习题 29.1 - 解答

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习题分析与物理背景

在量子场论中，重整化群方程（Renormalization Group Equation, RGE）描述了耦合常数随能标 $\mu$ 的跑动，其变化率由 $\beta$ 函数决定：$\beta(g) = \frac{dg}{d\ln\mu}$。由于重整化方案（如 MS, $\overline{\text{MS}}$, 动量减除等）的选择不是唯一的，不同方案下定义的耦合常数之间可以通过微扰级数相互转换。

本题旨在探讨 $\beta$ 函数的微扰展开系数在耦合常数重新定义（即改变重整化方案）时的变换性质。我们将证明：对于单耦合常数理论，$\beta$ 函数的前两阶（单圈和双圈）系数是方案无关的（普遍的）；而对于多耦合常数理论，只有单圈系数是方案无关的，双圈系数在一般情况下会发生改变。

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(a) 单耦合常数情况的推导

已知原耦合常数 $g$ 的 $\beta$ 函数展开为： $\beta(g) = \frac{dg}{d\ln\mu} = b_1 g^2 + b_2 g^3 + \mathcal{O}(g^4)$ 新定义的耦合常数 $\tilde{g}$ 与 $g$ 的关系为： $\tilde{g} = g + c_2 g^2 + c_3 g^3 + \mathcal{O}(g^4)$

我们需要计算新耦合常数的 $\beta$ 函数 $\beta(\tilde{g}) = \frac{d\tilde{g}}{d\ln\mu}$。利用链式法则： $\beta(\tilde{g}) = \frac{d\tilde{g}}{dg} \frac{dg}{d\ln\mu} = \frac{d\tilde{g}}{dg} \beta(g)$

首先计算导数 $\frac{d\tilde{g}}{dg}$： $\frac{d\tilde{g}}{dg} = 1 + 2c_2 g + 3c_3 g^2 + \mathcal{O}(g^3)$

将其与 $\beta(g)$ 相乘，保留至 $\mathcal{O}(g^3)$ 项： $\beta(\tilde{g}) = \left( 1 + 2c_2 g + \mathcal{O}(g^2) \right) \left( b_1 g^2 + b_2 g^3 + \mathcal{O}(g^4) \right)$ $\beta(\tilde{g}) = b_1 g^2 + (b_2 + 2c_2 b_1) g^3 + \mathcal{O}(g^4)$

为了得到以 $\tilde{g}$ 表示的 $\beta$ 函数，我们需要将上式中的 $g$ 替换为 $\tilde{g}$。通过反演级数 $\tilde{g} = g + c_2 g^2 + \mathcal{O}(g^3)$，可以得到： $g = \tilde{g} - c_2 g^2 + \mathcal{O}(g^3) = \tilde{g} - c_2 \tilde{g}^2 + \mathcal{O}(\tilde{g}^3)$

计算 $g^2$ 和 $g^3$ 的展开式： $g^2 = (\tilde{g} - c_2 \tilde{g}^2)^2 = \tilde{g}^2 - 2c_2 \tilde{g}^3 + \mathcal{O}(\tilde{g}^4)$ $g^3 = \tilde{g}^3 + \mathcal{O}(\tilde{g}^4)$

将这些代入 $\beta(\tilde{g})$ 的表达式中： $\beta(\tilde{g}) = b_1 \left( \tilde{g}^2 - 2c_2 \tilde{g}^3 \right) + (b_2 + 2c_2 b_1) \tilde{g}^3 + \mathcal{O}(\tilde{g}^4)$ $\beta(\tilde{g}) = b_1 \tilde{g}^2 - 2c_2 b_1 \tilde{g}^3 + b_2 \tilde{g}^3 + 2c_2 b_1 \tilde{g}^3 + \mathcal{O}(\tilde{g}^4)$

交叉项 $-2c_2 b_1 \tilde{g}^3$ 与 $+2c_2 b_1 \tilde{g}^3$ 恰好抵消，最终得到： $\boxed{ \beta(\tilde{g}) = b_1 \tilde{g}^2 + b_2 \tilde{g}^3 + \mathcal{O}(\tilde{g}^4) }$ 这证明了单耦合常数理论中，$\beta$ 函数的单圈系数 $b_1$ 和双圈系数 $b_2$ 在耦合常数的重新定义下保持不变。

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(b) 多耦合常数情况的推广

设理论中有多个无量纲耦合常数 $g_i$，其 $\beta$ 函数可以按耦合常数的齐次多项式展开： $\beta_i(g) = \frac{dg_i}{d\ln\mu} = b_i^{(2)}(g) + b_i^{(3)}(g) + \mathcal{O}(g^4)$ 其中 $b_i^{(n)}(g)$ 是关于耦合常数 $g_j$ 的 $n$ 次齐次多项式。

考虑耦合常数的重新定义： $\tilde{g}_i = g_i + c_i^{(2)}(g) + \mathcal{O}(g^3)$ 同样利用多变量的链式法则计算新的 $\beta$ 函数： $\tilde{\beta}_i(\tilde{g}) = \frac{d\tilde{g}_i}{d\ln\mu} = \sum_j \frac{\partial \tilde{g}_i}{\partial g_j} \beta_j(g)$

计算雅可比矩阵： $\frac{\partial \tilde{g}_i}{\partial g_j} = \delta_{ij} + \frac{\partial c_i^{(2)}(g)}{\partial g_j} + \mathcal{O}(g^2)$

代入 $\beta_j(g)$ 并展开至三阶项： $\tilde{\beta}_i(\tilde{g}) = \sum_j \left( \delta_{ij} + \frac{\partial c_i^{(2)}(g)}{\partial g_j} \right) \left( b_j^{(2)}(g) + b_j^{(3)}(g) \right) + \mathcal{O}(g^4)$ $\tilde{\beta}_i(\tilde{g}) = b_i^{(2)}(g) + b_i^{(3)}(g) + \sum_j \frac{\partial c_i^{(2)}(g)}{\partial g_j} b_j^{(2)}(g) + \mathcal{O}(g^4)$

反演耦合常数关系得到 $g_i = \tilde{g}_i - c_i^{(2)}(\tilde{g}) + \mathcal{O}(\tilde{g}^3)$。将其代入上式，并对 $b_i^{(2)}(g)$ 进行泰勒展开： $b_i^{(2)}(g) = b_i^{(2)}(\tilde{g} - c^{(2)}(\tilde{g})) = b_i^{(2)}(\tilde{g}) - \sum_j \frac{\partial b_i^{(2)}(\tilde{g})}{\partial \tilde{g}_j} c_j^{(2)}(\tilde{g}) + \mathcal{O}(\tilde{g}^4)$

对于三阶项，直接将 $g$ 替换为 $\tilde{g}$ 即可（因为差异在四阶及以上）： $b_i^{(3)}(g) = b_i^{(3)}(\tilde{g}) + \mathcal{O}(\tilde{g}^4)$ $\sum_j \frac{\partial c_i^{(2)}(g)}{\partial g_j} b_j^{(2)}(g) = \sum_j \frac{\partial c_i^{(2)}(\tilde{g})}{\partial \tilde{g}_j} b_j^{(2)}(\tilde{g}) + \mathcal{O}(\tilde{g}^4)$

将所有项组合起来，得到新耦合常数的 $\beta$ 函数： $\tilde{\beta}_i(\tilde{g}) = b_i^{(2)}(\tilde{g}) + b_i^{(3)}(\tilde{g}) + \sum_j \left( \frac{\partial c_i^{(2)}(\tilde{g})}{\partial \tilde{g}_j} b_j^{(2)}(\tilde{g}) - \frac{\partial b_i^{(2)}(\tilde{g})}{\partial \tilde{g}_j} c_j^{(2)}(\tilde{g}) \right) + \mathcal{O}(\tilde{g}^4)$

若记 $\tilde{\beta}_i(\tilde{g}) = \tilde{b}_i^{(2)}(\tilde{g}) + \tilde{b}_i^{(3)}(\tilde{g}) + \dots$，我们可以提取出各阶系数的变换关系： $\boxed{ \begin{aligned} \tilde{b}_i^{(2)}(\tilde{g}) &= b_i^{(2)}(\tilde{g}) \\ \tilde{b}_i^{(3)}(\tilde{g}) &= b_i^{(3)}(\tilde{g}) + \sum_j \left( \frac{\partial c_i^{(2)}(\tilde{g})}{\partial \tilde{g}_j} b_j^{(2)}(\tilde{g}) - \frac{\partial b_i^{(2)}(\tilde{g})}{\partial \tilde{g}_j} c_j^{(2)}(\tilde{g}) \right) \end{aligned} }$

物理结论： 在多耦合常数理论中，单圈 $\beta$ 函数系数 $\tilde{b}_i^{(2)}$ 依然是方案无关的。然而，双圈系数 $\tilde{b}_i^{(3)}$ 发生了一个修正，该修正项在数学上对应于向量场 $c^{(2)}$ 和 $b^{(2)}$ 的李括号 (Lie bracket) $[c^{(2)}, b^{(2)}]_i$。 在单耦合常数情况下，由于一维空间中任意两个同阶齐次多项式的李括号恒为零，双圈系数保持不变；但在多耦合常数情况下，该李括号一般不为零。因此，多耦合常数理论的双圈 $\beta$ 函数系数通常是依赖于重整化方案的。

习题 29.2 - 解答

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a) 在 Wilsonian 有效作用量的框架下，我们通过积分掉动量壳层 $\Lambda \le \ell \le \Lambda_0$ 内的高频模式来得到标度 $\Lambda$ 处的有效作用量。高频模式的树图传播子为 $\tilde{\Delta}(\ell) = \frac{1}{Z(\Lambda_0) \ell^2}$，相互作用顶点为 $-Z^{3/2}(\Lambda_0) g(\Lambda_0)$。

对于两点顶点函数 $\Gamma^{(2)}(k)$，单圈修正来自包含两个顶点的泡泡图（对称因子 $S=1/2$）：

标度 $\Lambda$ 处的波函数重整化 $Z(\Lambda)$ 定义为 $\Gamma^{(2)}(k)$ 在 $k^2=0$ 处的导数：

这证明了第一个等式。

对于三点顶点函数 $\Gamma^{(3)}(k_1, k_2, k_3)$，在零外动量处的单圈修正来自包含三个顶点的三角图（对称因子 $S=1$）：

有效顶点被识别为 $-Z^{3/2}(\Lambda) g(\Lambda)$，因此：

两边同除以 $-Z^{3/2}(\Lambda)$，得到：

这证明了第二个等式。

b) 首先计算 a) 中的动量壳层积分。在 6 维欧几里得空间中，立体角为 $\Omega_6 = \frac{2\pi^3}{\Gamma(3)} = \pi^3$。 对于 $Z(\Lambda)$ 中的积分，将被积函数在 $k \to 0$ 处展开：

利用 6 维对称积分公式 $\int d^6 \ell \frac{(k\cdot\ell)^2}{\ell^8} = \frac{k^2}{6} \int d^6 \ell \frac{1}{\ell^6}$，被积函数中正比于 $k^2$ 的项为：

因此，对 $k^2$ 的导数为：

计算该对数发散积分：

代入 $Z(\Lambda)$ 的表达式中：

对于 $g(\Lambda)$ 中的积分，结果相同：

将 $Z(\Lambda)$ 的结果代入 $g(\Lambda)$ 的表达式中。利用展开式 $\left( \frac{Z(\Lambda_0)}{Z(\Lambda)} \right)^{3/2} \approx 1 - \frac{3}{2} \frac{g^2(\Lambda_0)}{384\pi^3} \ln \frac{\Lambda_0}{\Lambda} = 1 - \frac{g^2(\Lambda_0)}{256\pi^3} \ln \frac{\Lambda_0}{\Lambda}$，我们得到：

现在计算 beta 函数 $\beta(g(\Lambda)) \equiv \frac{d}{d \ln \Lambda} g(\Lambda)$。由于 $\ln \frac{\Lambda_0}{\Lambda} = \ln \Lambda_0 - \ln \Lambda$，对 $\ln \Lambda$ 求导会产生一个负号：

在单圈领头阶近似下，我们可以将 $g(\Lambda_0)$ 替换为跑动耦合常数 $g(\Lambda)$，得到最终的 beta 函数：

在第 27 章中，使用维度正规化和 $\overline{\text{MS}}$ 方案计算得到的 6 维 $\varphi^3$ 理论的 beta 函数为 $\beta(g) = - \frac{3 g^3}{4(4\pi)^3}$。由于 $4(4\pi)^3 = 4 \times 64\pi^3 = 256\pi^3$，这两种不同重整化方案（Wilsonian 动量截断与维度正规化）给出的单圈 beta 函数结果完全一致。