习题 66.1 - 解答

---

为了计算旋量电动力学（QED）在 Feynman 规范（$\xi=1$）下的单圈反常维度 $\gamma_m$、$\gamma_\Psi$（即 $\gamma_2$）和 $\gamma_A$（即 $\gamma_3$），我们采用维数正规化，设时空维数 $d = 4 - \epsilon$。采用 $(-+++)$ 度规约定（Srednicki 约定），此时 Dirac 矩阵满足 $\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = -2g^{\mu\nu}$。

重整化常数定义为 $Z_i = 1 + \delta Z_i$。在极点相消方案（MS/$\overline{\text{MS}}$）中，反常维度由重整化常数中的 $1/\epsilon$ 极点决定。由于裸耦合常数 $e_0 = \mu^{\epsilon/2} Z_e e$，在单圈近似下有重整化群方程 $\mu \frac{d e}{d\mu} = -\frac{\epsilon}{2} e$。

---

1. 光子场的反常维度 $\gamma_A$

先分析光子的真空极化图（费米子圈）。其单圈振幅为： $i\Pi^{\mu\nu}(k) = - (-ie)^2 \int \frac{d^d p}{(2\pi)^d} \text{Tr} \left[ \gamma^\mu \frac{-i}{\not{p}+m} \gamma^\nu \frac{-i}{\not{p}+\not{k}+m} \right]$ 有理化传播子 $\frac{-i}{\not{p}+m} = \frac{i(\not{p}-m)}{p^2+m^2}$，代入并计算迹（在 $d$ 维下 $\text{Tr}[\mathbf{1}] = 4$）： $\text{Tr}\left[ \gamma^\mu (\not{p}-m) \gamma^\nu (\not{p}+\not{k}-m) \right] = 4 \left[ p^\mu (p+k)^\nu + p^\nu (p+k)^\mu - g^{\mu\nu}(p \cdot (p+k) + m^2) \right]$

引入 Feynman 参数 $x$，令 $p = l - xk$，分母变为 $(l^2 + \Delta)^2$，其中 $\Delta = x(1-x)k^2 + m^2$。 丢弃分子中关于 $l$ 的奇数次项，并利用球对称性替换 $l^\mu l^\nu \to \frac{1}{d} l^2 g^{\mu\nu}$，分子化简为： $4 \left[ \left(\frac{2}{d}-1\right) l^2 g^{\mu\nu} - 2x(1-x)k^\mu k^\nu + g^{\mu\nu}(x(1-x)k^2 - m^2) \right]$

下面计算发散部分（提取 $1/\epsilon$ 极点）。利用维数正规化积分公式： $\int \frac{d^d l}{(2\pi)^d} \frac{1}{(l^2+\Delta)^2} = \frac{i}{16\pi^2} \frac{2}{\epsilon} + \text{finite}$ $\int \frac{d^d l}{(2\pi)^d} \frac{l^2}{(l^2+\Delta)^2} = -\frac{d}{2} \Delta \frac{i}{16\pi^2} \frac{2}{\epsilon} + \text{finite}$ 代入分子，$l^2$ 项贡献了 $+4\Delta g^{\mu\nu}$，与剩余项合并后，恰好提取出横向结构 $(k^2 g^{\mu\nu} - k^\mu k^\nu)$： $i\Pi^{\mu\nu}_{div}(k) = -e^2 \frac{i}{16\pi^2} \frac{2}{\epsilon} \int_0^1 dx \, 8x(1-x) (k^2 g^{\mu\nu} - k^\mu k^\nu)$ 完成对 $x$ 的积分 $\int_0^1 x(1-x) dx = \frac{1}{6}$，得到： $i\Pi^{\mu\nu}_{div}(k) = -i \frac{e^2}{6\pi^2 \epsilon} (k^2 g^{\mu\nu} - k^\mu k^\nu)$

为了抵消此发散，光子场波函数重整化抵消项为 $-i \delta Z_3 (k^2 g^{\mu\nu} - k^\mu k^\nu)$。要求 $i\Pi^{\mu\nu}_{div} + i\delta Z_3 (\dots) = 0$，解得： $\delta Z_3 = \frac{e^2}{6\pi^2 \epsilon}$ 光子场的反常维度定义为 $\gamma_A = \frac{1}{2} \frac{d \ln Z_3}{d \ln \mu}$。利用 $\mu \frac{d}{d\mu} = -\frac{\epsilon}{2} e \frac{\partial}{\partial e}$，我们有： $\gamma_A = \frac{1}{2} \left( -\frac{\epsilon}{2} e \right) \frac{\partial}{\partial e} \left( \frac{e^2}{6\pi^2 \epsilon} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{\epsilon}{2} e \right) \left( \frac{2e}{6\pi^2 \epsilon} \right) = -\frac{e^2}{12\pi^2}$ (注：若按 $\gamma_A = -\frac{1}{2} \frac{d \ln Z_3}{d \ln \mu}$ 定义，则符号相反。此处采用标准导数定义) $\boxed{\gamma_A = -\frac{e^2}{12\pi^2} = -\frac{\alpha}{3\pi}}$

---

2. 费米子场反常维度 $\gamma_\Psi$ 与 质量反常维度 $\gamma_m$

分两步处理费米子自能图。在 Feynman 规范下，单圈自能振幅为： $-i\Sigma(p) = (ie)^2 \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \gamma^\mu \frac{-i}{\not{p}-\not{k}+m} \gamma^\nu \frac{-i g_{\mu\nu}}{k^2}$ 代入有理化的费米子传播子 $\frac{i(\not{p}-\not{k}-m)}{(p-k)^2+m^2}$，并利用 $d$ 维 Dirac 代数 $\gamma^\mu \gamma_\mu = -d$ 以及 $\gamma^\mu \not{q} \gamma_\mu = (d-2)\not{q}$，化简分子： $\gamma^\mu (\not{p}-\not{k}-m) \gamma_\mu = (d-2)(\not{p}-\not{k}) + d m$

引入 Feynman 参数 $x$，令 $k = l + x p$，分母变为 $(l^2 + \Delta)^2$。分子中关于 $l$ 的线性项积分后为零，代入 $d = 4 - \epsilon$，分子变为： $(2-\epsilon)(1-x)\not{p} + (4-\epsilon)m$ 提取 $1/\epsilon$ 极点时，可直接取 $\epsilon \to 0$ 时的分子值，即 $2(1-x)\not{p} + 4m$。积分给出： $-i\Sigma_{div}(p) = -e^2 \frac{i}{16\pi^2} \frac{2}{\epsilon} \int_0^1 dx \left[ 2(1-x)\not{p} + 4m \right] = -i \frac{e^2}{8\pi^2 \epsilon} (\not{p} + 4m)$ 即发散部分为： $\Sigma_{div}(p) = \frac{e^2}{8\pi^2 \epsilon} \not{p} + \frac{e^2}{2\pi^2 \epsilon} m$

根据拉格朗日量 $\mathcal{L} = i Z_2 \bar{\Psi} \not{\partial} \Psi - Z_2 Z_m m \bar{\Psi} \Psi$，对应的抵消项顶点为 $i \delta Z_2 \not{p} + i(\delta Z_2 + \delta Z_m)m$。 要求单圈自能与抵消项之和有限，即 $-i\Sigma_{div} + i \delta Z_2 \not{p} + i(\delta Z_2 + \delta Z_m)m = 0$。分离 $\not{p}$ 和 $m$ 的系数： $\delta Z_2 = \frac{e^2}{8\pi^2 \epsilon}$ $\delta Z_2 + \delta Z_m = \frac{e^2}{2\pi^2 \epsilon} \implies \delta Z_m = \frac{e^2}{2\pi^2 \epsilon} - \frac{e^2}{8\pi^2 \epsilon} = \frac{3e^2}{8\pi^2 \epsilon}$

现在计算反常维度。对于费米子场 $\Psi$： $\gamma_\Psi = \frac{1}{2} \frac{d \ln Z_2}{d \ln \mu} = \frac{1}{2} \left( -\frac{\epsilon}{2} e \frac{\partial}{\partial e} \right) \left( \frac{e^2}{8\pi^2 \epsilon} \right) = -\frac{e^2}{16\pi^2}$ $\boxed{\gamma_\Psi = -\frac{e^2}{16\pi^2} = -\frac{\alpha}{4\pi}}$

对于质量 $m$（注意 Srednicki 约定中 $\gamma_m \equiv \frac{d \ln Z_m}{d \ln \mu}$，这与部分教材中 $\gamma_m = -\frac{d \ln Z_m}{d \ln \mu}$ 差一个负号）： $\gamma_m = \frac{d \ln Z_m}{d \ln \mu} = \left( -\frac{\epsilon}{2} e \frac{\partial}{\partial e} \right) \left( \frac{3e^2}{8\pi^2 \epsilon} \right) = -\frac{3e^2}{8\pi^2}$ $\boxed{\gamma_m = -\frac{3e^2}{8\pi^2} = -\frac{3\alpha}{2\pi}}$

习题 66.2 - 解答

---

为了计算标量电动力学（Scalar Electrodynamics）在 Lorenz 规范（即 Landau 规范，$\xi = 0$）下 $m$、$\varphi$ 和 $A^\mu$ 的单圈反常标度维数（anomalous dimensions），我们首先写出重整化后的拉格朗日量。采用量纲正规化（$d = 4 - \epsilon$）和 $\overline{\text{MS}}$（或 MS）方案。

拉格朗日量为： $\mathcal{L} = -\frac{1}{4} Z_A F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - \frac{1}{2\xi}(\partial_\mu A^\mu)^2 - Z_\varphi (D_\mu \varphi)^\dagger (D^\mu \varphi) - Z_m Z_\varphi m^2 \varphi^\dagger \varphi - \frac{1}{4} Z_\lambda \lambda (\varphi^\dagger \varphi)^2$ 其中协变导数为 $D_\mu \varphi = (\partial_\mu - i e A_\mu)\varphi$。在 Lorenz 规范下，取规范固定参数 $\xi = 0$。光子传播子为 $\frac{-i}{k^2}\left(g^{\mu\nu} - \frac{k^\mu k^\nu}{k^2}\right)$。

反常标度维数的定义为： $\gamma_A = \frac{1}{2} \frac{d \ln Z_A}{d \ln \mu}, \quad \gamma_\varphi = \frac{1}{2} \frac{d \ln Z_\varphi}{d \ln \mu}, \quad \gamma_m = \frac{d \ln m}{d \ln \mu}$ 若重整化常数的形式为 $Z = 1 + \frac{z_1}{\epsilon}$，由 $\beta_e = -\frac{\epsilon}{2}e$ 和 $\beta_\lambda = -\epsilon \lambda$，可得场反常维数 $\gamma = -\frac{1}{2} z_1$，而质量反常维数 $\gamma_m = \frac{1}{2} z_m$。

---

1. 光子场的反常标度维数 $\gamma_A$

光子的单圈真空极化 $\Pi^{\mu\nu}(q)$ 来自两个图：标量粒子圈图（两个 3-点顶点）和海鸥图（Seagull diagram，一个 4-点顶点）。 海鸥图在量纲正规化下包含无标度积分 $\int \frac{d^d k}{k^2+m^2}$，其发散部分与标量圈图中的质量项发散精确抵消。我们只需关注标量圈图的横向部分： $i\Pi_1^{\mu\nu}(q) = -e^2 \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \frac{(2k+q)^\mu (2k+q)^\nu}{(k^2+m^2)((k+q)^2+m^2)}$ 引入 Feynman 参数 $x$，并平移积分动量 $l = k + xq$，分母变为 $[l^2 + \Delta]^2$，其中 $\Delta = m^2 + x(1-x)q^2$。提取发散部分（利用 $\int \frac{d^d l}{(2\pi)^d} \frac{l^2}{[l^2+\Delta]^2} = -\frac{4i}{16\pi^2 \epsilon}\Delta$）： $i\Pi^{\mu\nu}(q) = \frac{i e^2}{16\pi^2 \epsilon} \int_0^1 dx \left[ 4x(1-x)q^2 g^{\mu\nu} - 2(1-2x)^2 q^\mu q^\nu \right]$ 完成对 $x$ 的积分（$\int_0^1 x(1-x)dx = \frac{1}{6}$，$\int_0^1 (1-2x)^2 dx = \frac{1}{3}$），得到： $i\Pi^{\mu\nu}(q) = i \frac{e^2}{16\pi^2 \epsilon} \frac{2}{3} (q^2 g^{\mu\nu} - q^\mu q^\nu)$ 抵消项为 $-i(Z_A - 1)(q^2 g^{\mu\nu} - q^\mu q^\nu)$，要求极点相消，得到： $Z_A = 1 - \frac{e^2}{24\pi^2 \epsilon}$ 因此，光子场的反常标度维数为： $\gamma_A = -\frac{1}{2} \left( -\frac{e^2}{24\pi^2} \right) = \frac{e^2}{48\pi^2}$

---

2. 标量场的反常标度维数 $\gamma_\varphi$

标量场的单圈自能 $\Sigma(p)$ 包含光子圈图、光子海鸥图和标量蝌蚪图。 光子海鸥图正比于 $\int \frac{d^d k}{k^2} = 0$。标量蝌蚪图仅贡献质量重整化（无 $p^2$ 依赖）。因此，波函数重整化 $Z_\varphi$ 完全由光子圈图决定： $i\Sigma_1(p) = -e^2 \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \frac{(2p-k)^\mu (2p-k)^\nu}{k^2 ((p-k)^2+m^2)} \left( g_{\mu\nu} - \frac{k_\mu k_\nu}{k^2} \right)$ 收缩洛伦兹指标后，分子化简为 $4p^2 - 4\frac{(p\cdot k)^2}{k^2}$。积分变为： $i\Sigma_1(p) = -e^2 \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \frac{4p^2 - 4(p\cdot k)^2/k^2}{k^2 ((p-k)^2+m^2)}$ 我们需要提取正比于 $p^2$ 的发散部分：

1. 第一项：$4p^2 \int \frac{1}{k^2 D} \to 4p^2 \left( \frac{i}{16\pi^2} \frac{2}{\epsilon} \right) = \frac{8 i p^2}{16\pi^2 \epsilon}$
2. 第二项：$-4 p_\mu p_\nu \int \frac{k^\mu k^\nu}{k^4 D}$。利用 Feynman 参数化 $\frac{1}{A^2 B}$，可得该积分的发散部分为 $p^2 \left( \frac{i}{16\pi^2} \frac{1}{2\epsilon} \right)$，乘以 $-4$ 得到 $-\frac{2 i p^2}{16\pi^2 \epsilon}$。

合并两项，自能的发散部分为： $\Sigma(p) = -\frac{6 e^2}{16\pi^2 \epsilon} p^2 + \mathcal{O}(m^2)$ 由抵消项 $-i(Z_\varphi - 1)p^2$，得到： $Z_\varphi = 1 - \frac{6 e^2}{16\pi^2 \epsilon} = 1 - \frac{3 e^2}{8\pi^2 \epsilon}$ 因此，标量场的反常标度维数为： $\gamma_\varphi = -\frac{1}{2} \left( -\frac{3 e^2}{8\pi^2} \right) = \frac{3 e^2}{16\pi^2}$

---

3. 质量的反常标度维数 $\gamma_m$

质量重整化来自自能 $\Sigma(p)$ 中正比于 $m^2$ 的发散部分。 在 Lorenz 规范（$\xi=0$）下，光子圈图对 $m^2$ 发散的贡献严格为零（一般 $\xi$ 规范下该贡献正比于 $\xi$）。因此，唯一的 $m^2$ 发散来自标量四点相互作用 $-\frac{\lambda}{4}(\varphi^\dagger \varphi)^2$ 产生的蝌蚪图： $i\Sigma_3 = -i\lambda \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \frac{-i}{k^2+m^2} = -\lambda \left( \frac{i}{16\pi^2} \frac{-2}{\epsilon} m^2 \right) = \frac{2i\lambda m^2}{16\pi^2 \epsilon}$ 质量抵消项为 $-i(Z_m Z_\varphi - 1)m^2$，故有： $Z_m Z_\varphi - 1 = \frac{2\lambda}{16\pi^2 \epsilon}$ 代入前面求得的 $Z_\varphi = 1 - \frac{6e^2}{16\pi^2 \epsilon}$，解得质量重整化常数： $Z_m = 1 + \frac{2\lambda + 6e^2}{16\pi^2 \epsilon}$ 质量的反常标度维数 $\gamma_m = \frac{1}{2} z_m$（注意与场反常维数的符号差异），因此： $\gamma_m = \frac{1}{2} \left( \frac{2\lambda + 6e^2}{16\pi^2} \right) = \frac{\lambda + 3e^2}{16\pi^2}$

---

最终结果

习题 66.3 - 解答

---

为了计算旋量量子电动力学（QED）中质量的反常标度向（anomalous dimension）$\gamma_m$ 以及耦合常数 $e$ 的 $\beta$ 函数，我们需要从 $R_\xi$ 规范下的单圈重整化常数出发。

在维数正规化（$d = 4 - \epsilon$）和最小减除（MS）方案下，裸参数与重整化参数的关系为： $e_0 = \mu^{\epsilon/2} Z_e e$ $m_0 = Z_m m$ 根据习题 62.2 的单圈计算结果，在 $R_\xi$ 规范下，电子自能 $\Sigma(p)$ 和真空极化 $\Pi^{\mu\nu}(q)$ 提取出的 $1/\epsilon$ 极点给出了如下重整化常数：

1. 电子波函数重整化常数 $Z_2$： $Z_2 = 1 - \frac{e^2}{16\pi^2} \frac{\xi}{\epsilon}$
2. 质量重整化常数 $Z_m$： 电子自能中与规范参数 $\xi$ 相关的部分在抵消项中发生了精确相消，使得 $Z_m$ 独立于 $\xi$： $Z_m = 1 - \frac{3e^2}{16\pi^2} \frac{1}{\epsilon}$
3. 光子波函数重整化常数 $Z_3$： 由于单圈费米子环内部没有光子线，真空极化自然与规范参数 $\xi$ 无关： $Z_3 = 1 - \frac{e^2}{6\pi^2} \frac{1}{\epsilon}$

根据 QED 的 Ward-Takahashi 恒等式，顶点重整化常数与电子波函数重整化常数严格相等（$Z_1 = Z_2$）。因此，电荷重整化常数 $Z_e$ 完全由 $Z_3$ 决定： $Z_e = Z_1 Z_2^{-1} Z_3^{-1/2} = Z_3^{-1/2} = 1 + \frac{e^2}{12\pi^2} \frac{1}{\epsilon}$

下面分两步分别计算 $\gamma_m$ 和 $\beta(e)$。

1. 计算质量的反常标度向 $\gamma_m$

质量的反常标度向定义为： $\gamma_m = \frac{d \ln m}{d \ln \mu}$ 由于裸质量 $m_0$ 不依赖于重整化能标 $\mu$，对其求导可得： $0 = \frac{d \ln m_0}{d \ln \mu} = \frac{d \ln Z_m}{d \ln \mu} + \frac{d \ln m}{d \ln \mu} \implies \gamma_m = - \frac{1}{Z_m} \frac{d Z_m}{d \ln \mu}$ 利用链式法则，并代入 $d=4-\epsilon$ 维下的 $\beta$ 函数 $\frac{de}{d\ln\mu} = -\frac{\epsilon}{2}e + \beta_4(e)$，我们有： $\frac{d Z_m}{d \ln \mu} = \frac{\partial Z_m}{\partial e} \frac{d e}{d \ln \mu} = \left( -\frac{\epsilon}{2}e + \beta_4(e) \right) \frac{\partial}{\partial e} \left( 1 + \frac{Z_m^{(1)}}{\epsilon} \right)$ 展开并要求 $\gamma_m$ 在 $\epsilon \to 0$ 时有限，$1/\epsilon$ 的发散项必须相消，从而得到标准重整化群公式： $\gamma_m = \frac{1}{2} e \frac{\partial Z_m^{(1)}}{\partial e}$ 其中 $Z_m^{(1)} = - \frac{3e^2}{16\pi^2}$ 是 $Z_m$ 中 $1/\epsilon$ 的系数。代入该系数进行计算： $\gamma_m = \frac{1}{2} e \frac{\partial}{\partial e} \left( - \frac{3e^2}{16\pi^2} \right) = \frac{1}{2} e \left( - \frac{6e}{16\pi^2} \right) = - \frac{3e^2}{16\pi^2}$ 显然，该结果中不包含 $\xi$，即质量的反常标度向是规范独立的。

$\boxed{ \gamma_m = - \frac{3e^2}{16\pi^2} }$ (注：若用精细结构常数 $\alpha = e^2/4\pi$ 表示，则为 $\gamma_m = - \frac{3\alpha}{4\pi}$)

2. 计算耦合常数 $e$ 的 $\beta$ 函数

$\beta$ 函数定义为 $d=4$ 时耦合常数随能标的跑动： $\beta(e) = \left. \frac{d e}{d \ln \mu} \right|_{d=4}$ 从裸耦合常数的关系式 $e_0 = \mu^{\epsilon/2} Z_e e$ 出发，两边对 $\ln \mu$ 求导（注意 $e_0$ 与 $\mu$ 无关）： $0 = \frac{\epsilon}{2} Z_e e + \frac{d e}{d \ln \mu} Z_e + e \frac{\partial Z_e}{\partial e} \frac{d e}{d \ln \mu}$ 解出 $d$ 维下的跑动方程： $\frac{d e}{d \ln \mu} = - \frac{\epsilon e}{2} \left( 1 + e \frac{\partial \ln Z_e}{\partial e} \right)^{-1}$ 将 $Z_e = 1 + \frac{Z_e^{(1)}}{\epsilon}$ 代入并按 $1/\epsilon$ 展开，要求 $d=4$ 时的 $\beta(e)$ 必须是有限的，提取出有限部分得到公式： $\beta(e) = \frac{1}{2} e^2 \frac{\partial Z_e^{(1)}}{\partial e}$ 由前面的分析已知，电荷重整化常数中 $1/\epsilon$ 的系数为 $Z_e^{(1)} = \frac{e^2}{12\pi^2}$。代入公式计算： $\beta(e) = \frac{1}{2} e^2 \frac{\partial}{\partial e} \left( \frac{e^2}{12\pi^2} \right) = \frac{1}{2} e^2 \left( \frac{2e}{12\pi^2} \right) = \frac{e^3}{12\pi^2}$ 由于 $Z_e$ 仅依赖于真空极化 $Z_3$，而 $Z_3$ 独立于 $\xi$，因此 $\beta$ 函数同样是规范独立的。

$\boxed{ \beta(e) = \frac{e^3}{12\pi^2} }$

习题 66.4 - 解答

---

根据题意，在 $\overline{\text{DS}}$ 方案下，精细结构常数在 $M_W$ 能标下的跑动公式为：

其中 $\alpha = 1/137.036$。求和遍历所有质量小于 $M_W$ 的夸克和轻子，且夸克的每种颜色需单独计算（即夸克贡献需乘以颜色因子 $N_c = 3$）。

根据 Srednicki 教材第 83 章和第 88 章，相关粒子的质量和电荷如下：

• $W$ 玻色子：$M_W = 80.4 \text{ GeV}$
• 轻子（$Q = -1$）：$m_e = 0.511 \text{ MeV} = 0.511 \times 10^{-3} \text{ GeV}$，$m_\mu = 106 \text{ MeV} = 0.106 \text{ GeV}$，$m_\tau = 1.78 \text{ GeV}$
• 轻夸克（题目给定）：$m_u = m_d = m_s = 0.3 \text{ GeV}$，电荷分别为 $Q_u = 2/3$，$Q_d = -1/3$，$Q_s = -1/3$
• 重夸克：$m_c = 1.2 \text{ GeV}$ ($Q_c = 2/3$)，$m_b = 4.2 \text{ GeV}$ ($Q_b = -1/3$)
• 顶夸克：$m_t \approx 170 \text{ GeV} > M_W$，因此不包含在求和内。
• 中微子电荷为 $0$，不产生贡献。

我们将求和项分为轻子贡献和夸克贡献两部分进行计算：

1. 轻子贡献：

2. 夸克贡献： 对于夸克，需要乘以颜色因子 $N_c = 3$：

代入 $m_u = m_d = m_s = 0.3 \text{ GeV}$，前三项可以合并：

计算粲夸克 ($c$) 和底夸克 ($b$) 的贡献：

夸克总贡献为：

3. 综合计算 $\alpha(M_W)$： 将轻子和夸克的贡献相加，得到总的对数求和项：

代入跑动公式计算修正项：

因此，在 $M_W$ 能标下的精细结构常数倒数为：

取倒数即可得到 $\alpha(M_W)$ 的值：