习题 21.1 - 解答

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习题分析与物理背景

在量子场论中，连通图生成泛函 $W(J)$ 与单粒子不可约（1PI）图生成泛函（即有效作用量） $\Gamma(\varphi)$ 之间存在深刻的联系。物理上，$\Gamma(\varphi)$ 包含了所有的量子修正，使得在树图近似下使用 $\Gamma(\varphi)$ 作为作用量计算出的连通关联函数，恰好等于全量子理论的精确连通关联函数。

为了从路径积分严格推导这一关系，通常从有效作用量 $\Gamma(\varphi)$ 的微积分-积分方程（Jackiw 公式）出发。该方程通过在经典背景场 $\varphi(x)$ 附近展开量子涨落 $\chi(x)$ 来定义 $\Gamma(\varphi)$，并通过减去特定的线性项来消除单粒子可约（1PR）图的贡献。本题要求证明 $\Gamma(\varphi)$ 实际上是 $W(J)$ 的勒让德变换（Legendre transform）。

推导过程

第一步：从有效作用量的路径积分定义出发

有效作用量 $\Gamma(\varphi)$ 的隐式路径积分定义为：

其中 $\varphi(x)$ 是固定的经典背景场，$\chi(x)$ 是量子涨落场。

第二步：引入辅助源场 $J_\varphi(x)$

为了简化表达式并建立与外源 $J(x)$ 的联系，我们定义一个特定的源场配置 $J_\varphi(x)$，使其等于有效作用量对经典场的泛函导数的负值：

将此定义代入路径积分中，得到：

第三步：路径积分变量代换

在路径积分中进行变量平移，令全场为 $\phi(x) = \varphi(x) + \chi(x)$。由于 $\varphi(x)$ 是固定的背景场，路径积分测度保持不变，即 $\mathcal{D}\chi = \mathcal{D}\phi$，且涨落场可写为 $\chi(x) = \phi(x) - \varphi(x)$。代入后积分变为：

由于包含 $\varphi(x)$ 的项与积分变量 $\phi$ 无关，可以将其作为常数因子提取到积分号外：

第四步：识别连通图生成泛函 $W(J)$

观察上式中剩余的路径积分，这正是标准的存在外源时的生成泛函 $Z(J) = e^{i W(J)}$，只不过此时的外源取为特定的 $J_\varphi(x)$：

将其代回原式，得到：

对等式两边取自然对数并除以 $i$，即可得到式 (21.20) 的勒让德变换关系：

第五步：证明 $J_\varphi(x)$ 满足的极值条件

为了证明式 (21.21)，我们需要验证上述定义的 $J_\varphi(x)$ 确实是方程 $\frac{\delta W}{\delta J(x)} = \varphi(x)$ 的解。 对刚刚推导出的勒让德变换关系式两边同时对经典场 $\varphi(y)$ 求泛函导数。利用链式法则处理 $W(J_\varphi)$ 项，得到：

根据第二步中的定义，等式左边为 $\frac{\delta \Gamma(\varphi)}{\delta \varphi(y)} = - J_\varphi(y)$。将其代入上式：

等式两边的 $-J_\varphi(y)$ 相互抵消。提取公因子 $\frac{\delta J_\varphi(x)}{\delta \varphi(y)}$，整理可得：

在物理上，算子 $\frac{\delta J_\varphi(x)}{\delta \varphi(y)}$ 对应于连通两点关联函数的逆（即传播子的逆），它是非奇异且可逆的。因此，为了使上式对任意的 $\varphi(y)$ 恒成立，方括号内的项必须恒为零：

这正是式 (21.21)，表明 $J_\varphi(x)$ 恰好是使得经典场期望值为 $\varphi(x)$ 时所需施加的外源。

最终结果

综上所述，我们严格证明了有效作用量与连通图生成泛函之间的勒让德变换关系及其对偶条件：

其中 $J_\varphi(x)$ 是由下式唯一确定的解：

习题 21.2 - 解答

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a) 证明 $W(J)$ 在变换 (21.23) 下的不变性

连通图生成泛函 $W(J)$ 通过路径积分定义为（采用闵可夫斯基符号约定，欧几里得约定同理）：

我们在路径积分中作积分变量的替换。引入新的积分哑变量 $\tilde{\varphi}$，使其满足与式 (21.22) 相同的变换关系：

根据题意，经典作用量和积分测度在该变换下是不变的，因此有：

接下来考察源项（source term）在该变量替换下的形式：

交换积分顺序，并把与 $x$ 相关的部分结合起来：

注意到括号内的项正是式 (21.23) 中定义的新源（为了区分，我们将变换后的源记为 $J'$）：

因此，源项可以写为 $\int d^d y \, J'_b(y) \tilde{\varphi}_b(y)$。将这些结果代回路径积分中：

等式右边正是外源为 $J'$ 时的生成泛函 $e^{iW(J')}$。由于 $\tilde{\varphi}$ 只是一个积分哑变量，这表明：

即 $W(J)$ 在式 (21.23) 的变换下保持不变。

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b) 证明量子作用量 $\Gamma(\varphi)$ 在式 (21.22) 下的不变性

量子作用量（有效作用量）由勒让德变换式 (21.20) 定义：

其中 $J_\varphi$ 是产生经典场 $\varphi$ 的源，即满足：

我们需要证明 $\Gamma(\varphi') = \Gamma(\varphi)$，其中 $\varphi'$ 是按式 (21.22) 变换后的场。根据定义：

为了找到 $J_{\varphi'}$ 与 $J_\varphi$ 之间的关系，我们利用 a) 中证明的 $W(J) = W(J')$。对 $W(J)$ 关于 $J_c(z)$ 求泛函导数，并应用链式法则：

由 $J'_a(x) = \int d^d y \, J_b(y) R_{ba}(y, x)$ 可知，$\frac{\delta J'_a(x)}{\delta J_c(z)} = R_{ca}(z, x)$。代入上式得：

将上式在 $J = J_{\varphi'}$ 处求值。此时等式左边根据定义即为 $\varphi'_c(z)$：

另一方面，根据式 (21.22) 的场变换定义，我们有：

对比以上两式，并考虑到对称性变换矩阵 $R$ 通常是可逆的，我们可以剥离积分和 $R_{ca}(z, x)$，得到：

这表明，当源取值为 $J'$（且 $J$ 取 $J_{\varphi'}$）时，它产生的经典场正是 $\varphi$。根据 $J_\varphi$ 的定义，这意味着 $J_{\varphi'}$ 经过式 (21.23) 变换后得到的正是 $J_\varphi$：

现在我们可以计算 $\Gamma(\varphi')$。首先，由于 $W$ 在源的变换下不变，我们有：

其次，计算勒让德变换中的第二项：

交换积分顺序：

括号内的部分正是 $J_{\varphi, b}(y)$，因此：

将这两部分结果代回 $\Gamma(\varphi')$ 的表达式中：

这正是 $\Gamma(\varphi)$ 的定义式。因此我们证明了：

即量子作用量在经典作用量的线性对称性变换下同样保持不变。

习题 21.3 - 解答

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题目分析与物理背景

本题探讨了背景场方法（Background Field Method）中的一个核心恒等式。在量子场论中，背景场方法是一种计算有效作用量（即量子作用量）的极其有用的技巧，特别是在处理规范理论时，它能够在量子修正的计算中显式地保持规范对称性。

题目要求证明：在存在经典背景场 $\bar{\varphi}(x)$ 的情况下，对量子涨落 $\varphi(x)$ 进行路径积分所得到的有效作用量 $\Gamma(\varphi; \bar{\varphi})$，实际上等价于无背景场时的原始有效作用量 $\Gamma(\Phi; 0)$，只需将自变量平移为总场 $\Phi = \varphi + \bar{\varphi}$。这表明背景场和量子场的期望值在有效作用量中是以线性叠加的形式出现的。

推导过程

首先，根据定义 (21.24)，在背景场 $\bar{\varphi}(x)$ 存在时的生成泛函为：

为了将上式与无背景场时的生成泛函联系起来，我们在路径积分中作变量代换。定义总场变量：

由于 $\bar{\varphi}(x)$ 是一个固定的经典背景场，路径积分测度在此平移下保持不变，即 $\mathcal{D}\varphi = \mathcal{D}\varphi'$。将 $\varphi = \varphi' - \bar{\varphi}$ 代入指数中，得到：

将与积分变量 $\varphi'$ 无关的项提取到积分号外：

注意到等式右侧的路径积分正是无背景场时的连通图生成泛函 $\exp[i W(J; 0)]$。因此我们得到：

对两边取对数并除以 $i$，可以得到两种生成泛函之间的精确关系：

接下来，我们考察量子作用量（有效作用量）的定义。根据式 (21.26)，在背景场存在时，外源 $J$ 与经典场 $\varphi$ 的关系由下式给出：

将前面求得的 $W(J ; \bar{\varphi})$ 的表达式代入该泛函导数中：

移项后得到：

令 $\Phi(x) \equiv \varphi(x) + \bar{\varphi}(x)$。上式表明，在存在背景场 $\bar{\varphi}$ 时产生期望值 $\varphi$ 所需的外源 $J_{\varphi}$，与在无背景场时产生期望值 $\Phi = \varphi + \bar{\varphi}$ 所需的外源 $J_{\Phi}$ 是完全相同的。即 $J_{\varphi} = J_{\varphi + \bar{\varphi}}$。

最后，根据式 (21.25)，背景场下的量子作用量通过勒让德变换定义为：

将 $W(J_{\varphi} ; \bar{\varphi}) = W(J_{\varphi} ; 0) - \int d^{d} x J_{\varphi} \bar{\varphi}$ 代入上式：

由于 $\Phi = \varphi + \bar{\varphi}$，且 $J_{\varphi}$ 正是对应于总场 $\Phi$ 的外源，上式右端恰好是无背景场时原始量子作用量 $\Gamma(\Phi; 0)$ 的标准勒让德变换定义：

因此，我们证明了：