Gauge Field Notes
37.1

Problem 37.1

srednickiChapter 37

习题 37.1

来源: 第37章, PDF第239页

37.1 Verify that eqs. (37.13) and (37.14) follow from eqs. (37.4) and (37.5).

Referenced Equations:

Equation (37.13):

{Ψα(x,t),Ψβ(y,t)}=0 ,(37.13)\{\Psi_{\alpha}(\mathbf{x}, t), \Psi_{\beta}(\mathbf{y}, t)\} = 0 \, , \tag{37.13}

Equation (37.14):

{Ψα(x,t),Ψ‾β(y,t)}=(γ0)αβ δ3(x−y) ,(37.14)\{\Psi_{\alpha}(\mathbf{x}, t), \overline{\Psi}_{\beta}(\mathbf{y}, t)\} = (\gamma^0)_{\alpha \beta} \, \delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y}) \, , \tag{37.14}

Equation (37.4):

{ψa(x,t),ψc(y,t)}=0,(37.4)\{\psi_a(\mathbf{x}, t), \psi_c(\mathbf{y}, t)\} = 0 , \tag{37.4}

Equation (37.5):

{ψa(x,t),πc(y,t)}=iδacδ3(x−y).(37.5)\{\psi_a(\mathbf{x}, t), \pi^c(\mathbf{y}, t)\} = i\delta_a{}^c \delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y}) . \tag{37.5}

习题 37.1 - 解答

物理背景与习题分析

在正则量子化框架下，费米子场 ψa\psi_a 及其共轭动量 πc\pi^c 满足基本的等时正则反对易关系，即题目中给出的式 (37.4) 和 (37.5)：

{ψa(x,t),ψc(y,t)}=0(37.4)\{\psi_a(\mathbf{x}, t), \psi_c(\mathbf{y}, t)\} = 0 \tag{37.4}
{ψa(x,t),πc(y,t)}=iδacδ3(x−y)(37.5)\{\psi_a(\mathbf{x}, t), \pi^c(\mathbf{y}, t)\} = i\delta_a{}^c \delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y}) \tag{37.5}

对于狄拉克场 Ψ\Psi，其拉格朗日密度为：

L=Ψ‾(iγμ∂μ−m)Ψ\mathcal{L} = \overline{\Psi}(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\Psi

其中狄拉克伴随场定义为 Ψ‾=Ψ†γ0\overline{\Psi} = \Psi^\dagger \gamma^0。将拉格朗日密度中的时间导数项展开，可得：

L=Ψ†γ0(iγ0∂0+iγi∂i−m)Ψ=iΨ†Ψ˙+…\mathcal{L} = \Psi^\dagger \gamma^0 (i\gamma^0 \partial_0 + i\gamma^i \partial_i - m)\Psi = i \Psi^\dagger \dot{\Psi} + \dots

由此可以求出狄拉克场分量 Ψα\Psi_\alpha 对应的正则共轭动量 πα\pi^\alpha：

πα=∂L∂Ψ˙α=i(Ψ†)α\pi^\alpha = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\Psi}_\alpha} = i (\Psi^\dagger)_\alpha

接下来，我们将通用费米子场的指标 a,ca, c 替换为狄拉克场的旋量指标 α,β,ρ\alpha, \beta, \rho，并利用上述共轭动量的具体形式来推导式 (37.13) 和 (37.14)。

验证式 (37.13)

式 (37.13) 描述的是狄拉克场分量之间的等时反对易关系。将式 (37.4) 中的通用场 ψ\psi 直接等同于狄拉克场 Ψ\Psi，并将指标 a,ca, c 替换为 α,β\alpha, \beta，我们立刻得到：

{Ψα(x,t),Ψβ(y,t)}=0(37.13)\boxed{ \{\Psi_{\alpha}(\mathbf{x}, t), \Psi_{\beta}(\mathbf{y}, t)\} = 0 } \tag{37.13}

这表明式 (37.13) 是式 (37.4) 的直接推论。

验证式 (37.14)

我们需要计算狄拉克场 Ψα\Psi_\alpha 与其伴随场 Ψ‾β\overline{\Psi}_\beta 的反对易子。首先，将伴随场 Ψ‾β\overline{\Psi}_\beta 用共轭动量 πρ\pi^\rho 表示出来。

根据定义 Ψ‾=Ψ†γ0\overline{\Psi} = \Psi^\dagger \gamma^0，写成分量形式为：

Ψ‾β=(Ψ†)ρ(γ0)ρβ\overline{\Psi}_\beta = (\Psi^\dagger)_\rho (\gamma^0)_{\rho \beta}

由前面求得的共轭动量关系 πρ=i(Ψ†)ρ\pi^\rho = i (\Psi^\dagger)_\rho，可以反解出厄米共轭场：

(Ψ†)ρ=−iπρ(\Psi^\dagger)_\rho = -i \pi^\rho

将其代入 Ψ‾β\overline{\Psi}_\beta 的表达式中，得到：

Ψ‾β=−iπρ(γ0)ρβ\overline{\Psi}_\beta = -i \pi^\rho (\gamma^0)_{\rho \beta}

现在，计算等时反对易子 {Ψα(x,t),Ψ‾β(y,t)}\{\Psi_{\alpha}(\mathbf{x}, t), \overline{\Psi}_{\beta}(\mathbf{y}, t)\}。将上式代入反对易子中：

{Ψα(x,t),Ψ‾β(y,t)}={Ψα(x,t),−iπρ(y,t)(γ0)ρβ}\{\Psi_{\alpha}(\mathbf{x}, t), \overline{\Psi}_{\beta}(\mathbf{y}, t)\} = \{\Psi_{\alpha}(\mathbf{x}, t), -i \pi^\rho(\mathbf{y}, t) (\gamma^0)_{\rho \beta}\}

由于 −i(γ0)ρβ-i (\gamma^0)_{\rho \beta} 是不含场算符的复数矩阵元，可以将其提取到反对易子外部：

{Ψα(x,t),Ψ‾β(y,t)}=−i(γ0)ρβ{Ψα(x,t),πρ(y,t)}\{\Psi_{\alpha}(\mathbf{x}, t), \overline{\Psi}_{\beta}(\mathbf{y}, t)\} = -i (\gamma^0)_{\rho \beta} \{\Psi_{\alpha}(\mathbf{x}, t), \pi^\rho(\mathbf{y}, t)\}

根据式 (37.5) 的基本正则反对易关系，我们有 {Ψα(x,t),πρ(y,t)}=iδαρδ3(x−y)\{\Psi_{\alpha}(\mathbf{x}, t), \pi^\rho(\mathbf{y}, t)\} = i\delta_\alpha{}^\rho \delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y})。将其代入上式：

{Ψα(x,t),Ψ‾β(y,t)}=−i(γ0)ρβ[iδαρδ3(x−y)]\{\Psi_{\alpha}(\mathbf{x}, t), \overline{\Psi}_{\beta}(\mathbf{y}, t)\} = -i (\gamma^0)_{\rho \beta} \left[ i\delta_\alpha{}^\rho \delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y}) \right]

化简常数因子 −i×i=1-i \times i = 1，并利用克罗内克 δ\delta 符号对指标 ρ\rho 求和（即 ρ=α\rho = \alpha）：

{Ψα(x,t),Ψ‾β(y,t)}=(γ0)αβδ3(x−y)\{\Psi_{\alpha}(\mathbf{x}, t), \overline{\Psi}_{\beta}(\mathbf{y}, t)\} = (\gamma^0)_{\alpha \beta} \delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y})

至此，我们成功推导出了式 (37.14)：

{Ψα(x,t),Ψ‾β(y,t)}=(γ0)αβ δ3(x−y)(37.14)\boxed{ \{\Psi_{\alpha}(\mathbf{x}, t), \overline{\Psi}_{\beta}(\mathbf{y}, t)\} = (\gamma^0)_{\alpha \beta} \, \delta^3(\mathbf{x} - \mathbf{y}) } \tag{37.14}