Gauge Field Notes
72.1

Problem 72.1

srednickiChapter 72

习题 72.1

来源: 第72章, PDF第426页

72.1 Consider a complex scalar field φi\varphi_i in a representation R of the gauge group. Find the vertices that involve this field, and the associated vertex factors.

习题 72.1 - 解答

为了寻找包含复标量场 φi\varphi_i 的相互作用顶点及其对应的顶点因子（Vertex factors），我们需要从该场在规范群表示 RR 下的拉格朗日量出发，提取出相互作用项。

首先，复标量场 φi\varphi_i 与非阿贝尔规范场 AμaA_\mu^a 耦合的动力学项由协变导数给出： Lkin=(Dμφ)i†(Dμφ)i\mathcal{L}_{\text{kin}} = (D_\mu \varphi)^\dagger_i (D^\mu \varphi)_i 其中，协变导数定义为： Dμφi=∂μφi−igAμa(Ta)ijφjD_\mu \varphi_i = \partial_\mu \varphi_i - i g A_\mu^a (T^a)_{ij} \varphi_j 这里 gg 是规范耦合常数，TaT^a 是规范群在表示 RR 下的生成元（满足厄米性 (Ta)†=Ta(T^a)^\dagger = T^a），aa 是伴随表示的色指数，i,ji, j 是表示 RR 的内部空间指数。

对其取厄米共轭，得到： (Dμφ)i†=∂μφi†+igAμaφj†(Ta)ji(D_\mu \varphi)^\dagger_i = \partial_\mu \varphi^\dagger_i + i g A_\mu^a \varphi^\dagger_j (T^a)_{ji}

下面将动力学项展开，分离出自由传播项和相互作用项： Lkin=(∂μφi†+igAμaφj†(Ta)ji)(∂μφi−igAμb(Tb)ikφk)=∂μφi†∂μφi−igAμb(∂μφi†)(Tb)ikφk+igAμaφj†(Ta)ji(∂μφi)+g2AμaAμbφj†(Ta)ji(Tb)ikφk\begin{aligned} \mathcal{L}_{\text{kin}} &= \left( \partial_\mu \varphi^\dagger_i + i g A_\mu^a \varphi^\dagger_j (T^a)_{ji} \right) \left( \partial^\mu \varphi_i - i g A^{\mu b} (T^b)_{ik} \varphi_k \right) \\ &= \partial_\mu \varphi^\dagger_i \partial^\mu \varphi_i - i g A^{\mu b} (\partial_\mu \varphi^\dagger_i) (T^b)_{ik} \varphi_k + i g A_\mu^a \varphi^\dagger_j (T^a)_{ji} (\partial^\mu \varphi_i) + g^2 A_\mu^a A^{\mu b} \varphi^\dagger_j (T^a)_{ji} (T^b)_{ik} \varphi_k \end{aligned}

通过重命名哑指标（将第二项的 b,kb, k 换为 a,ja, j，将第三项的 jj 换为 ii、ii 换为 jj），我们可以将相互作用拉格朗日量 Lint\mathcal{L}_{\text{int}} 分为三点相互作用 L3\mathcal{L}_3 和四点相互作用 L4\mathcal{L}_4 两部分： Lint=L3+L4\mathcal{L}_{\text{int}} = \mathcal{L}_3 + \mathcal{L}_4 L3=igAμa[φi†(Ta)ij(∂μφj)−(∂μφi†)(Ta)ijφj]\mathcal{L}_3 = i g A_\mu^a \left[ \varphi^\dagger_i (T^a)_{ij} (\partial^\mu \varphi_j) - (\partial^\mu \varphi^\dagger_i) (T^a)_{ij} \varphi_j \right] L4=g2AμaAμbφi†(TaTb)ijφj\mathcal{L}_4 = g^2 A_\mu^a A^{\mu b} \varphi^\dagger_i (T^a T^b)_{ij} \varphi_j

接下来分两步处理，推导对应的动量空间顶点因子。

1. 三点顶点 (Three-point vertex)

物理背景与约定：该顶点包含一个规范玻色子 AμaA_\mu^a、一个入射标量粒子 φj\varphi_j 和一个出射标量粒子 φi\varphi_i（等价于入射的反粒子 φi†\varphi^\dagger_i）。 设标量粒子 φj\varphi_j 的入射动量为 pp，出射标量粒子 φi\varphi_i 的动量为 p′p'（即反粒子 φi†\varphi^\dagger_i 的入射动量为 −p′-p'）。 在动量空间中，平面波展开给出导数替换规则：∂μφj→−ipμφj\partial^\mu \varphi_j \to -i p^\mu \varphi_j，∂μφi†→ip′μφi†\partial^\mu \varphi^\dagger_i \to i p'^\mu \varphi^\dagger_i。

将动量替换代入作用量 iS3=i∫d4xL3i S_3 = i \int d^4x \mathcal{L}_3 中： iL3→i(ig)Aμa[φi†(Ta)ij(−ipμφj)−(ip′μφi†)(Ta)ijφj]=−gAμaφi†(Ta)ijφj(−ipμ−ip′μ)=ig(p+p′)μAμaφi†(Ta)ijφj\begin{aligned} i \mathcal{L}_3 &\to i (i g) A_\mu^a \left[ \varphi^\dagger_i (T^a)_{ij} (-i p^\mu \varphi_j) - (i p'^\mu \varphi^\dagger_i) (T^a)_{ij} \varphi_j \right] \\ &= -g A_\mu^a \varphi^\dagger_i (T^a)_{ij} \varphi_j \left( -i p^\mu - i p'^\mu \right) \\ &= i g (p + p')^\mu A_\mu^a \varphi^\dagger_i (T^a)_{ij} \varphi_j \end{aligned} 剥离掉场算符后，得到三点顶点因子： ig(p+p′)μ(Ta)ij\boxed{ i g (p + p')^\mu (T^a)_{ij} } (注：pp 为顺着标量场箭头方向流入顶点的动量，p′p' 为顺着箭头方向流出顶点的动量。)

2. 四点顶点 (Four-point vertex)

物理背景与约定：该顶点包含两个规范玻色子 Aμa(k1)A_\mu^a(k_1) 和 Aνb(k2)A_\nu^b(k_2)，以及两个标量场 φj\varphi_j 和 φi†\varphi^\dagger_i。 对应的作用量项为 iS4=i∫d4xL4i S_4 = i \int d^4x \mathcal{L}_4： iL4=ig2gμνAμaAνbφi†(TaTb)ijφji \mathcal{L}_4 = i g^2 g^{\mu\nu} A_\mu^a A_\nu^b \varphi^\dagger_i (T^a T^b)_{ij} \varphi_j

由于顶点连接了两个全同的规范玻色子场 AμaA_\mu^a 和 AνbA_\nu^b，在计算费曼规则（即对场求泛函导数）时，必须对这两个规范场的洛伦兹指数和色指数进行对称化处理。交换 (a,μ)(a, \mu) 和 (b,ν)(b, \nu) 会产生对称因子 2： AμaAνb(TaTb)ij=12AμaAνb((TaTb)ij+(TbTa)ij)=12AμaAνb{Ta,Tb}ijA_\mu^a A_\nu^b (T^a T^b)_{ij} = \frac{1}{2} A_\mu^a A_\nu^b \left( (T^a T^b)_{ij} + (T^b T^a)_{ij} \right) = \frac{1}{2} A_\mu^a A_\nu^b \{T^a, T^b\}_{ij} 其中 {Ta,Tb}=TaTb+TbTa\{T^a, T^b\} = T^a T^b + T^b T^a 是生成元的反对易子。

求导消去对称因子 12\frac{1}{2} 并剥离场算符后，得到四点（海鸥图）顶点因子： ig2gμν{Ta,Tb}ij\boxed{ i g^2 g^{\mu\nu} \{T^a, T^b\}_{ij} }