习题 68.1 - 解答

---

a) 物理背景与推导过程

在旋量量子电动力学 (QED) 中，流关联函数 $C^{\mu\nu}(x,y) = \langle 0 | \text{T} j^\mu(x) j^\nu(y) | 0 \rangle$ 描述了真空中两个电磁流算符的传播与相互作用。通过傅里叶变换到动量空间，记为 $\tilde{C}^{\mu\nu}(k)$，该关联函数可以通过费曼图展开进行微扰计算。

在微扰展开中，流算符 $j^\mu = \bar{\psi}\gamma^\mu\psi$ 在费曼图中相当于一个去除了外部裸光子传播子的光子-费米子相互作用顶点。因此，流关联函数的所有连通费曼图，在拓扑结构上等价于光子自能（真空极化）的所有图，区别仅在于两端没有连接外部的裸光子线。

我们可以根据“单光子可约性”对这些图进行分类。定义 $\Pi^{\mu\nu}(k)$ 为单粒子不可约 (1PI) 真空极化张量，即所有包含两个外流顶点，且在切断任意一条内部光子线时不会断裂成两部分的费曼图之和。

任意一个一般的连通图都可以看作是由若干个 1PI 模块 $\Pi$ 通过内部裸光子传播子 $\tilde{\Delta}$ 串联而成的链。根据费曼规则，我们可以逐级写出这些贡献：

1. 仅包含 1 个 1PI 模块的图：直接给出 $\Pi^{\mu\nu}(k)$。
2. 包含 2 个 1PI 模块的图：两个模块由 1 条裸光子线连接，贡献为 $\Pi^{\mu\rho}(k) \tilde{\Delta}_{\rho\sigma}(k) \Pi^{\sigma\nu}(k)$。
3. 包含 3 个 1PI 模块的图：三个模块由 2 条裸光子线连接，贡献为 $\Pi^{\mu\rho}(k) \tilde{\Delta}_{\rho\alpha}(k) \Pi^{\alpha\beta}(k) \tilde{\Delta}_{\beta\sigma}(k) \Pi^{\sigma\nu}(k)$。

将所有可能数量的 1PI 模块构成的图求和（即戴森方程的迭代展开），流关联函数的傅里叶变换必然正比于这个无穷几何级数：

---

b) 证明 $\Pi^{\mu\nu}(k)$ 的横向性

根据 QED 的规范对称性，电磁流是严格守恒的，满足算符等式 $\partial_\mu j^\mu(x) = 0$。 在动量空间中，这意味着流关联函数满足 Ward-Takahashi 恒等式（在维数正规化下接触项为零）： $k_\mu \tilde{C}^{\mu\nu}(k) = 0$

将 a) 中得到的级数表达式代入上式，我们得到：

为了简化符号，定义向量 $V^\nu(k) \equiv k_\mu \Pi^{\mu\nu}(k)$。将 $k_\mu$ 作用于级数的每一项，上式可重写为：

提取左侧的公因子 $V^\rho(k)$，可以将其写成矩阵乘法的形式：

方括号内的项是一个矩阵的几何级数展开。定义矩阵 $X_\rho^\nu \equiv \tilde{\Delta}_{\rho\sigma}(k) \Pi^{\sigma\nu}(k)$，则方括号内的矩阵 $M_\rho^\nu$ 为：

在微扰理论中，真空极化张量起步于单圈图，因此 $\Pi^{\sigma\nu} \sim \mathcal{O}(e^2)$。这意味着 $X_\rho^\nu$ 是一个微扰小量，矩阵 $M_\rho^\nu = \delta_\rho^\nu + \mathcal{O}(e^2)$。 因为 $M_\rho^\nu$ 是单位矩阵加上一个微扰小量，其行列式不为零（$|M| = 1 + \mathcal{O}(e^2) \neq 0$），所以该矩阵在微扰论意义下是严格可逆的。

既然 $V^\rho(k) M_\rho^\nu = 0$ 且矩阵 $M_\rho^\nu$ 可逆，我们在等式两边同乘 $M$ 的逆矩阵，唯一的解必然是：

代回 $V^\rho(k)$ 的定义，即证明了真空极化张量满足横向性条件：

习题 68.2 - 解答

---

先分析题目要求与物理背景。题目要求在任意满足 $Z_1 = Z_2$ 的重整化方案下，在单圈（one-loop）水平验证量子电动力学（QED）中的 Ward-Takahashi 恒等式，即公式 (68.12)：

在 Srednicki 的约定中（使用 mostly plus 度规 $\eta_{\mu\nu} = (-,+,+,+)$），树图水平的顶点函数为 $\mathbf{V}^\mu_{\text{tree}} = i Z_1 e \gamma^\mu$，而精确费米子传播子的逆定义为 $\tilde{\mathbf{S}}(p)^{-1} = i Z_2 (\not{p} + m) + i\Sigma(p)$，其中 $\Sigma(p)$ 包含了所有的圈图自能修正。

由于题目假设重整化方案满足 $Z_1 = Z_2$，我们有 $Z_2^{-1} Z_1 = 1$ 严格成立。因此，抵消项（counterterms）在等式两边会自动精确相消，我们只需要验证纯单圈积分部分是否满足该恒等式。

第一步：将等式展开至单圈阶 $\mathcal{O}(e^3)$

令光子动量为 $q = p' - p$。 将顶点函数和传播子的逆展开到单圈水平：

其中 $\mathbf{V}^\mu_1$ 和 $\Sigma_1$ 分别是单圈顶点修正和单圈自能修正（不含抵消项）。

将上述展开代入公式 (68.12) 的左右两边。 左边 (LHS):

右边 (RHS): 由于 $Z_2^{-1} Z_1 = 1$，右边变为：

比较左右两边，树图阶的 $i e \not{q}$ 显然相等。为了使等式在单圈水平成立，我们必须证明以下关系：

第二步：写出单圈积分表达式

根据 Feynman 规则，自由费米子传播子为 $\tilde{\mathbf{S}}_0(p) = \frac{-i}{\not{p} + m}$，其逆为 $\tilde{\mathbf{S}}_0(p)^{-1} = i(\not{p} + m)$。设内部光子传播子为 $\tilde{\Delta}_{\alpha\beta}(k)$。

单圈顶点修正 $\mathbf{V}^\mu_1(p', p)$:

单圈自能修正 $\Sigma_1(p)$: 在 Srednicki 约定中，单圈 1PI 自能图的值为 $-i\Sigma_{1PI}$，且 $\tilde{\mathbf{S}}(p) = \frac{-i}{\not{p} + m + \Sigma(p)}$，因此 $\Sigma_1(p) = i \times (1PI \text{ 积分})$：

第三步：利用代数 Ward 恒等式进行推导

将 $q_\mu$ 缩并到单圈顶点修正的积分中：

注意中间的项 $i e \not{q}$。由于 $q = p' - p = (p'-k) - (p-k)$，我们可以将其改写为两个自由传播子逆的差：

将其代入积分的被积函数中，相邻的传播子会发生相消：

将这个代数恒等式代回 $q_\mu \mathbf{V}^\mu_1(p', p)$ 的积分中，积分自然分裂为两项：

观察式 (2) 中 $\Sigma_1(p)$ 的定义，我们可以识别出上述两个积分正是自能修正项（相差一个因子 $i$）：

因此，代入后得到：

这完全等价于我们在第一步中得出的单圈匹配条件式 (1)。

结论

通过显式计算单圈积分并利用传播子的代数恒等式，我们证明了在 $Z_1 = Z_2$ 的前提下，单圈顶点修正与单圈自能修正严格满足 Ward-Takahashi 恒等式的展开形式。

习题 68.3 - 解答

---

习题 68.3 分析与解答

a) 标量-标量-光子顶点的 Ward-Takahashi 恒等式

首先，考虑 Noether 流 $J^\mu(x)$ 的散度。利用正则对易关系，我们可以计算等时对易子。由拉格朗日量可知，标量场的共轭动量为 $\Pi = Z_2 \dot{\varphi}^\dagger + \dots$，从而流的零分量可以写为 $J^0 = -ieZ_2(\varphi^\dagger \dot{\varphi} - \dot{\varphi}^\dagger \varphi) + \dots = -ie(\varphi^\dagger \Pi^\dagger - \Pi \varphi)$。 利用基本对易关系 $[\Pi(x), \varphi(y)] = -i\delta^3(\vec{x}-\vec{y})$，我们得到： $[J^0(x), \varphi(y)]\delta(x^0-y^0) = -e \varphi(x) \delta^4(x-y), \quad [J^0(x), \varphi^\dagger(z)]\delta(x^0-z^0) = e \varphi^\dagger(x) \delta^4(x-z)$ 对编时乘积求散度，利用 $\partial_\mu J^\mu = 0$，得到位置空间中的 Ward-Takahashi (WT) 恒等式： $\partial_\mu^x \langle 0 | \text{T} J^\mu(x) \varphi(y) \varphi^\dagger(z) | 0 \rangle = -e \delta^4(x-y) \langle 0 | \text{T} \varphi(x) \varphi^\dagger(z) | 0 \rangle + e \delta^4(x-z) \langle 0 | \text{T} \varphi(y) \varphi^\dagger(x) | 0 \rangle$ 对其进行傅里叶变换 $\int d^4x d^4y d^4z e^{-ikx - ipy + ip'z}$，其中 $k = p' - p$，得到： -i k_\mu G^\mu(k, p', p) = -e \left[ \tilde{\Delta}(p') - \tilde{\Delta}(p) \right] \tag{1} 其中 $G^\mu$ 是流的格林函数。另一方面，流 $J^\mu$ 与光子运动方程中的电磁流 $J^\mu_{\text{em}} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_\mu}$ 存在比例关系。通过比较系数可知 $J^\mu_{\text{em}} = -\frac{Z_1}{Z_2} J^\mu$。 在费曼规范下，光子的运动方程为 $\square A^\mu = J^\mu_{\text{em}}$，因此 $J^\mu = -\frac{Z_2}{Z_1} \square A^\mu$。将其代入格林函数中，并利用连通格林函数与 1PI 顶点函数 $\mathbf{V}_3^\mu$ 的关系 $\langle A^\mu \varphi \varphi^\dagger \rangle = \tilde{D}^{\mu\nu} \mathbf{V}_{3\nu} \tilde{\Delta}(p') \tilde{\Delta}(p)$，以及 $-k^2 \tilde{D}^{\mu\nu} = i g^{\mu\nu}$，我们得到： G^\mu(k, p', p) = -i \frac{Z_2}{Z_1} \mathbf{V}_3^\mu(p', p) \tilde{\Delta}(p') \tilde{\Delta}(p) \tag{2} 将 (2) 代入 (1) 中，消去 $-i$ 并除以 $\tilde{\Delta}(p') \tilde{\Delta}(p)$，得到： $k_\mu \frac{Z_2}{Z_1} \mathbf{V}_3^\mu(p', p) = e \left[ \tilde{\Delta}(p)^{-1} - \tilde{\Delta}(p')^{-1} \right]$ 代入 $k = p' - p$ 并整理符号，即得： $\boxed{ (p' - p)_\mu \mathbf{V}_3^\mu(p', p) = Z_2^{-1} Z_1 e \left[ \tilde{\Delta}(p')^{-1} - \tilde{\Delta}(p)^{-1} \right] }$

b) 证明 $Z_1 = Z_2$

在在壳 (OS) 重整化方案中，重整化标量传播子在极点 $p^2 = m^2$ 处的留数为 1，即 $\tilde{\Delta}(p)^{-1} = p^2 - m^2 + \mathcal{O}((p^2 - m^2)^2)$。同时，物理电荷 $e$ 定义为光子动量 $q \to 0$ 时的顶点强度，即当 $p^2 = p'^2 = m^2$ 时，$\mathbf{V}_3^\mu(p, p) = 2e p^\mu$。 令 $p' = p + q$，在 $q \to 0$ 的极限下对 a) 中的 WT 恒等式两侧展开： $\text{LHS} = q_\mu \mathbf{V}_3^\mu(p, p) = q_\mu (2e p^\mu)$ $\text{RHS} = Z_2^{-1} Z_1 e \, q_\mu \frac{\partial}{\partial p_\mu} \tilde{\Delta}(p)^{-1} = Z_2^{-1} Z_1 e \, q_\mu (2p^\mu)$ 比较两侧立即得到 $Z_1 Z_2^{-1} = 1$，即 $Z_1 = Z_2$。 在 $\overline{\text{MS}}$ 方案中，重整化常数 $Z_1$ 和 $Z_2$ 仅包含发散极点（形如 $1 + \sum a_n/\epsilon^n$）。由于 WT 恒等式是精确成立的算符等式，它要求 $Z_1 / Z_2$ 必须是一个有限值以吸收两侧的差异。然而 $\overline{\text{MS}}$ 方案中不包含任何有限部分的抵消项，因此该有限比值只能严格等于 1，从而在 $\overline{\text{MS}}$ 方案中同样有 $Z_1 = Z_2$。

c) 标量-标量-双光子顶点的 Ward-Takahashi 恒等式

考虑四点格林函数 $G^{\mu\nu}(x, w, y, z) = \langle 0 | \text{T} J^\mu(x) A^\nu(w) \varphi(y) \varphi^\dagger(z) | 0 \rangle$。对其关于 $x$ 求散度，由于 $[J^0(x), A^\nu(w)] = 0$，等时对易子仅作用于标量场： $\partial_\mu^x G^{\mu\nu} = -e \delta^4(x-y) \langle \text{T} A^\nu(w) \varphi(x) \varphi^\dagger(z) \rangle + e \delta^4(x-z) \langle \text{T} A^\nu(w) \varphi(y) \varphi^\dagger(x) \rangle$ 进行傅里叶变换，设 $J^\mu$ 动量为 $k$，$A^\nu$ 动量为 $q$，标量场动量分别为 $p$ 和 $p'$，得到： k_\mu G^{\mu\nu}(k, q, p', p) = i e \left[ G^\nu(q, p', p+k) - G^\nu(q, p'-k, p) \right] \tag{3} 其中 $G^\nu$ 是单光子-双标量连通格林函数。与 a) 类似，利用运动方程可将 $G^{\mu\nu}$ 关联到连通四点函数 $\mathbf{M}^{\mu\nu}$： $G^{\mu\nu} = \frac{Z_2}{Z_1} \mathbf{M}^{\mu\nu} \tilde{\Delta}(p') \tilde{\Delta}(p)$ 连通图 $\mathbf{M}^{\mu\nu}$ 由 1PI 四点顶点 $\mathbf{V}_4^{\mu\nu}$ 和两个单粒子可约图（光子分别插入标量线）组成： $\mathbf{M}^{\mu\nu} = \mathbf{V}_4^{\mu\nu} + \mathbf{V}_3^\mu(p', p'-k) \tilde{\Delta}(p'-k) \mathbf{V}_3^\nu(p'-k, p) + \mathbf{V}_3^\nu(p', p+k) \tilde{\Delta}(p+k) \mathbf{V}_3^\mu(p+k, p)$ 将上式两边同乘 $k_\mu$，并对可约图中的 $\mathbf{V}_3^\mu$ 使用 a) 中证明的 WT 恒等式： $k_\mu \mathbf{V}_3^\mu(p', p'-k) = e \frac{Z_1}{Z_2} \left[ \tilde{\Delta}(p')^{-1} - \tilde{\Delta}(p'-k)^{-1} \right]$ $k_\mu \mathbf{V}_3^\mu(p+k, p) = e \frac{Z_1}{Z_2} \left[ \tilde{\Delta}(p+k)^{-1} - \tilde{\Delta}(p)^{-1} \right]$ 代入展开后，传播子逆 $\tilde{\Delta}^{-1}$ 会与相邻的 $\tilde{\Delta}$ 抵消，产生形如 $e \frac{Z_1}{Z_2} \mathbf{V}_3^\nu$ 的项。 同时，将 (3) 式右侧的 $G^\nu$ 用 $\mathbf{V}_3^\nu$ 展开并除以整体因子 $\frac{Z_2}{Z_1} \tilde{\Delta}(p') \tilde{\Delta}(p)$，我们得到等式右侧为： $e \frac{Z_1}{Z_2} \left[ \tilde{\Delta}(p')^{-1} \tilde{\Delta}(p'-k) \mathbf{V}_3^\nu(p'-k, p) - \tilde{\Delta}(p)^{-1} \tilde{\Delta}(p+k) \mathbf{V}_3^\nu(p', p+k) \right]$ 将 $k_\mu \mathbf{M}^{\mu\nu}$ 的展开式与上式等号右侧对比，所有包含 $\tilde{\Delta}^{-1}\tilde{\Delta}$ 的项精确相消，最终只剩下： $k_\mu \mathbf{V}_4^{\mu\nu} - e \frac{Z_1}{Z_2} \mathbf{V}_3^\nu(p'-k, p) + e \frac{Z_1}{Z_2} \mathbf{V}_3^\nu(p', p+k) = 0$ 移项并利用规范不变性要求的关系 $Z_4 = Z_1^2 / Z_2$（即 $\frac{Z_1}{Z_2} = Z_1^{-1} Z_4$），即得最终的 Ward-Takahashi 恒等式： $\boxed{ k_{\mu} \mathbf{V}_{4}^{\mu\nu}(k, p', p) = Z_{1}^{-1} Z_{4} e \left[ \mathbf{V}_{3}^{\nu}(p' - k, p) - \mathbf{V}_{3}^{\nu}(p', p + k) \right] }$