习题 75.1 - 解答

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在四维量子场论中，规范反常（Gauge Anomaly）来源于包含三个规范玻色子外线的单圈三角形费米子图。为了使理论在量子层面上保持规范对称性（即反常相消），所有左手 Weyl 费米子对三角形图的贡献之和必须为零。

反常系数正比于规范群生成元的完全对称迹： $\mathcal{A}^{abc} \propto \sum_i \text{Tr}_{R_i} \left( \{T^a_i, T^b_i\} T^c_i \right)$ 其中求和遍历所有左手 Weyl 费米子场，$\{T^a, T^b\} = T^a T^b + T^b T^a$ 为反对易子。

对于规范群 $G \times U(1)$，外线规范玻色子可以是 $G$ 的规范玻色子或 $U(1)$ 的规范玻色子。此外，还必须考虑引力子外线带来的混合规范-引力反常。设 $G$ 的生成元在表示 $R_i$ 下为 $T^a(R_i)$，$U(1)$ 的生成元为电荷 $Q_i$。我们需要分别计算所有可能的三角形图组合。

1. $G - G - G$ 反常 (纯非阿贝尔反常)

三个外线均为非阿贝尔群 $G$ 的规范玻色子。反常相消条件为： $\sum_i \text{Tr} \left( \{T^a(R_i), T^b(R_i)\} T^c(R_i) \right) = 0$ 通常定义非阿贝尔群表示的反常系数 $A(R_i)$ 为 $\text{Tr} \left( \{T^a(R_i), T^b(R_i)\} T^c(R_i) \right) = A(R_i) d^{abc}$，其中 $d^{abc}$ 是群 $G$ 的完全对称张量。因此该条件化简为： $\sum_i A(R_i) = 0$

2. $G - G - U(1)$ 反常 (混合反常)

两个外线为 $G$ 的规范玻色子，一个外线为 $U(1)$ 规范玻色子。反常相消条件为： $\sum_i \text{Tr} \left( \{T^a(R_i), T^b(R_i)\} Q_i \right) = 0$ 由于 $U(1)$ 电荷 $Q_i$ 在表示 $R_i$ 的空间中正比于单位矩阵，它可以从迹中提取出来： $\sum_i Q_i \text{Tr} \left( \{T^a(R_i), T^b(R_i)\} \right) = 2 \sum_i Q_i \text{Tr} \left( T^a(R_i) T^b(R_i) \right) = 0$ 引入表示 $R_i$ 的 Dynkin 指数 $T(R_i)$，其定义为 $\text{Tr} \left( T^a(R_i) T^b(R_i) \right) = T(R_i) \delta^{ab}$。代入上式得到条件： $\sum_i Q_i T(R_i) = 0$

3. $G - U(1) - U(1)$ 反常

一个外线为 $G$ 的规范玻色子，两个外线为 $U(1)$ 规范玻色子。反常相消条件为： $\sum_i \text{Tr} \left( \{T^a(R_i), Q_i\} Q_i \right) = 2 \sum_i Q_i^2 \text{Tr} \left( T^a(R_i) \right) = 0$ 对于任何半单（semi-simple）非阿贝尔李代数，其生成元都是无迹的，即 $\text{Tr} \left( T^a(R_i) \right) = 0$。因此，该条件自动满足，不构成新的约束。

4. $U(1) - U(1) - U(1)$ 反常 (纯 $U(1)$ 反常)

三个外线均为 $U(1)$ 规范玻色子。反常相消条件为： $\sum_i \text{Tr} \left( \{Q_i, Q_i\} Q_i \right) = 2 \sum_i \text{Tr} \left( Q_i^3 \right) = 0$ 由于费米子处于 $G$ 的表示 $R_i$ 中，迹的计算需要乘以该表示的维数 $d(R_i)$。因此条件为： $\sum_i d(R_i) Q_i^3 = 0$

5. 混合规范-引力反常

包含一个规范玻色子和两个引力子外线的三角形图。

• 对于 $G$ 规范玻色子，条件正比于 $\sum_i \text{Tr}(T^a(R_i)) = 0$，自动满足。
• 对于 $U(1)$ 规范玻色子，条件正比于所有费米子 $U(1)$ 电荷的迹。同样需要考虑非阿贝尔表示的维数： $\sum_i \text{Tr}(Q_i) = \sum_i d(R_i) Q_i = 0$

结论汇总

综合以上分析，为了使包含 $G \times U(1)$ 规范对称性的理论无反常，左手 Weyl 费米子的表示 $(R_i, Q_i)$ 必须满足以下四个代数方程。

(注：其中 $A(R_i)$ 为表示 $R_i$ 的反常系数，$T(R_i)$ 为 Dynkin 指数，$d(R_i)$ 为表示 $R_i$ 的维数。)