习题 45.1 - 解答

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为了使理论在宇称（$P$）、时间反演（$T$）和电荷共轭（$C$）变换下保持对称，作用量 $S = \int d^4x \mathcal{L}$ 必须是不变的。这意味着相互作用拉格朗日密度 $\mathcal{L}_1(x)$ 必须满足以下变换性质： $P \mathcal{L}_1(t, \mathbf{x}) P^{-1} = \mathcal{L}_1(t, -\mathbf{x})$ $T \mathcal{L}_1(t, \mathbf{x}) T^{-1} = \mathcal{L}_1(-t, \mathbf{x})$ $C \mathcal{L}_1(x) C^{-1} = \mathcal{L}_1(x)$

在分析标量场 $\varphi(x)$ 的变换之前，我们先简要回顾狄拉克双线性型 $S(x) = \overline{\Psi}\Psi$ 和 $P(x) = i\overline{\Psi}\gamma_5\Psi$ 在离散对称性下的变换规律。

• 宇称 ($P$)：$P \Psi(t, \mathbf{x}) P^{-1} = \gamma^0 \Psi(t, -\mathbf{x})$。 $P (\overline{\Psi}\Psi) P^{-1} = \overline{\Psi}\gamma^0 \gamma^0 \Psi = \overline{\Psi}\Psi$ $P (i\overline{\Psi}\gamma_5\Psi) P^{-1} = i\overline{\Psi}\gamma^0 \gamma_5 \gamma^0 \Psi = -i\overline{\Psi}\gamma_5\Psi$
• 时间反演 ($T$)：$T \Psi(t, \mathbf{x}) T^{-1} = \mathcal{T} \Psi(-t, \mathbf{x})$，其中 $\mathcal{T}$ 是满足 $\mathcal{T}^{-1}\gamma^\mu \mathcal{T} = (\gamma^\mu)^*$ 的矩阵。注意 $T$ 是反幺正算符（$T i T^{-1} = -i$）。由于 $\mathcal{T}$ 由两个伽马矩阵的乘积构成，它与 $\gamma_5$ 对易，且在标准表象下 $\gamma_5^* = \gamma_5$。 $T (\overline{\Psi}\Psi) T^{-1} = \overline{\Psi}\mathcal{T}^{-1}\mathcal{T}\Psi = \overline{\Psi}\Psi$ $T (i\overline{\Psi}\gamma_5\Psi) T^{-1} = -i \overline{\Psi}\mathcal{T}^{-1}\gamma_5^* \mathcal{T}\Psi = -i\overline{\Psi}\gamma_5\Psi$
• 电荷共轭 ($C$)：$C \Psi C^{-1} = \mathcal{C} \overline{\Psi}^T$，其中 $\mathcal{C}^{-1}\gamma^\mu \mathcal{C} = -(\gamma^\mu)^T$ 且 $\mathcal{C}^{-1}\gamma_5 \mathcal{C} = \gamma_5^T$。利用费米子反交换律： $C (\overline{\Psi}\Psi) C^{-1} = -\Psi^T \mathcal{C}^{-1}\mathcal{C}\overline{\Psi}^T = \overline{\Psi}\Psi$ $C (i\overline{\Psi}\gamma_5\Psi) C^{-1} = -i\Psi^T \mathcal{C}^{-1}\gamma_5 \mathcal{C}\overline{\Psi}^T = -i\Psi^T \gamma_5^T \overline{\Psi}^T = i\overline{\Psi}\gamma_5\Psi$

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a) 对于相互作用 $\mathcal{L}_1 = g \varphi \overline{\Psi} \Psi$

这里 $\mathcal{L}_1(x) = g \varphi(x) S(x)$。根据上述 $S(x)$ 的变换性质，我们逐一推导 $\varphi(x)$ 的变换要求：

1. 宇称 ($P$)： $P \mathcal{L}_1(t, \mathbf{x}) P^{-1} = g (P \varphi(t, \mathbf{x}) P^{-1}) S(t, -\mathbf{x})$ 为使其等于 $\mathcal{L}_1(t, -\mathbf{x}) = g \varphi(t, -\mathbf{x}) S(t, -\mathbf{x})$，必须有： $P \varphi(t, \mathbf{x}) P^{-1} = \varphi(t, -\mathbf{x})$

2. 时间反演 ($T$)： $T \mathcal{L}_1(t, \mathbf{x}) T^{-1} = g (T \varphi(t, \mathbf{x}) T^{-1}) S(-t, \mathbf{x})$ 为使其等于 $\mathcal{L}_1(-t, \mathbf{x}) = g \varphi(-t, \mathbf{x}) S(-t, \mathbf{x})$，必须有： $T \varphi(t, \mathbf{x}) T^{-1} = \varphi(-t, \mathbf{x})$

3. 电荷共轭 ($C$)： $C \mathcal{L}_1(x) C^{-1} = g (C \varphi(x) C^{-1}) S(x)$ 为使其等于 $\mathcal{L}_1(x) = g \varphi(x) S(x)$，必须有： $C \varphi(x) C^{-1} = \varphi(x)$

结论：$\varphi(x)$ 必须是一个标量场 (Scalar field)，在 $P, T, C$ 变换下均为偶（$+1$）。

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b) 对于相互作用 $\mathcal{L}_1 = i g \varphi \overline{\Psi} \gamma_5 \Psi$

这里 $\mathcal{L}_1(x) = g \varphi(x) P(x)$。根据上述 $P(x)$ 的变换性质，我们逐一推导 $\varphi(x)$ 的变换要求：

1. 宇称 ($P$)： $P \mathcal{L}_1(t, \mathbf{x}) P^{-1} = g (P \varphi(t, \mathbf{x}) P^{-1}) (-P(t, -\mathbf{x}))$ 为使其等于 $\mathcal{L}_1(t, -\mathbf{x}) = g \varphi(t, -\mathbf{x}) P(t, -\mathbf{x})$，必须有： $P \varphi(t, \mathbf{x}) P^{-1} = -\varphi(t, -\mathbf{x})$

2. 时间反演 ($T$)： $T \mathcal{L}_1(t, \mathbf{x}) T^{-1} = g (T \varphi(t, \mathbf{x}) T^{-1}) (-P(-t, \mathbf{x}))$ 为使其等于 $\mathcal{L}_1(-t, \mathbf{x}) = g \varphi(-t, \mathbf{x}) P(-t, \mathbf{x})$，必须有： $T \varphi(t, \mathbf{x}) T^{-1} = -\varphi(-t, \mathbf{x})$

3. 电荷共轭 ($C$)： $C \mathcal{L}_1(x) C^{-1} = g (C \varphi(x) C^{-1}) P(x)$ 为使其等于 $\mathcal{L}_1(x) = g \varphi(x) P(x)$，必须有： $C \varphi(x) C^{-1} = \varphi(x)$

结论：$\varphi(x)$ 必须是一个赝标量场 (Pseudoscalar field)，在 $P$ 和 $T$ 变换下为奇（$-1$），在 $C$ 变换下为偶（$+1$）。

习题 45.2 - 解答

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物理背景与约定说明

本题要求使用费曼规则写出树图阶（tree level）的散射振幅 $i\mathcal{T}$。根据 Srednicki《Quantum Field Theory》第45章的上下文，这里涉及的是狄拉克费米子（电子 $e$）与实标量场（$\varphi$）之间的汤川相互作用（Yukawa interaction）。 相互作用拉格朗日量为： $\mathcal{L}_{\text{int}} = g \varphi \bar{\Psi} \Psi$ 采用 Srednicki 的度规约定 $(-, +, +, +)$ 以及相应的费曼规则：

1. 顶点：每个相互作用顶点贡献 $ig$。
2. 标量传播子：$\frac{-i}{q^2 + M^2}$ （设标量场质量为 $M$）。
3. 费米子传播子：$\frac{-i(-\not{q} + m)}{q^2 + m^2}$ （设费米子质量为 $m$）。
4. 外线费米子：
   • 入射 $e^-$：$u(p)$；出射 $e^-$：$\bar{u}(p)$
   • 入射 $e^+$：$\bar{v}(p)$；出射 $e^+$：$v(p)$
5. 旋量书写顺序：逆着费米子线上的箭头方向（即逆着粒子数流向）进行书写。

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(1) 过程 $e^+e^+ \rightarrow e^+e^+$

设入射正电子的动量为 $p_1, p_2$，出射正电子的动量为 $p_1', p_2'$。 在树图阶，该过程由两个费曼图贡献：$t$-通道和 $u$-通道。由于初态和末态包含全同费米子，交换两个出射正电子会引入一个相对负号（费米-狄拉克统计）。

1. $t$-通道图： 正电子 $p_1$ 散射为 $p_1'$，正电子 $p_2$ 散射为 $p_2'$，中间交换动量为 $q = p_1 - p_1'$ 的标量玻色子。

• 第一条费米子线（逆箭头从 $p_1$ 到 $p_1'$）：$\bar{v}(p_1) (ig) v(p_1')$
• 第二条费米子线（逆箭头从 $p_2$ 到 $p_2'$）：$\bar{v}(p_2) (ig) v(p_2')$
• 标量传播子：$\frac{-i}{(p_1 - p_1')^2 + M^2}$

$t$-通道振幅为： $i\mathcal{T}_t = \left[ \bar{v}(p_1) (ig) v(p_1') \right] \frac{-i}{(p_1 - p_1')^2 + M^2} \left[ \bar{v}(p_2) (ig) v(p_2') \right] = \frac{i g^2}{(p_1 - p_1')^2 + M^2} [\bar{v}(p_1) v(p_1')][\bar{v}(p_2) v(p_2')]$

2. $u$-通道图： 交换两个出射正电子的动量 $p_1' \leftrightarrow p_2'$，中间交换动量为 $q' = p_1 - p_2'$ 的标量玻色子。 $u$-通道振幅为： $i\mathcal{T}_u = - \frac{i g^2}{(p_1 - p_2')^2 + M^2} [\bar{v}(p_1) v(p_2')][\bar{v}(p_2) v(p_1')]$

总振幅： 将两部分相加，得到该过程的树图阶振幅： $\boxed{ i\mathcal{T}_{e^+e^+ \rightarrow e^+e^+} = i g^2 \left( \frac{[\bar{v}(p_1) v(p_1')][\bar{v}(p_2) v(p_2')]}{(p_1 - p_1')^2 + M^2} - \frac{[\bar{v}(p_1) v(p_2')][\bar{v}(p_2) v(p_1')]}{(p_1 - p_2')^2 + M^2} \right) }$

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(2) 过程 $\varphi\varphi \rightarrow e^+e^-$

设入射标量玻色子的动量为 $k_1, k_2$，出射电子（$e^-$）的动量为 $p_1$，出射正电子（$e^+$）的动量为 $p_2$。 在树图阶，该过程同样由两个费曼图贡献：$t$-通道和 $u$-通道。由于初态是两个全同的标量玻色子，交换它们（玻色-爱因斯坦统计）引入相对正号。

费米子线贯穿整个图，箭头从出射正电子 $e^+(p_2)$ 指向出射电子 $e^-(p_1)$。逆着箭头方向书写，起点为出射电子 $\bar{u}(p_1)$，终点为出射正电子 $v(p_2)$。

1. $t$-通道图： 标量 $k_1$ 连接到靠近出射电子 $p_1$ 的顶点，标量 $k_2$ 连接到靠近出射正电子 $p_2$ 的顶点。 根据动量守恒，内部费米子传播子的动量（顺着箭头方向）为 $q_t = p_1 - k_1$。 振幅为： $i\mathcal{T}_t = \bar{u}(p_1) (ig) \frac{-i(-\not{q}_t + m)}{q_t^2 + m^2} (ig) v(p_2) = i g^2 \bar{u}(p_1) \frac{-(\not{p}_1 - \not{k}_1) + m}{(p_1 - k_1)^2 + m^2} v(p_2)$

2. $u$-通道图： 交换两个入射标量玻色子 $k_1 \leftrightarrow k_2$。标量 $k_2$ 连接到靠近出射电子 $p_1$ 的顶点。 内部费米子传播子的动量变为 $q_u = p_1 - k_2$。 振幅为： $i\mathcal{T}_u = \bar{u}(p_1) (ig) \frac{-i(-\not{q}_u + m)}{q_u^2 + m^2} (ig) v(p_2) = i g^2 \bar{u}(p_1) \frac{-(\not{p}_1 - \not{k}_2) + m}{(p_1 - k_2)^2 + m^2} v(p_2)$

总振幅： 将两部分相加，提取公因子，得到该过程的树图阶振幅： $\boxed{ i\mathcal{T}_{\varphi\varphi \rightarrow e^+e^-} = i g^2 \bar{u}(p_1) \left[ \frac{-(\not{p}_1 - \not{k}_1) + m}{(p_1 - k_1)^2 + m^2} + \frac{-(\not{p}_1 - \not{k}_2) + m}{(p_1 - k_2)^2 + m^2} \right] v(p_2) }$