习题 24.1 - 解答

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正交矩阵 $R$ 满足正交性条件 $R^T R = I$，写成张量分量形式（采用爱因斯坦求和约定或显式写出对哑指标 $k$ 的求和）即为： $\sum_{k} (R^T)_{ik} R_{kj} = \sum_{k} R_{ki} R_{kj} = \delta_{ij}$

已知 $R$ 在恒等变换附近的无穷小展开形式为： $R_{ij} = \delta_{ij} + \theta_{ij} + O(\theta^2)$

将该表达式代入正交性条件中，展开并保留至 $\theta$ 的一阶项。首先分别写出 $R_{ki}$ 和 $R_{kj}$： $R_{ki} = \delta_{ki} + \theta_{ki} + O(\theta^2)$ $R_{kj} = \delta_{kj} + \theta_{kj} + O(\theta^2)$

计算它们的乘积并对 $k$ 求和： $\sum_{k} R_{ki} R_{kj} = \sum_{k} \left( \delta_{ki} + \theta_{ki} \right) \left( \delta_{kj} + \theta_{kj} \right) + O(\theta^2)$ $= \sum_{k} \left( \delta_{ki}\delta_{kj} + \delta_{ki}\theta_{kj} + \theta_{ki}\delta_{kj} + \theta_{ki}\theta_{kj} \right) + O(\theta^2)$

利用克罗内克 $\delta$ 符号的缩并性质（即 $\sum_k \delta_{ki} A_{k...} = A_{i...}$），对上述展开式逐项化简：

1. 零阶项：$\sum_k \delta_{ki}\delta_{kj} = \delta_{ij}$
2. 一阶项1：$\sum_k \delta_{ki}\theta_{kj} = \theta_{ij}$
3. 一阶项2：$\sum_k \theta_{ki}\delta_{kj} = \theta_{ji}$
4. 二阶项：$\sum_k \theta_{ki}\theta_{kj}$ 属于 $O(\theta^2)$ 的二阶小量，直接并入高阶项中。

因此，乘积结果化简为： $\sum_{k} R_{ki} R_{kj} = \delta_{ij} + \theta_{ij} + \theta_{ji} + O(\theta^2)$

根据正交性条件，该结果必须严格等于 $\delta_{ij}$： $\delta_{ij} + \theta_{ij} + \theta_{ji} + O(\theta^2) = \delta_{ij}$

消去等式两边的 $\delta_{ij}$，得到： $\theta_{ij} + \theta_{ji} + O(\theta^2) = 0$

由于该等式必须对任意无穷小参数 $\theta$ 成立，我们在忽略二阶及以上高阶小量 $O(\theta^2)$ 的一阶近似下，要求一阶项的系数严格为零，即必须满足： $\theta_{ij} + \theta_{ji} = 0$ 移项可得： $\theta_{ij} = -\theta_{ji}$

物理与数学背景说明： 上述推导表明，矩阵 $\theta$ 的转置等于其负值（$\theta^T = -\theta$）。在理论物理中，无穷小正交变换描述了系统的微小旋转。正交群 $O(n)$（或特殊正交群 $SO(n)$）的李代数 $\mathfrak{so}(n)$ 由所有满足 $\theta^T = -\theta$ 的矩阵构成。反对称性是保证无穷小线性变换在保留矢量内积（即空间长度和角度不变）时的必然数学要求。

最终结论为： $\boxed{\theta_{ij} = -\theta_{ji}}$ 即 $\theta_{ij}$ 必须是反对称的。

习题 24.2 - 解答

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物理背景与分析

本题旨在通过李群（Lie Group）的群乘法闭合性（Closure property）来推导其对应的李代数（Lie Algebra）的对易关系。具体而言，群对易子（Group commutator） $R'^{-1}R^{-1}R'R$ 衡量了两个变换 $R$ 和 $R'$ 的不可交换程度。对于无穷小变换，这个群对易子本身也必须是一个无穷小群变换，将其在生成元基底上展开，即可自然导出生成元之间的李括号（Lie bracket）结构，即结构方程 $[T^a, T^b] = i f^{abc} T^c$。虽然题目指定了 $\mathrm{SO}(N)$ 群，但该推导过程对任意连续李群均成立。

推导过程

设 $R$ 和 $R'$ 是 $\mathrm{SO}(N)$ 群的两个独立的无穷小变换，它们可以由群的生成元 $T^a$ 参数化表示为： $R = \exp(-i \theta^a T^a), \quad R' = \exp(-i \phi^a T^a)$ 其中 $\theta^a$ 和 $\phi^a$ 是两组独立的无穷小参数。

将指数映射展开至参数的二阶（因为一阶项在群对易子中会相互抵消，非平庸的物理信息出现在二阶）： $R = I - i \theta^a T^a - \frac{1}{2} \theta^a \theta^b T^a T^b + \mathcal{O}(\theta^3)$ $R' = I - i \phi^a T^a - \frac{1}{2} \phi^a \phi^b T^a T^b + \mathcal{O}(\phi^3)$ 它们的逆变换可以通过将参数反号得到： $R^{-1} = I + i \theta^a T^a - \frac{1}{2} \theta^a \theta^b T^a T^b + \mathcal{O}(\theta^3)$ $R'^{-1} = I + i \phi^a T^a - \frac{1}{2} \phi^a \phi^b T^a T^b + \mathcal{O}(\phi^3)$

为了简化书写与计算，定义反埃尔米特矩阵 $A = -i \theta^a T^a$ 和 $B = -i \phi^b T^b$。我们需要计算群对易子 $R'^{-1} R^{-1} R' R = e^{-B} e^{-A} e^B e^A$。 保留到 $A$ 和 $B$ 的二阶项，逐步进行矩阵乘法展开：

首先计算 $e^B e^A$： $e^B e^A = \left(I + B + \frac{1}{2}B^2\right)\left(I + A + \frac{1}{2}A^2\right) = I + A + B + \frac{1}{2}A^2 + \frac{1}{2}B^2 + BA + \dots$

接着左乘 $e^{-A}$： $e^{-A} e^B e^A = \left(I - A + \frac{1}{2}A^2\right)\left(I + A + B + \frac{1}{2}A^2 + \frac{1}{2}B^2 + BA\right)$ $= I + A + B + \frac{1}{2}A^2 + \frac{1}{2}B^2 + BA - A(I + A + B) + \frac{1}{2}A^2$ $= I + B + \frac{1}{2}B^2 + BA - AB = I + B + \frac{1}{2}B^2 - [A, B]$

最后左乘 $e^{-B}$： $e^{-B} e^{-A} e^B e^A = \left(I - B + \frac{1}{2}B^2\right)\left(I + B + \frac{1}{2}B^2 - [A, B]\right)$ $= I + B + \frac{1}{2}B^2 - [A, B] - B(I + B) + \frac{1}{2}B^2$ $= I - [A, B]$

将 $A = -i \theta^a T^a$ 和 $B = -i \phi^b T^b$ 代回上式，计算矩阵对易子： $[A, B] = [-i \theta^a T^a, -i \phi^b T^b] = -\theta^a \phi^b [T^a, T^b]$ 因此，群对易子的展开式为： $R'^{-1} R^{-1} R' R = I + \theta^a \phi^b [T^a, T^b] + \mathcal{O}(\text{三阶及以上})$

根据李群的乘法闭合性，任意群元素的乘积仍然是群中的元素，故 $R'^{-1} R^{-1} R' R \in \mathrm{SO}(N)$。 由于该元素与单位阵 $I$ 的偏差仅在二阶 $\mathcal{O}(\theta \phi)$，它本身也是一个无穷小 $\mathrm{SO}(N)$ 变换。任何无穷小变换都可以由生成元 $T^c$ 线性组合生成，因此可以设： $R'^{-1} R^{-1} R' R = I - i \omega^c T^c$ 其中 $\omega^c$ 是新的无穷小参数。由于偏差项是关于 $\theta^a$ 和 $\phi^b$ 的双线性形式，$\omega^c$ 必然也是 $\theta^a$ 和 $\phi^b$ 的双线性组合。我们可以引入一组常数 $f^{abc}$，将其参数化为： $\omega^c = - f^{abc} \theta^a \phi^b$ （这里的负号是为了匹配物理学中李代数的标准约定）。

将两种方式得到的 $R'^{-1} R^{-1} R' R$ 表达式进行对比： $I + \theta^a \phi^b [T^a, T^b] = I + i \theta^a \phi^b f^{abc} T^c$ 化简得到： $\theta^a \phi^b [T^a, T^b] = i \theta^a \phi^b f^{abc} T^c$

由于 $\theta^a$ 和 $\phi^b$ 是完全独立且任意的无穷小参数，等式两边关于 $\theta^a \phi^b$ 的系数必须严格相等。剥离参数后，我们直接得到了 $\mathrm{SO}(N)$ 群生成元的李代数对易关系（其中 $f^{abc}$ 即为群的结构常数）：

习题 24.3 - 解答

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a) 求解 Noether 流 $j^{a\mu}$

根据题意与标准场论背景，方程 (24.6) 描述了标量场多重态在全局规范变换下的无穷小变化（注：题目中 $\theta_{jk}$ 为排版笔误，实际表示场的变分）：

其中 $\theta^a$ 是无穷小变换参数，$(T^a)_{ij}$ 是对称群生成元的矩阵表示。

根据 Noether 定理，对应于参数 $\theta^a$ 的守恒流 $j^{a\mu}$ 由拉格朗日量对场导数的偏导数与场的变分共同决定：

将变分 $\frac{\delta \varphi_i}{\delta \theta^a} = -i (T^a)_{ij} \varphi_j$ 代入上式，得到一般形式的 Noether 流：

对于具有标准动能项 $\mathcal{L} = -\frac{1}{2} \partial_\mu \varphi_i \partial^\mu \varphi_i - V(\varphi)$ 的标量场理论，正则动量为 $\Pi^\mu_i = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \varphi_i)} = -\partial^\mu \varphi_i$。代入后可得具体的 Noether 流表达式：

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b) 证明 $[\varphi_i, Q^a] = (T^a)_{ij} \varphi_j$

Noether 电荷 $Q^a$ 定义为 Noether 流第零分量的全空间积分：

其中 $\Pi_k = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\varphi}_k}$ 是共轭动量。

我们需要计算场算符 $\varphi_i(\mathbf{y})$ 与电荷 $Q^a$ 的等时对易子。利用正则对易关系 $[\varphi_i(\mathbf{y}), \varphi_l(\mathbf{x})] = 0$ 以及 $[\varphi_i(\mathbf{y}), \Pi_k(\mathbf{x})] = i \delta_{ik} \delta^{(3)}(\mathbf{y}-\mathbf{x})$，展开对易子：

将哑指标 $l$ 替换为 $j$，并省去空间坐标标记，即证得：

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c) 证明 $[Q^a, Q^b] = i f^{abc} Q^c$

利用算符 $\varphi_i, Q^a, Q^b$ 的雅可比恒等式 (Jacobi identity)：

将其移项，用以求解 $[\varphi_i, [Q^a, Q^b]]$：

根据 (b) 问的结论 $[\varphi_i, Q^a] = (T^a)_{ij} \varphi_j$，我们同样有 $[Q^b, \varphi_i] = -[\varphi_i, Q^b] = -(T^b)_{ij} \varphi_j$。将这些关系代入等式右侧的两项中：

第一项：

第二项：

将两项相加：

代入题目给定的李代数关系式 (24.7) $[T^a, T^b] = i f^{abc} T^c$：

另一方面，再次利用 (b) 问的结论，我们可以将右侧重写为：

对比等式两端，得到：

由于算符 $([Q^a, Q^b] - i f^{abc} Q^c)$ 与所有的基本场算符 $\varphi_i$（以及同理可证的共轭动量）均对易，在量子场论中，与所有场算符对易的算符必须正比于恒等算符。又因为 Noether 电荷被定义为湮灭真空态（即 $Q^a |0\rangle = 0$），该比例常数必然为零。因此，我们得出结论：

习题 24.4 - 解答

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辛普列克群 $\text{Sp}(2N)$ 的定义条件为 $2N \times 2N$ 的矩阵 $S$ 满足：

将其写为矩阵形式，即为：

其中 $\eta$ 是反对称矩阵（$\eta^T = -\eta$），且满足 $\eta^2 = -I$。

为了求出 $\text{Sp}(2N)$ 群的生成元个数，我们考虑恒等元附近的无穷小变换。设 $S$ 偏离单位阵 $I$ 一个无穷小量：

其中 $\epsilon$ 是无穷小参数，$X$ 是群的生成元矩阵。将该表达式代入定义方程中，保留至 $\epsilon$ 的一阶项：

由此得到生成元 $X$ 必须满足的李代数条件：

为了计算满足该条件的独立参数个数，我们在等式两边同时利用 $\eta$ 的反对称性（$\eta = -\eta^T$）：

令 $Y = X \eta$，上式表明 $Y = Y^T$，即 $Y$ 是一个 $2N \times 2N$ 的对称矩阵。 因为 $\eta$ 是可逆矩阵（$\eta^{-1} = -\eta$），所以 $X$ 与 $Y$ 之间存在一一对应关系（$X = -Y\eta$）。这意味着生成元 $X$ 的独立自由度数目完全等于 $2N \times 2N$ 对称矩阵 $Y$ 的独立分量数目。

对于一个 $2N \times 2N$ 的对称矩阵，其独立分量的个数为：

【分块矩阵视角的验证】 我们也可以通过分块矩阵来显式地计算自由度。将 $2N \times 2N$ 的生成元 $X$ 写成 $N \times N$ 的分块形式：

代入条件 $X \eta + \eta X^T = 0$，并使用给定的 $\eta = \begin{pmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{pmatrix}$：

这给出了以下约束条件：

1. $-B + B^T = 0 \implies B = B^T$ （$B$ 是对称矩阵，有 $\frac{N(N+1)}{2}$ 个独立参数）
2. $C - C^T = 0 \implies C = C^T$ （$C$ 是对称矩阵，有 $\frac{N(N+1)}{2}$ 个独立参数）
3. $A + D^T = 0 \implies D = -A^T$ （$D$ 完全由 $A$ 决定，而 $A$ 是任意的 $N \times N$ 矩阵，有 $N^2$ 个独立参数）

将这些独立参数的个数相加，总生成元个数为：

两种方法结果一致。