习题 27.1 - 解答

在量子场论中，重整化群方程（Renormalization Group Equations, RGEs）描述了理论中的参数（如耦合常数 $\alpha$ 和质量 $m$ ）如何随能标 $\mu$ 的变化而“跑动”。耦合常数的跑动由 $\beta$ 函数决定，而质量的跑动由质量的反常标度维数（anomalous dimension） $\gamma_m$ 决定。

根据重整化群方程的定义，耦合常数 $\alpha(\mu)$ 和跑动质量 $m(\mu)$ 随能标 $\mu$ 的演化方程分别为：

\mu \frac{d\alpha}{d\mu} = \beta(\alpha)

\mu \frac{dm}{d\mu} = \gamma_m(\alpha) m

为了求解质量随能标的演化，我们可以利用链式法则，将对能标 $\mu$ 的导数转化为对耦合常数 $\alpha$ 的导数。由耦合常数的演化方程可得：

d\ln\mu = \frac{d\mu}{\mu} = \frac{d\alpha}{\beta(\alpha)}

将上式代入质量的演化方程中，分离变量可得：

\frac{dm}{m} = \gamma_m(\alpha) \frac{d\mu}{\mu} = \frac{\gamma_m(\alpha)}{\beta(\alpha)} d\alpha

题目给定了在微扰论最低阶近似下的 $\beta$ 函数和反常维数：

\beta(\alpha) = b_1 \alpha^2 + O(\alpha^3)

\gamma_m(\alpha) = c_1 \alpha + O(\alpha^2)

忽略高阶项（即取领头阶近似），我们将这两个表达式代入上述微分方程中：

\frac{dm}{m} = \frac{c_1 \alpha}{b_1 \alpha^2} d\alpha = \frac{c_1}{b_1} \frac{d\alpha}{\alpha}

现在，对等式两边在能标从 $\mu_1$ 到 $\mu_2$ 的区间内进行积分。对应的质量从 $m(\mu_1)$ 演化到 $m(\mu_2)$ ，耦合常数从 $\alpha(\mu_1)$ 演化到 $\alpha(\mu_2)$ ：

\int_{m(\mu_1)}^{m(\mu_2)} \frac{dm}{m} = \frac{c_1}{b_1} \int_{\alpha(\mu_1)}^{\alpha(\mu_2)} \frac{d\alpha}{\alpha}

计算积分得到：

\ln m(\mu_2) - \ln m(\mu_1) = \frac{c_1}{b_1} \left[ \ln \alpha(\mu_2) - \ln \alpha(\mu_1) \right]

\ln \left[ \frac{m(\mu_2)}{m(\mu_1)} \right] = \frac{c_1}{b_1} \ln \left[ \frac{\alpha(\mu_2)}{\alpha(\mu_1)} \right]

利用对数的性质，将系数移入对数内部作为指数：

\ln \left[ \frac{m(\mu_2)}{m(\mu_1)} \right] = \ln \left( \left[ \frac{\alpha(\mu_2)}{\alpha(\mu_1)} \right]^{c_1/b_1} \right)

对等式两边同时取指数，即可得到跑动质量在两个不同能标之间的关系：

\frac{m(\mu_2)}{m(\mu_1)} = \left[ \frac{\alpha(\mu_2)}{\alpha(\mu_1)} \right]^{c_1/b_1}

整理后即得最终结果：

\boxed{ m(\mu_2) = \left[ \frac{\alpha(\mu_2)}{\alpha(\mu_1)} \right]^{c_1/b_1} m(\mu_1) }

Problem 27.1

习题 27.1

习题 27.1 - 解答