习题 40.1 - 解答

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为了分析双线性型 $T^{\mu\nu} = \overline{\Psi} S^{\mu\nu} \Psi$ 和 $\tilde{T}^{\mu\nu} = \overline{\Psi} i S^{\mu\nu} \gamma_5 \Psi$ 在分立对称性 $P$、$T$、$C$ 下的变换性质，我们首先明确相关算符和矩阵的定义与约定。

洛伦兹群生成元的旋量表示为 $S^{\mu\nu} = \frac{i}{4}[\gamma^\mu, \gamma^\nu]$。手征矩阵定义为 $\gamma_5 = i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$，满足 $\{\gamma_5, \gamma^\mu\} = 0$ 且 $[\gamma_5, S^{\mu\nu}] = 0$。 定义空间反演矩阵 $\mathcal{P}^\mu_{\;\;\nu} = \text{diag}(1, -1, -1, -1)$，使得 $x_P = (t, -\mathbf{x}) = \mathcal{P}x$，以及 $x_T = (-t, \mathbf{x}) = -\mathcal{P}x$。

1. 宇称变换 (Parity, $P$)

在宇称变换下，狄拉克场及其伴随场的变换为： $\Psi(x) \xrightarrow{P} \gamma^0 \Psi(x_P), \quad \overline{\Psi}(x) \xrightarrow{P} \overline{\Psi}(x_P) \gamma^0$ 对于任意双线性型 $\overline{\Psi} \Gamma \Psi$，其变换由 $\gamma^0 \Gamma \gamma^0$ 决定。 利用 $\gamma^0 \gamma^\mu \gamma^0 = \mathcal{P}^\mu_{\;\;\alpha} \gamma^\alpha$，我们有： $\gamma^0 S^{\mu\nu} \gamma^0 = \frac{i}{4} [\gamma^0 \gamma^\mu \gamma^0, \gamma^0 \gamma^\nu \gamma^0] = \mathcal{P}^\mu_{\;\;\alpha} \mathcal{P}^\nu_{\;\;\beta} S^{\alpha\beta}$ 由于 $\gamma^0 \gamma_5 \gamma^0 = -\gamma_5$，对于包含 $\gamma_5$ 的项： $\gamma^0 (i S^{\mu\nu} \gamma_5) \gamma^0 = i (\gamma^0 S^{\mu\nu} \gamma^0) (\gamma^0 \gamma_5 \gamma^0) = -\mathcal{P}^\mu_{\;\;\alpha} \mathcal{P}^\nu_{\;\;\beta} (i S^{\alpha\beta} \gamma_5)$ 因此，在 $P$ 变换下： $\boxed{ \overline{\Psi} S^{\mu\nu} \Psi \xrightarrow{P} \mathcal{P}^\mu_{\;\;\alpha} \mathcal{P}^\nu_{\;\;\beta} \overline{\Psi} S^{\alpha\beta} \Psi |_{x_P} }$ $\boxed{ \overline{\Psi} i S^{\mu\nu} \gamma_5 \Psi \xrightarrow{P} -\mathcal{P}^\mu_{\;\;\alpha} \mathcal{P}^\nu_{\;\;\beta} \overline{\Psi} i S^{\alpha\beta} \gamma_5 \Psi |_{x_P} }$ 这表明 $T^{\mu\nu}$ 是一个赝张量（或称正常张量），而 $\tilde{T}^{\mu\nu}$ 具有额外的负号。

2. 时间反演变换 (Time Reversal, $T$)

时间反演算符是反幺正的（包含复共轭）。场的变换为： $\Psi(x) \xrightarrow{T} \mathcal{T} \Psi(x_T), \quad \overline{\Psi}(x) \xrightarrow{T} \overline{\Psi}(x_T) \gamma^0 \mathcal{T}^{-1} \gamma^0$ 其中 $\mathcal{T}$ 满足 $\mathcal{T}^{-1} (\gamma^\mu)^* \mathcal{T} = \mathcal{P}^\mu_{\;\;\alpha} \gamma^\alpha$。由于 $[\gamma^0, \mathcal{T}] = 0$，双线性型的变换矩阵为 $\mathcal{T}^{-1} \Gamma^* \mathcal{T}$。 对于 $S^{\mu\nu}$： $\mathcal{T}^{-1} (S^{\mu\nu})^* \mathcal{T} = -\frac{i}{4} [\mathcal{T}^{-1} (\gamma^\mu)^* \mathcal{T}, \mathcal{T}^{-1} (\gamma^\nu)^* \mathcal{T}] = -\mathcal{P}^\mu_{\;\;\alpha} \mathcal{P}^\nu_{\;\;\beta} S^{\alpha\beta}$ 对于 $i S^{\mu\nu} \gamma_5$，注意到在标准表示中 $\gamma_5^* = \gamma_5$ 且 $[\mathcal{T}, \gamma_5] = 0$，故 $\mathcal{T}^{-1} \gamma_5^* \mathcal{T} = \gamma_5$。同时复共轭会使 $i \to -i$： $\mathcal{T}^{-1} (i S^{\mu\nu} \gamma_5)^* \mathcal{T} = -i (-\mathcal{P}^\mu_{\;\;\alpha} \mathcal{P}^\nu_{\;\;\beta} S^{\alpha\beta}) \gamma_5 = \mathcal{P}^\mu_{\;\;\alpha} \mathcal{P}^\nu_{\;\;\beta} (i S^{\alpha\beta} \gamma_5)$ 因此，在 $T$ 变换下： $\boxed{ \overline{\Psi} S^{\mu\nu} \Psi \xrightarrow{T} -\mathcal{P}^\mu_{\;\;\alpha} \mathcal{P}^\nu_{\;\;\beta} \overline{\Psi} S^{\alpha\beta} \Psi |_{x_T} }$ $\boxed{ \overline{\Psi} i S^{\mu\nu} \gamma_5 \Psi \xrightarrow{T} \mathcal{P}^\mu_{\;\;\alpha} \mathcal{P}^\nu_{\;\;\beta} \overline{\Psi} i S^{\alpha\beta} \gamma_5 \Psi |_{x_T} }$

3. 电荷共轭变换 (Charge Conjugation, $C$)

在电荷共轭下，$\Psi \xrightarrow{C} C \overline{\Psi}^T$，$\overline{\Psi} \xrightarrow{C} -\Psi^T C^{-1}$。利用费米子场的反对易性，双线性型的变换为： $\overline{\Psi} \Gamma \Psi \xrightarrow{C} -\Psi^T C^{-1} \Gamma C \overline{\Psi}^T = \overline{\Psi} (C^{-1} \Gamma C)^T \Psi$ 已知 $C^{-1} \gamma^\mu C = -(\gamma^\mu)^T$ 且 $C^{-1} \gamma_5 C = \gamma_5^T = \gamma_5$。 对于 $S^{\mu\nu}$： $C^{-1} S^{\mu\nu} C = \frac{i}{4} [-(\gamma^\mu)^T, -(\gamma^\nu)^T] = \frac{i}{4} [\gamma^\mu, \gamma^\nu]^T = -(S^{\mu\nu})^T$ 取转置后得到 $(C^{-1} S^{\mu\nu} C)^T = -S^{\mu\nu}$。 对于 $i S^{\mu\nu} \gamma_5$： $C^{-1} (i S^{\mu\nu} \gamma_5) C = i (-(S^{\mu\nu})^T) \gamma_5^T = -i (\gamma_5 S^{\mu\nu})^T = -i (S^{\mu\nu} \gamma_5)^T$ 取转置后得到 $(C^{-1} i S^{\mu\nu} \gamma_5 C)^T = -i S^{\mu\nu} \gamma_5$。 因此，在 $C$ 变换下，两者均获得一个负号： $\boxed{ \overline{\Psi} S^{\mu\nu} \Psi \xrightarrow{C} -\overline{\Psi} S^{\mu\nu} \Psi }$ $\boxed{ \overline{\Psi} i S^{\mu\nu} \gamma_5 \Psi \xrightarrow{C} -\overline{\Psi} i S^{\mu\nu} \gamma_5 \Psi }$

4. 验证 $CPT$ 偶性 (Even under $CPT$)

将 $P$、$T$、$C$ 变换依次作用于这两个张量。注意坐标变换为 $x \xrightarrow{P} x_P \xrightarrow{T} -x \xrightarrow{C} -x$。 对于 $T^{\mu\nu}(x) = \overline{\Psi} S^{\mu\nu} \Psi$： $T^{\mu\nu}(x) \xrightarrow{P,T} -\mathcal{P}^\mu_{\;\;\alpha} \mathcal{P}^\nu_{\;\;\beta} \mathcal{P}^\alpha_{\;\;\rho} \mathcal{P}^\beta_{\;\;\sigma} T^{\rho\sigma}(-x) = -T^{\mu\nu}(-x) \xrightarrow{C} -(-T^{\mu\nu}(-x)) = T^{\mu\nu}(-x)$ 对于 $\tilde{T}^{\mu\nu}(x) = \overline{\Psi} i S^{\mu\nu} \gamma_5 \Psi$： $\tilde{T}^{\mu\nu}(x) \xrightarrow{P,T} -\mathcal{P}^\mu_{\;\;\alpha} \mathcal{P}^\nu_{\;\;\beta} \mathcal{P}^\alpha_{\;\;\rho} \mathcal{P}^\beta_{\;\;\sigma} \tilde{T}^{\rho\sigma}(-x) = -\tilde{T}^{\mu\nu}(-x) \xrightarrow{C} -(-\tilde{T}^{\mu\nu}(-x)) = \tilde{T}^{\mu\nu}(-x)$ 根据量子场论中的定义，一个秩为 $n$ 的张量算符 $O^{\mu_1 \dots \mu_n}$ 如果在 $CPT$ 下变换为 $(-1)^n O^{\mu_1 \dots \mu_n}(-x)$，则称其在 $CPT$ 下是偶的 (even)。这里 $n=2$，$(-1)^2 = 1$。 $\boxed{ \text{两者在 } CPT \text{ 变换下均变为自身（坐标反号），因此在 } CPT \text{ 下都是偶的 (even)。} }$

5. 马约拉纳场 (Majorana Field) 的情况

马约拉纳场满足其自身等于其电荷共轭场，即 $\Psi = \Psi^C$。 这意味着对于马约拉纳场，任何双线性型必须等于其在 $C$ 变换下的结果。 根据第3部分的推导，我们已经证明了这两个双线性型在 $C$ 变换下都是奇的 (odd)： $\overline{\Psi} S^{\mu\nu} \Psi = \left( \overline{\Psi} S^{\mu\nu} \Psi \right)^C = -\overline{\Psi} S^{\mu\nu} \Psi \implies \overline{\Psi} S^{\mu\nu} \Psi = 0$ $\overline{\Psi} i S^{\mu\nu} \gamma_5 \Psi = \left( \overline{\Psi} i S^{\mu\nu} \gamma_5 \Psi \right)^C = -\overline{\Psi} i S^{\mu\nu} \gamma_5 \Psi \implies \overline{\Psi} i S^{\mu\nu} \gamma_5 \Psi = 0$ $\boxed{ \text{如果 } \Psi \text{ 是马约拉纳场，这两个双线性型 } \overline{\Psi} S^{\mu\nu} \Psi \text{ 和 } \overline{\Psi} i S^{\mu\nu} \gamma_5 \Psi \text{ 均严格为零。} }$