Gauge Field Notes
76.1

Problem 76.1

srednickiChapter 76

习题 76.1

来源: 第76章, PDF第458页

76.1 Verify that the right-hand side of eq. (76.29) is exactly what we get in free-field theory for the matrix element of the right-hand side of eq. (76.14).

Referenced Equations:

Equation (76.14):

∂μjAμ=−g216π2εμνρσFμνFρσ .(76.14)\partial_\mu j_A^\mu = -\frac{g^2}{16\pi^2} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu} F_{\rho\sigma} \, . \tag{76.14}

Equation (76.29):

⟨p,q∣∂ρjAρ(z)∣0⟩=−g22π2εμναβpαqβεμεν′e−i(p+q)z+O(g4).(76.29)\langle p, q | \partial_\rho j_A^\rho(z) | 0 \rangle = -\frac{g^2}{2\pi^2} \varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta} p_\alpha q_\beta \varepsilon_\mu \varepsilon'_\nu e^{-i(p+q)z} + O(g^4) . \tag{76.29}

习题 76.1 - 解答

习题分析

本题要求在自由场理论下，计算方程 (76.14) 右侧算符在真空 ∣0⟩|0\rangle 与双光子态 ⟨p,q∣\langle p, q| 之间的矩阵元，并验证其结果恰好等于方程 (76.29) 的右侧。

方程 (76.14) 的右侧算符为： O(z)=−g216π2εμνρσFμν(z)Fρσ(z)O(z) = -\frac{g^2}{16\pi^2} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}(z) F_{\rho\sigma}(z) 我们需要计算的矩阵元是 ⟨p,q∣O(z)∣0⟩\langle p, q | O(z) | 0 \rangle。其中，出态 ⟨p,q∣\langle p, q| 包含两个光子，其动量分别为 pp 和 qq，对应的极化矢量分别为 ε\varepsilon 和 ε′\varepsilon'。

解题过程

在自由场理论中，电磁场张量定义为： Fμν(z)=∂μAν(z)−∂νAμ(z)F_{\mu\nu}(z) = \partial_\mu A_\nu(z) - \partial_\nu A_\mu(z) 根据傅里叶展开约定（产生算符伴随 e−ikze^{-ikz}），规范场 Aμ(z)A_\mu(z) 作用于真空产生一个动量为 pp、极化为 ε\varepsilon 的单光子态的矩阵元为： ⟨p∣Aμ(z)∣0⟩=εμe−ipz\langle p | A_\mu(z) | 0 \rangle = \varepsilon_\mu e^{-ipz} 因此，场强张量 Fμν(z)F_{\mu\nu}(z) 产生单光子的矩阵元为： ⟨p∣Fμν(z)∣0⟩=∂μ(ενe−ipz)−∂ν(εμe−ipz)=−i(pμεν−pνεμ)e−ipz\langle p | F_{\mu\nu}(z) | 0 \rangle = \partial_\mu (\varepsilon_\nu e^{-ipz}) - \partial_\nu (\varepsilon_\mu e^{-ipz}) = -i(p_\mu \varepsilon_\nu - p_\nu \varepsilon_\mu) e^{-ipz} 同理，对于动量为 qq、极化为 ε′\varepsilon' 的光子： ⟨q∣Fρσ(z)∣0⟩=−i(qρεσ′−qσερ′)e−iqz\langle q | F_{\rho\sigma}(z) | 0 \rangle = -i(q_\rho \varepsilon'_\sigma - q_\sigma \varepsilon'_\rho) e^{-iqz}

下面计算双光子矩阵元 ⟨p,q∣Fμν(z)Fρσ(z)∣0⟩\langle p, q | F_{\mu\nu}(z) F_{\rho\sigma}(z) | 0 \rangle。根据 Wick 定理（或玻色对称性），算符中的两个 FF 场有两种方式与出态中的两个光子进行收缩：

  1. FμνF_{\mu\nu} 产生光子 pp，FρσF_{\rho\sigma} 产生光子 qq；
  2. FμνF_{\mu\nu} 产生光子 qq，FρσF_{\rho\sigma} 产生光子 pp。

将这两种收缩相加，我们得到： ⟨p,q∣Fμν(z)Fρσ(z)∣0⟩=⟨p∣Fμν(z)∣0⟩⟨q∣Fρσ(z)∣0⟩+⟨q∣Fμν(z)∣0⟩⟨p∣Fρσ(z)∣0⟩\langle p, q | F_{\mu\nu}(z) F_{\rho\sigma}(z) | 0 \rangle = \langle p | F_{\mu\nu}(z) | 0 \rangle \langle q | F_{\rho\sigma}(z) | 0 \rangle + \langle q | F_{\mu\nu}(z) | 0 \rangle \langle p | F_{\rho\sigma}(z) | 0 \rangle 代入单光子矩阵元，提取公因子 (−i)2e−i(p+q)z=−e−i(p+q)z(-i)^2 e^{-i(p+q)z} = -e^{-i(p+q)z}： ⟨p,q∣Fμν(z)Fρσ(z)∣0⟩=−e−i(p+q)z[(pμεν−pνεμ)(qρεσ′−qσερ′)+(qμεν′−qνεμ′)(pρεσ−pσερ)]\langle p, q | F_{\mu\nu}(z) F_{\rho\sigma}(z) | 0 \rangle = - e^{-i(p+q)z} \Big[ (p_\mu \varepsilon_\nu - p_\nu \varepsilon_\mu)(q_\rho \varepsilon'_\sigma - q_\sigma \varepsilon'_\rho) + (q_\mu \varepsilon'_\nu - q_\nu \varepsilon'_\mu)(p_\rho \varepsilon_\sigma - p_\sigma \varepsilon_\rho) \Big]

接下来，将上述结果与全反对称张量 εμνρσ\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} 缩并。 分两步处理括号中的两项：

第一项收缩： εμνρσ(pμεν−pνεμ)(qρεσ′−qσερ′)\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} (p_\mu \varepsilon_\nu - p_\nu \varepsilon_\mu)(q_\rho \varepsilon'_\sigma - q_\sigma \varepsilon'_\rho) 展开后有四个项。利用 εμνρσ\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} 的全反对称性，可以交换哑指标使得这四项完全相同。例如，−εμνρσpμενqσερ′=εμνσρpμενqσερ′=εμνρσpμενqρεσ′-\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} p_\mu \varepsilon_\nu q_\sigma \varepsilon'_\rho = \varepsilon^{\mu\nu\sigma\rho} p_\mu \varepsilon_\nu q_\sigma \varepsilon'_\rho = \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} p_\mu \varepsilon_\nu q_\rho \varepsilon'_\sigma。因此该式化简为： 4εμνρσpμενqρεσ′4 \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} p_\mu \varepsilon_\nu q_\rho \varepsilon'_\sigma 为了与目标公式 (76.29) 的指标结构匹配，我们重命名哑指标：μ→α,ν→μ,ρ→β,σ→ν\mu \to \alpha, \nu \to \mu, \rho \to \beta, \sigma \to \nu，得到： 4εαμβνpαεμqβεν′4 \varepsilon^{\alpha\mu\beta\nu} p_\alpha \varepsilon_\mu q_\beta \varepsilon'_\nu 由于将排列 (α,μ,β,ν)(\alpha, \mu, \beta, \nu) 交换为 (μ,ν,α,β)(\mu, \nu, \alpha, \beta) 需要奇数次（5次）相邻对换，故 εαμβν=−εμναβ\varepsilon^{\alpha\mu\beta\nu} = -\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}。因此第一项贡献为： −4εμναβpαqβεμεν′-4 \varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta} p_\alpha q_\beta \varepsilon_\mu \varepsilon'_\nu

第二项收缩： εμνρσ(qμεν′−qνεμ′)(pρεσ−pσερ)=4εμνρσqμεν′pρεσ\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} (q_\mu \varepsilon'_\nu - q_\nu \varepsilon'_\mu)(p_\rho \varepsilon_\sigma - p_\sigma \varepsilon_\rho) = 4 \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} q_\mu \varepsilon'_\nu p_\rho \varepsilon_\sigma 同样重命名哑指标：μ→β,ν→ν,ρ→α,σ→μ\mu \to \beta, \nu \to \nu, \rho \to \alpha, \sigma \to \mu，得到： 4εβναμqβεν′pαεμ=4εβναμpαqβεμεν′4 \varepsilon^{\beta\nu\alpha\mu} q_\beta \varepsilon'_\nu p_\alpha \varepsilon_\mu = 4 \varepsilon^{\beta\nu\alpha\mu} p_\alpha q_\beta \varepsilon_\mu \varepsilon'_\nu 将排列 (β,ν,α,μ)(\beta, \nu, \alpha, \mu) 交换为 (μ,ν,α,β)(\mu, \nu, \alpha, \beta) 仅需交换首尾指标（1次对换），故 εβναμ=−εμναβ\varepsilon^{\beta\nu\alpha\mu} = -\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}。因此第二项贡献同样为： −4εμναβpαqβεμεν′-4 \varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta} p_\alpha q_\beta \varepsilon_\mu \varepsilon'_\nu

综合计算最终矩阵元： 将两项贡献相加，代回原矩阵元表达式中： ⟨p,q∣εμνρσFμν(z)Fρσ(z)∣0⟩=−e−i(p+q)z[−4εμναβpαqβεμεν′−4εμναβpαqβεμεν′]\langle p, q | \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}(z) F_{\rho\sigma}(z) | 0 \rangle = - e^{-i(p+q)z} \Big[ -4 \varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta} p_\alpha q_\beta \varepsilon_\mu \varepsilon'_\nu - 4 \varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta} p_\alpha q_\beta \varepsilon_\mu \varepsilon'_\nu \Big] =8εμναβpαqβεμεν′e−i(p+q)z= 8 \varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta} p_\alpha q_\beta \varepsilon_\mu \varepsilon'_\nu e^{-i(p+q)z}

最后，乘上方程 (76.14) 右侧的整体系数 −g216π2-\frac{g^2}{16\pi^2}： ⟨p,q∣−g216π2εμνρσFμν(z)Fρσ(z)∣0⟩=−g216π2×8εμναβpαqβεμεν′e−i(p+q)z\langle p, q | -\frac{g^2}{16\pi^2} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}(z) F_{\rho\sigma}(z) | 0 \rangle = -\frac{g^2}{16\pi^2} \times 8 \varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta} p_\alpha q_\beta \varepsilon_\mu \varepsilon'_\nu e^{-i(p+q)z} =−g22π2εμναβpαqβεμεν′e−i(p+q)z= -\frac{g^2}{2\pi^2} \varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta} p_\alpha q_\beta \varepsilon_\mu \varepsilon'_\nu e^{-i(p+q)z}

这完全等同于方程 (76.29) 的右侧，验证完毕。

⟨p,q∣∂ρjAρ(z)∣0⟩=−g22π2εμναβpαqβεμεν′e−i(p+q)z\boxed{ \langle p, q | \partial_\rho j_A^\rho(z) | 0 \rangle = -\frac{g^2}{2\pi^2} \varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta} p_\alpha q_\beta \varepsilon_\mu \varepsilon'_\nu e^{-i(p+q)z} }