习题 77.1 - 解答

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为了证明 eq. (77.35) 的右端项为零当且仅当反常系数 $A(\mathrm{R}) = 0$，我们需要将规范场按生成元展开，并利用群生成元的迹恒等式对右端项进行化简。

eq. (77.35) 的右端项为：

将规范场写为 $A_\mu = A_\mu^b T_R^b$，代入上式可将其分为两部分进行分析：

1. 分析第一项（包含三个生成元的迹）

对于第一项，利用三个生成元的迹恒等式：

其中 $d^{abc}$ 是全对称张量，$f^{abc}$ 是全反对称的结构常数。将此代入第一项中，考察与 $f^{abc}$ 成正比的部分：

定义张量 $S^{bc} = \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \partial_\mu A_\nu^b \partial_\rho A_\sigma^c$。通过交换哑指标 $\mu \leftrightarrow \rho$ 和 $\nu \leftrightarrow \sigma$，我们有：

可见 $S^{bc}$ 关于 $b, c$ 是对称的。由于 $f^{abc}$ 关于 $b, c$ 反对称，它们的缩并必然为零（$f^{abc} S^{bc} = 0$）。因此，第一项中 $T(R)$ 的贡献消失，仅留下与 $A(R)$ 成正比的部分：

2. 分析第二项（包含四个生成元的迹）

对于第二项，由于 $\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$ 的存在，乘积 $A_\nu^b A_\rho^c A_\sigma^d$ 关于指标 $b, c, d$ 是全反对称的。因此，迹 $\text{Tr}(T_R^a T_R^b T_R^c T_R^d)$ 中只有关于 $b, c, d$ 全反对称的部分 $T_R^{[b} T_R^c T_R^{d]}$ 会产生非零贡献。 我们可以用对易子将全反对称部分展开：

将其与 $T_R^a$ 相乘并求迹：

再次使用迹恒等式 $\text{Tr}(T_R^a T_R^b T_R^e) = \frac{1}{2} A(R) d^{abe} + \frac{i}{2} T(R) f^{abe}$。此时，与 $T(R)$ 成正比的部分为：

根据李代数的雅可比恒等式（Jacobi identity），括号内的结构常数之和严格为零。因此，$T(R)$ 的贡献再次消失，只剩下 $A(R)$ 的贡献：

将此结果与全反对称张量 $A_\nu^b A_\rho^c A_\sigma^d$ 缩并。由于 $b, c, d$ 的轮换是偶排列，括号内的三项给出的贡献完全相同，合并后得到：

3. 综合结论

将上述两项的结果代回原式，我们得到 eq. (77.35) 右端项的最终化简形式：

从上式可以清晰地看出，整个右端项严格正比于反常系数 $A(R)$。

• 充分性：如果 $A(R) = 0$，则显然 $\text{RHS} \equiv 0$。
• 必要性：方括号内的运动学因子（即陈-西蒙斯 3-形式的导数）对于一般的规范场位形并不恒为零。例如，在 $x=0$ 邻域内选取规范场位形 $A_\mu^a(x) = F_{\mu\lambda}^a x^\lambda$（其中 $F_{\mu\lambda}^a$ 为常数反对称张量），在 $x=0$ 处第二项消失，右端项退化为：
  $$\text{RHS} \big|_{x=0} = A(R) \frac{g^2}{48\pi^2} d^{abc} \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\nu\mu}^b F_{\sigma\rho}^c$$
  只要群存在非平庸的对称张量 $d^{abc}$，我们总能找到适当的 $F_{\mu\nu}^a$ 使得该式不为零。因此，若要求 RHS 对所有规范场位形都恒为零，必然要求 $A(R) = 0$。

综上所述，原等式右端项为零当且仅当 $A(R) = 0$。

习题 77.2 - 解答

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题目分析与解题过程

我们需要证明方程 (77.36) 的右端等于方程 (77.7) 的右端，即证明：

这等价于证明以下恒等式：

第一步：展开 $\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \text{Tr}(F_{\mu\nu} F_{\rho\sigma})$

非阿贝尔场强张量的定义为：

由于 $\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$ 具有全反对称性，我们可以将 $F_{\mu\nu}$ 与其缩并时的各项进行化简。对于反对称张量，有 $\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \partial_\nu A_\mu = -\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \partial_\mu A_\nu$ 以及 $\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} A_\nu A_\mu = -\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} A_\mu A_\nu$，因此：

同理，对 $F_{\rho\sigma}$ 也做相同的处理，我们可以得到：

将迹内的乘积展开：

接下来我们逐项分析其与 $\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$ 缩并后的迹：

1. $O(g^2)$ 项：$-g^2 \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \text{Tr}(A_\mu A_\nu A_\rho A_\sigma)$。 利用迹的循环不变性，有 $\text{Tr}(A_\mu A_\nu A_\rho A_\sigma) = \text{Tr}(A_\sigma A_\mu A_\nu A_\rho)$。然而，在指标的循环置换 $(\mu,\nu,\rho,\sigma) \to (\sigma,\mu,\nu,\rho)$ 下，Levi-Civita 张量会改变符号（奇置换），即 $\varepsilon^{\sigma\mu\nu\rho} = -\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$。因此该项等于其自身的相反数，必然为零。

2. $O(g)$ 交叉项：$-ig \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \text{Tr}((\partial_\mu A_\nu) A_\rho A_\sigma)$ 与 $-ig \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \text{Tr}(A_\mu A_\nu (\partial_\rho A_\sigma))$。 对于第二项，我们可以重命名哑指标 $(\mu,\nu) \leftrightarrow (\rho,\sigma)$。由于 $\varepsilon^{\rho\sigma\mu\nu} = \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$，该项变为 $-ig \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \text{Tr}(A_\rho A_\sigma (\partial_\mu A_\nu))$。再利用迹的循环不变性，它等于 $-ig \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \text{Tr}((\partial_\mu A_\nu) A_\rho A_\sigma)$。因此，这两个交叉项是完全相同的。

合并上述结果，我们得到：

第二步：展开方程 (77.36) 右端的导数项

现在我们计算 Chern-Simons 拓扑流的散度部分：

首先对第一项求导：

其中包含 $\partial_\mu \partial_\rho A_\sigma$ 的项为零，因为偏导数是对易的（关于 $\mu, \rho$ 对称），而 $\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$ 关于 $\mu, \rho$ 是反对称的。

接着对第二项求导，利用乘积法则：

我们可以证明括号内的三项在缩并和取迹后是相等的：

• 对于第二项，利用迹的循环性 $\text{Tr}(A_\nu (\partial_\mu A_\rho) A_\sigma) = \text{Tr}(A_\sigma A_\nu (\partial_\mu A_\rho))$。重命名哑指标 $(\nu,\rho,\sigma) \to (\sigma,\nu,\rho)$，这是一个偶置换（循环移动3个元素），故 $\varepsilon^{\mu\sigma\nu\rho} = \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$，该项化为 $\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \text{Tr}((\partial_\mu A_\nu) A_\rho A_\sigma)$。
• 对于第三项，利用迹的循环性 $\text{Tr}(A_\nu A_\rho (\partial_\mu A_\sigma)) = \text{Tr}((\partial_\mu A_\sigma) A_\nu A_\rho)$。重命名哑指标 $(\nu,\rho,\sigma) \to (\rho,\sigma,\nu)$（同样是偶置换），该项也化为 $\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \text{Tr}((\partial_\mu A_\nu) A_\rho A_\sigma)$。

因此，三项合并给出：

将上述求导结果代回原式，得到：

第三步：对比并得出结论

对比式 (1) 和式 (2)，我们可以清晰地看到：

将此关系代入方程 (77.7) 的右端：

化简系数后即得：

证明完毕，方程 (77.36) 的右端确实等于方程 (77.7) 的右端。