习题 58.1 - 解答

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为了确定电磁四维势 $A^\mu(\mathbf{x}, t)$ 在宇称（$P$）、时间反演（$T$）和电荷共轭（$C$）变换下的性质，我们需要利用拉格朗日量在这些离散对称性下保持不变的条件。

在量子电动力学（QED）中，电磁场与物质场相互作用的拉格朗日量密度为： $\mathcal{L}_{\text{int}}(x) = J_\mu(x) A^\mu(x)$ 其中 $J^\mu(x) = (J^0(x), \mathbf{J}(x))$ 是守恒的电磁流（例如狄拉克费米子的 $J^\mu = e\bar{\psi}\gamma^\mu\psi$）。为了使作用量 $S = \int d^4x \mathcal{L}_{\text{int}}(x)$ 在 $P, T, C$ 变换下保持不变，相互作用项必须表现为标量密度。

我们引入空间反演矩阵 $\mathcal{P}^\mu_{\phantom{\mu}\nu} = \text{diag}(1, -1, -1, -1)$，它在分量上的作用是保持时间分量不变，反转空间分量。

1. 宇称变换 (Parity, $P$)

宇称变换反转空间坐标：$(\mathbf{x}, t) \to (-\mathbf{x}, t)$。 对于电磁流 $J^\mu$，电荷密度 $J^0$ 是空间反演下的标量，而电流密度 $\mathbf{J}$（电荷的运动）是矢量，因此其变换行为是： $P^{-1} J^0(\mathbf{x}, t) P = J^0(-\mathbf{x}, t)$ $P^{-1} \mathbf{J}(\mathbf{x}, t) P = -\mathbf{J}(-\mathbf{x}, t)$ 写成协变形式即为 $P^{-1} J^\mu(\mathbf{x}, t) P = \mathcal{P}^\mu_{\phantom{\mu}\nu} J^\nu(-\mathbf{x}, t)$。 为了使 $\int d^4x J_\mu A^\mu$ 在 $P$ 变换下不变，$A^\mu$ 必须与 $J^\mu$ 具有完全相同的空间反演性质。因此，$A^0$ 必须是标量场，$\mathbf{A}$ 必须是矢量场： $P^{-1} A^0(\mathbf{x}, t) P = A^0(-\mathbf{x}, t)$ $P^{-1} \mathbf{A}(\mathbf{x}, t) P = -\mathbf{A}(-\mathbf{x}, t)$ 协变形式的最终结果为： $\boxed{P^{-1} A^\mu(\mathbf{x}, t) P = \mathcal{P}^\mu_{\phantom{\mu}\nu} A^\nu(-\mathbf{x}, t)}$

2. 时间反演变换 (Time Reversal, $T$)

时间反演变换反转时间坐标：$(\mathbf{x}, t) \to (\mathbf{x}, -t)$。注意 $T$ 是反幺正算符。 在时间反演下，电荷密度 $J^0$ 保持不变，但电流密度 $\mathbf{J}$ 因为速度反向而改变符号： $T^{-1} J^0(\mathbf{x}, t) T = J^0(\mathbf{x}, -t)$ $T^{-1} \mathbf{J}(\mathbf{x}, t) T = -\mathbf{J}(\mathbf{x}, -t)$ 这在协变形式下同样可以写为 $T^{-1} J^\mu(\mathbf{x}, t) T = \mathcal{P}^\mu_{\phantom{\mu}\nu} J^\nu(\mathbf{x}, -t)$（注意这里依然使用 $\mathcal{P}$ 矩阵，因为 $J^0$ 不变而 $J^i$ 变号）。 为了使作用量在 $T$ 变换下不变，电磁势 $A^\mu$ 必须与 $J^\mu$ 具有相同的时间反演性质： $T^{-1} A^0(\mathbf{x}, t) T = A^0(\mathbf{x}, -t)$ $T^{-1} \mathbf{A}(\mathbf{x}, t) T = -\mathbf{A}(\mathbf{x}, -t)$ 协变形式的最终结果为： $\boxed{T^{-1} A^\mu(\mathbf{x}, t) T = \mathcal{P}^\mu_{\phantom{\mu}\nu} A^\nu(\mathbf{x}, -t)}$

3. 电荷共轭变换 (Charge Conjugation, $C$)

电荷共轭变换将粒子替换为其反粒子，不改变时空坐标。 由于反粒子带有与正粒子相反的电荷，整个电磁四维流 $J^\mu$ 在 $C$ 变换下反号： $C^{-1} J^\mu(\mathbf{x}, t) C = -J^\mu(\mathbf{x}, t)$ 为了使相互作用拉格朗日量 $\mathcal{L}_{\text{int}} = J_\mu A^\mu$ 在 $C$ 变换下保持不变（即 $C^{-1} \mathcal{L}_{\text{int}} C = \mathcal{L}_{\text{int}}$），光子场 $A^\mu$ 必须在电荷共轭下具有负的 $C$ 宇称（即 $C$ 变换下反号）： $\boxed{C^{-1} A^\mu(\mathbf{x}, t) C = -A^\mu(\mathbf{x}, t)}$

习题 58.2 - 解答

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物理背景与分析

Furry定理（Furry's theorem）是量子电动力学（QED）中的一个基本定理。它指出，在没有任何外线费米子的情况下，包含奇数个外线光子的散射振幅严格为零。该定理的物理本质是量子电动力学在电荷共轭变换（Charge Conjugation, $C$）下的对称性。

在QED中，光子场 $A^\mu(x)$ 在电荷共轭变换下是奇宇称的，即 $C A^\mu(x) C^{-1} = -A^\mu(x)$。由于没有任何外线费米子，所有的费米子都只能以闭合圈（Fermion loops）的形式存在于费曼图中。我们可以通过算符形式（非微扰）和费曼图形式（微扰）两种方法来严格证明该定理。

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证明方法一：算符形式（基于电荷共轭对称性）

在没有任何外线费米子的情况下，包含 $n$ 个外线光子的散射振幅，由LSZ约化公式可知，正比于 $n$ 个电磁流算符 $j^\mu(x)$ 的真空期望值（即 $n$ 点格林函数）： $\mathcal{M}^{\mu_1 \mu_2 \dots \mu_n}(x_1, x_2, \dots, x_n) = \langle 0 | T \{ j^{\mu_1}(x_1) j^{\mu_2}(x_2) \dots j^{\mu_n}(x_n) \} | 0 \rangle$ 其中，电磁流算符定义为 $j^\mu(x) = \bar{\psi}(x) \gamma^\mu \psi(x)$。

首先，我们考察电磁流算符在电荷共轭变换 $C$ 下的性质。费米子场在 $C$ 变换下的行为是： $C \psi(x) C^{-1} = C_0 \bar{\psi}^T(x), \quad C \bar{\psi}(x) C^{-1} = -\psi^T(x) C_0^{-1}$ 其中 $C_0$ 是电荷共轭矩阵，满足 $C_0 \gamma^\mu C_0^{-1} = -(\gamma^\mu)^T$。

对电磁流算符进行电荷共轭变换： $C j^\mu(x) C^{-1} = C \big( \bar{\psi}(x) \gamma^\mu \psi(x) \big) C^{-1} = \big( C \bar{\psi}(x) C^{-1} \big) \gamma^\mu \big( C \psi(x) C^{-1} \big)$ 代入费米子场的变换关系： $C j^\mu(x) C^{-1} = -\psi^T(x) C_0^{-1} \gamma^\mu C_0 \bar{\psi}^T(x) = -\psi^T(x) \big( -(\gamma^\mu)^T \big) \bar{\psi}^T(x) = \psi^T(x) (\gamma^\mu)^T \bar{\psi}^T(x)$ 写成分量形式（引入旋量指标 $\alpha, \beta$）： $C j^\mu(x) C^{-1} = \psi_\alpha (\gamma^\mu)_{\beta\alpha} \bar{\psi}_\beta$ 由于 $\psi$ 和 $\bar{\psi}$ 是反对易的格拉斯曼数（Grassmann numbers），交换它们的位置会产生一个负号： $\psi_\alpha (\gamma^\mu)_{\beta\alpha} \bar{\psi}_\beta = - \bar{\psi}_\beta (\gamma^\mu)_{\beta\alpha} \psi_\alpha = - \bar{\psi} \gamma^\mu \psi = -j^\mu(x)$ 因此，电磁流算符在电荷共轭下是奇的： $C j^\mu(x) C^{-1} = -j^\mu(x)$

现在，我们将恒等算符 $1 = C^{-1} C$ 插入到 $n$ 点格林函数的真空期望值中。由于QED的真空态在电荷共轭下是不变的，即 $C |0\rangle = |0\rangle$ 且 $\langle 0 | C^{-1} = \langle 0 |$，我们有： $\langle 0 | T \{ j^{\mu_1}(x_1) \dots j^{\mu_n}(x_n) \} | 0 \rangle = \langle 0 | C^{-1} C T \{ j^{\mu_1}(x_1) \dots j^{\mu_n}(x_n) \} C^{-1} C | 0 \rangle$ 由于 $C$ 是幺正算符，它与时间排序算符 $T$ 对易，因此： $\mathcal{M}^{\mu_1 \dots \mu_n} = \langle 0 | T \{ \big(C j^{\mu_1}(x_1) C^{-1}\big) \dots \big(C j^{\mu_n}(x_n) C^{-1}\big) \} | 0 \rangle$ 代入 $C j^\mu(x) C^{-1} = -j^\mu(x)$，提取出 $n$ 个负号： $\mathcal{M}^{\mu_1 \dots \mu_n} = (-1)^n \langle 0 | T \{ j^{\mu_1}(x_1) \dots j^{\mu_n}(x_n) \} | 0 \rangle = (-1)^n \mathcal{M}^{\mu_1 \dots \mu_n}$ 当 $n$ 为奇数时，$(-1)^n = -1$，从而得到： $\mathcal{M}^{\mu_1 \dots \mu_n} = -\mathcal{M}^{\mu_1 \dots \mu_n} \implies \mathcal{M}^{\mu_1 \dots \mu_n} = 0$

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证明方法二：微扰费曼图形式（基于费米子圈反向）

在微扰展开中，任何没有外线费米子的图都由若干个闭合的费米子圈（Fermion loops）组成。考虑其中一个连接了 $n$ 个外线光子的费米子圈。根据费曼规则，该圈的振幅正比于狄拉克矩阵的迹： $\mathcal{M}_1 \propto \int d^4p \, \text{Tr} \left[ S_F(p_1) \gamma^{\mu_1} S_F(p_2) \gamma^{\mu_2} \dots S_F(p_n) \gamma^{\mu_n} \right]$ 其中 $S_F(p) = \frac{i}{\not{p} - m}$ 是费米子传播子。

对于每一个这样的费米子圈，必然存在另一个拓扑结构相同、但费米子动量流向完全相反的费曼图（即圈内粒子由正费米子变为反费米子）。反向圈的振幅为： $\mathcal{M}_2 \propto \int d^4p \, \text{Tr} \left[ S_F(-p_n) \gamma^{\mu_n} \dots S_F(-p_2) \gamma^{\mu_2} S_F(-p_1) \gamma^{\mu_1} \right]$ 利用电荷共轭矩阵 $C_0$ 的性质：$C_0 \gamma^\mu C_0^{-1} = -(\gamma^\mu)^T$，我们可以推导出传播子的转置性质： $C_0 S_F(p) C_0^{-1} = C_0 \frac{i}{p_\mu \gamma^\mu - m} C_0^{-1} = \frac{i}{-p_\mu (\gamma^\mu)^T - m} = S_F(-p)^T$ 将 $1 = C_0^{-1} C_0$ 插入到 $\mathcal{M}_1$ 的迹中每一个矩阵之间： $\text{Tr} \left[ S_F(p_1) \gamma^{\mu_1} \dots S_F(p_n) \gamma^{\mu_n} \right] = \text{Tr} \left[ C_0 S_F(p_1) C_0^{-1} C_0 \gamma^{\mu_1} C_0^{-1} \dots C_0 S_F(p_n) C_0^{-1} C_0 \gamma^{\mu_n} C_0^{-1} \right]$ $= \text{Tr} \left[ S_F(-p_1)^T \big(-(\gamma^{\mu_1})^T\big) \dots S_F(-p_n)^T \big(-(\gamma^{\mu_n})^T\big) \right]$ 提取出 $n$ 个负号，并利用矩阵乘积转置的性质 $(AB)^T = B^T A^T$ 以及迹的性质 $\text{Tr}(A^T) = \text{Tr}(A)$： $= (-1)^n \text{Tr} \left[ \big( \gamma^{\mu_n} S_F(-p_n) \dots \gamma^{\mu_1} S_F(-p_1) \big)^T \right]$ $= (-1)^n \text{Tr} \left[ S_F(-p_n) \gamma^{\mu_n} \dots S_F(-p_1) \gamma^{\mu_1} \right]$ 这正是反向圈 $\mathcal{M}_2$ 的迹表达式。因此我们得到： $\mathcal{M}_1 = (-1)^n \mathcal{M}_2$ 在计算总散射振幅时，必须对所有可能的费曼图求和，因此这两个互为反向的圈图的贡献之和为： $\mathcal{M}_{\text{loop}} = \mathcal{M}_1 + \mathcal{M}_2 = \mathcal{M}_1 + (-1)^n \mathcal{M}_1 = \big(1 + (-1)^n\big) \mathcal{M}_1$ 显然，当外线光子数 $n$ 为奇数时，$1 + (-1)^n = 0$，这两个图的贡献精确抵消。由于任何无外线费米子的图都可以分解为这样的费米子圈，因此总振幅必然为零。

$\boxed{\text{Any scattering amplitude with no external fermions and an odd number of external photons is zero.}}$