习题 63.1 - 解答

(a)

在量子电动力学（QED）中，规范不变性要求物理的散射振幅在规范变换下保持不变。这在动量空间中体现为 Ward-Takahashi 恒等式： $q_\mu \mathbf{V}^\mu(p', p) = S^{-1}(p) - S^{-1}(p')$ 其中 $S(p)$ 是完整的费米子传播子。当该顶点函数被夹在在壳（on-shell）的外部费米子旋量 $\bar{u}_{s'}(\mathbf{p}')$ 和 $u_s(\mathbf{p})$ 之间时，由于在壳旋量满足狄拉克方程，逆传播子作用于其上结果为零，即 $S^{-1}(p) u_s(\mathbf{p}) = 0$ 且 $\bar{u}_{s'}(\mathbf{p}') S^{-1}(p') = 0$ 。因此，规范不变性直接导致： $q_\mu \bar{u}' \mathbf{V}^\mu(p', p) u = 0$

将题目给出的 $\bar{u}' \mathbf{V}^\mu(p', p) u$ 的一般形式代入上式，并利用动量转移 $q = p' - p$ 进行收缩：

\begin{aligned} q_\mu \bar{u}' \mathbf{V}^\mu(p', p) u &= e \bar{u}' \left[ A(q^2) q_\mu \gamma^\mu + B(q^2) q_\mu (p' + p)^\mu + C(q^2) q_\mu (p' - p)^\mu \right] u \\ &= e \bar{u}' \left[ A(q^2) \not{q} + B(q^2) (p' - p) \cdot (p' + p) + C(q^2) (p' - p) \cdot (p' - p) \right] u \end{aligned}

接下来逐项化简：

对于第一项，利用 $\not{q} = \not{p}' - \not{p}$ 以及在壳旋量满足的狄拉克方程 $\not{p} u = m u$ 和 $\bar{u}' \not{p}' = \bar{u}' m$ ： $\bar{u}' \not{q} u = \bar{u}' (\not{p}' - \not{p}) u = \bar{u}' (m - m) u = 0$
对于第二项，利用在壳条件 $p^2 = p'^2 = m^2$ ： $(p' - p) \cdot (p' + p) = p'^2 - p^2 = m^2 - m^2 = 0$
对于第三项，直接有： $(p' - p) \cdot (p' - p) = q^2$

将上述结果代回原式，得到： $e C(q^2) q^2 \bar{u}' u = 0$ 由于该等式必须对任意的动量转移 $q^2$ 成立，且一般情况下 $\bar{u}' u \neq 0$ ，因此必须满足： $\boxed{C(q^2) = 0}$ 规范不变性对 $A(q^2)$ 和 $B(q^2)$ 没有施加任何限制。

(b)

在 QED 中，包含单光子顶点的矩阵元通常使用 Dirac 形状因子 $F_1(q^2)$ 和 Pauli 形状因子 $F_2(q^2)$ 进行标准参数化： $\bar{u}' \mathbf{V}^\mu(p', p) u = e \bar{u}' \left[ F_1(q^2) \gamma^\mu + F_2(q^2) \frac{i \sigma^{\mu\nu} q_\nu}{2m} \right] u$

为了将题目给出的形式与标准形式联系起来，需要使用 Gordon 分解恒等式。Gordon 分解将对流电流（与动量相关）和自旋电流（与 $\sigma^{\mu\nu}$ 相关）联系起来： $\bar{u}' \gamma^\mu u = \bar{u}' \left[ \frac{(p' + p)^\mu}{2m} + \frac{i \sigma^{\mu\nu} q_\nu}{2m} \right] u$ 通过移项，可以将 $(p' + p)^\mu$ 表达为 $\gamma^\mu$ 和 $\sigma^{\mu\nu} q_\nu$ 的组合： $\bar{u}' (p' + p)^\mu u = \bar{u}' \left[ 2m \gamma^\mu - i \sigma^{\mu\nu} q_\nu \right] u$

将此关系式以及 (a) 问中得到的 $C(q^2) = 0$ 代入题目给出的一般形式中：

\begin{aligned} \bar{u}' \mathbf{V}^\mu(p', p) u &= e \bar{u}' \left[ A(q^2) \gamma^\mu + B(q^2) (p' + p)^\mu \right] u \\ &= e \bar{u}' \left[ A(q^2) \gamma^\mu + B(q^2) (2m \gamma^\mu - i \sigma^{\mu\nu} q_\nu) \right] u \\ &= e \bar{u}' \left[ (A(q^2) + 2m B(q^2)) \gamma^\mu - i B(q^2) \sigma^{\mu\nu} q_\nu \right] u \end{aligned}

将上式与标准参数化形式进行逐项对比： $F_1(q^2) \gamma^\mu + F_2(q^2) \frac{i \sigma^{\mu\nu} q_\nu}{2m} = (A(q^2) + 2m B(q^2)) \gamma^\mu - i B(q^2) \sigma^{\mu\nu} q_\nu$

比较 $\gamma^\mu$ 的系数，可得： $\boxed{F_1(q^2) = A(q^2) + 2m B(q^2)}$

比较 $i \sigma^{\mu\nu} q_\nu$ 的系数，可得 $\frac{F_2(q^2)}{2m} = -B(q^2)$ ，即： $\boxed{F_2(q^2) = -2m B(q^2)}$

Problem 63.1

习题 63.1

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