\partial^{\mu}\varphi，其量纲方程为： 2[∂μ]+2[φ]=2+2[φ]=d  ⟹  [φ]=d−222[\partial_{\mu}] + 2[\varphi] = 2 + 2[\varphi] = d \implies [\varphi] = \frac{d-2}{2} 相互作用项的总量纲为 dd，因此： [gm,n]+m[φ]+n(2[Ψ])=d[g_{m,n}] + m[\varphi] + n(2[\Psi]) = d [gm,n]+m(d−22)+n(d−1)=d[g_{m,n}] + m\left(\frac{d-2}{2}\right) + n(d-1) = d 解得 gm,ng_{m,n} 的质量量纲为： [gm,n]=d−md−22−n(d−1)\boxed{[g_{m,n}] = d - m\frac{d-2}{2} - n(d-1)}

(d) d=4d=4 维时空中允许的可重整相互作用

在微扰量子场论中，根据表观重整化度（Dyson 幂计数准则），一个理论如果是可重整的（或超可重整的），其拉格朗日量中所有相互作用项的耦合常数的质量量纲必须大于或等于零，即 [g]≥0[g] \geq 0。若 [g]<0[g] < 0，则理论是不可重整的。

将 d=4d=4 代入前面求得的量纲公式中：

  1. 对于 gn(Ψ‾Ψ)ng_n(\overline{\Psi}\Psi)^n 相互作用： [gn]=4−n(4−1)=4−3n[g_n] = 4 - n(4-1) = 4 - 3n 可重整性要求 4−3n≥0  ⟹  n≤434 - 3n \geq 0 \implies n \leq \frac{4}{3}。 由于题目限定 n≥2n \geq 2 且为整数，该不等式无解。因此，没有任何 gng_n 类型的相互作用是可重整的。

  2. 对于 gm,nφm(Ψ‾Ψ)ng_{m,n}\varphi^{m}(\overline{\Psi}\Psi)^{n} 相互作用： [gm,n]=4−m(4−22)−n(4−1)=4−m−3n[g_{m,n}] = 4 - m\left(\frac{4-2}{2}\right) - n(4-1) = 4 - m - 3n 可重整性要求 4−m−3n≥0  ⟹  m+3n≤44 - m - 3n \geq 0 \implies m + 3n \leq 4。 题目限定 m≥1m \geq 1 且 n≥1n \geq 1 均为整数。

  • 若 n=1n = 1，则 m+3≤4  ⟹  m≤1m + 3 \leq 4 \implies m \leq 1。结合 m≥1m \geq 1，唯一解为 m=1m = 1。
  • 若 n≥2n \geq 2，则 m+3n≥1+6=7>4m + 3n \geq 1 + 6 = 7 > 4，无解。

因此，唯一满足条件的整数解是 m=1,n=1m=1, n=1。对应的相互作用项为 φΨ‾Ψ\varphi\overline{\Psi}\Psi（即汤川相互作用，Yukawa interaction）。

综上所述，在 d=4d=4 维时空中，可重整理论中唯一允许的相互作用是： m=1,n=1 时的 g1,1φΨ‾Ψ 相互作用\boxed{m=1, n=1 \text{ 时的 } g_{1,1}\varphi\overline{\Psi}\Psi \text{ 相互作用}}