习题 78.1 - 解答

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为了计算背景场规范（Background Field Gauge）下的树图级顶点因子，我们首先写出完整的有效拉格朗日量。将全规范场 $\mathcal{A}_\mu^a$ 分解为经典的背景场 $A_\mu^a$（对应外线）和量子涨落场 $Q_\mu^a$（对应内线）： $\mathcal{A}_\mu^a = A_\mu^a + Q_\mu^a$ 完整的拉格朗日量包含杨-米尔斯项、规范固定项和鬼场项： $\mathcal{L} = \mathcal{L}_{YM} + \mathcal{L}_{gf} + \mathcal{L}_{ghost}$ 其中 $\mathcal{L}_{YM} = -\frac{1}{4} \mathcal{F}_{\mu\nu}^a \mathcal{F}^{\mu\nu a}$。在背景场方法中，我们选择背景场 Feynman 规范（$\xi=1$），规范固定项为： $\mathcal{L}_{gf} = -\frac{1}{2} (D_\mu Q^{\mu a})^2$ 其中 $D_\mu = \partial_\mu + g A_\mu \times$ 是依赖于背景场的协变导数。对应的鬼场拉格朗日量为： $\mathcal{L}_{ghost} = -\bar{c}^a D_\mu (D^\mu c^a + g f^{abc} Q^{\mu b} c^c)$

题目要求找出所有包含至少一个外线胶子 ($A$) 和至少两个内线 ($Q, c, \bar{c}$) 的顶点。根据拉格朗日量的展开，满足条件的顶点共有 6 个：$AQQ$、$AAQQ$、$AQQQ$、$A\bar{c}c$、$AA\bar{c}c$ 和 $AQ\bar{c}c$。 约定所有动量均为流入顶点。

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1. 纯胶子顶点 ($AQQ, AAQQ, AQQQ$)

利用分部积分和对易关系 $[D_\mu, D_\nu]^{ab} = -g f^{abc} F_{\mu\nu}^c$，可以将 $\mathcal{L}_{YM}$ 中关于 $Q$ 的二次项与 $\mathcal{L}_{gf}$ 精确合并，得到极其简化的二次型有效拉格朗日量： $\mathcal{L}_{Q^2} = -\frac{1}{2} (D_\mu Q_\nu^a)^2 - g f^{abc} F_{\mu\nu}^a Q^{\mu b} Q^{\nu c}$ 其中 $F_{\mu\nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a + g f^{abc} A_\mu^b A_\nu^c$ 是纯背景场的场强。

(a) $AQQ$ 顶点 从 $\mathcal{L}_{Q^2}$ 中提取包含一个 $A$ 和两个 $Q$ 的项： $\mathcal{L}_{AQQ} = - g f^{abc} (\partial_\mu Q_\nu^a) A^{\mu b} Q^{\nu c} - g f^{abc} (\partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a) Q^{\mu b} Q^{\nu c}$ 设场为 $A_\mu^a(k), Q_\nu^b(p), Q_\rho^c(q)$，动量守恒 $k+p+q=0$。对两个全同的 $Q$ 场进行对称化，转换到动量空间（$\partial \to i p$），得到顶点因子： $\boxed{ V_{AQQ}^{abc,\mu\nu\rho}(k,p,q) = i g f^{abc} \left[ (p - q)^\mu \eta^{\nu\rho} + 2 k^\rho \eta^{\mu\nu} - 2 k^\nu \eta^{\mu\rho} \right] }$ (注：这与标准规范下的三胶子顶点不同，背景场规范破坏了三个场的完全对称性。)

(b) $AAQQ$ 顶点 从 $\mathcal{L}_{Q^2}$ 中提取包含两个 $A$ 和两个 $Q$ 的项： $\mathcal{L}_{AAQQ} = -\frac{1}{2} g^2 f^{abc} f^{ade} A_\mu^b Q_\nu^c A^{\mu d} Q^{\nu e} - g^2 f^{abc} f^{ade} A_\mu^d A_\nu^e Q^{\mu b} Q^{\nu c}$ 设场为 $A_\mu^a(k_1), A_\nu^b(k_2), Q_\rho^c(p), Q_\sigma^d(q)$。对两个 $A$ 和两个 $Q$ 分别进行对称化，并利用雅可比恒等式 ($f^{abe}f^{cde} = f^{ace}f^{bde} - f^{ade}f^{bce}$) 化简，得到： $\boxed{ V_{AAQQ}^{abcd,\mu\nu\rho\sigma} = - i g^2 \left[ (f^{ace} f^{bde} + f^{ade} f^{bce}) \eta^{\mu\nu} \eta^{\rho\sigma} + 2 f^{abe} f^{cde} (\eta^{\mu\rho} \eta^{\nu\sigma} - \eta^{\mu\sigma} \eta^{\nu\rho}) \right] }$

(c) $AQQQ$ 顶点 由于规范固定项 $\mathcal{L}_{gf}$ 严格只有 $Q$ 的二次项，不包含任何 $Q^3$ 项，因此所有包含三个 $Q$ 的相互作用完全来自于原始的 $\mathcal{L}_{YM}$ 中的四次项 $-\frac{1}{4} g^2 f^{abc} f^{ade} \mathcal{A}_\mu^b \mathcal{A}_\nu^c \mathcal{A}^{\mu d} \mathcal{A}^{\nu e}$。 设场为 $A_\mu^a(k), Q_\nu^b(p), Q_\rho^c(q), Q_\sigma^d(r)$，由于原始四次项对四个场是完全对称的，该顶点因子与标准的四胶子顶点完全相同： $\boxed{ V_{AQQQ}^{abcd,\mu\nu\rho\sigma} = - i g^2 \left[ f^{abe} f^{cde} (\eta^{\mu\rho} \eta^{\nu\sigma} - \eta^{\mu\sigma} \eta^{\nu\rho}) + f^{ace} f^{bde} (\eta^{\mu\nu} \eta^{\rho\sigma} - \eta^{\mu\sigma} \eta^{\nu\rho}) + f^{ade} f^{bce} (\eta^{\mu\nu} \eta^{\rho\sigma} - \eta^{\mu\rho} \eta^{\nu\sigma}) \right] }$

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2. 鬼场顶点 ($A\bar{c}c, AA\bar{c}c, AQ\bar{c}c$)

将鬼场拉格朗日量展开： $\mathcal{L}_{ghost} = -\bar{c}^a \partial^2 c^a - g f^{abc} \bar{c}^a \partial_\mu (A^{\mu b} c^c) - g f^{abc} \bar{c}^a A_\mu^b \partial^\mu c^c - g^2 f^{ade} f^{ebc} \bar{c}^a A_\mu^d A^{\mu b} c^c - g^2 f^{ade} f^{ebc} \bar{c}^a A_\mu^d Q^{\mu b} c^c$

(d) $A\bar{c}c$ 顶点 提取 $O(A \bar{c} c)$ 项并对第一项进行分部积分： $\mathcal{L}_{A\bar{c}c} = g f^{abc} (\partial_\mu \bar{c}^a) A^{\mu b} c^c - g f^{abc} \bar{c}^a A_\mu^b \partial^\mu c^c$ 设场为 $A_\mu^a(k), \bar{c}^b(p), c^c(q)$。代入动量得到： $\boxed{ V_{A\bar{c}c}^{abc,\mu}(k,p,q) = i g f^{abc} (q - p)^\mu }$ (注：与标准规范不同，背景场规范下的鬼场-背景胶子顶点对鬼场和反鬼场的动量是反对称的。)

(e) $AA\bar{c}c$ 顶点 提取 $O(A^2 \bar{c} c)$ 项： $\mathcal{L}_{AA\bar{c}c} = - g^2 f^{ade} f^{ebc} \bar{c}^a A_\mu^d A^{\mu b} c^c$ 设场为 $A_\mu^a(k_1), A_\nu^b(k_2), \bar{c}^c(p), c^d(q)$。对两个背景场 $A$ 进行对称化： $\boxed{ V_{AA\bar{c}c}^{abcd,\mu\nu} = - i g^2 (f^{ace} f^{bde} + f^{bce} f^{ade}) \eta^{\mu\nu} }$

(f) $AQ\bar{c}c$ 顶点 提取 $O(A Q \bar{c} c)$ 项： $\mathcal{L}_{AQ\bar{c}c} = - g^2 f^{ade} f^{ebc} \bar{c}^a A_\mu^d Q^{\mu b} c^c$ 设场为 $A_\mu^a(k), Q_\nu^b(r), \bar{c}^c(p), c^d(q)$。由于 $A$ 和 $Q$ 是不同的场，不需要在它们之间对称化，直接匹配指标得到： $\boxed{ V_{AQ\bar{c}c}^{abcd,\mu\nu} = - i g^2 f^{ace} f^{bde} \eta^{\mu\nu} }$

习题 78.2 - 解答

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习题分析与物理背景

在背景场方法（Background Field Method）中，我们将规范场分解为经典背景场 $\bar{A}_\mu$ 和量子涨落场 $A_\mu$（即 $A_{total} = \bar{A} + A$）。在单圈近似下，有效作用量 $\Gamma_{1-\text{loop}}$ 可以通过对量子涨落场（包括规范场、鬼场、费米子和标量场）进行高斯积分得到。这些高斯积分的结果表现为含有背景共变导数 $\bar{D}_\mu$ 和背景场强 $\bar{F}_{\mu\nu}$ 的微分算符的泛函行列式。

题目要求我们证明单圈有效作用量（不含鬼场的部分，但为了完整性，鬼场也自然包含在类似的行列式中，题目公式 (78.42) 实际上给出了所有场的贡献）可以写成算符 $\mathbf{\square}_{R,(a,b)}$ 的泛函行列式的乘积，并验证该结果与微扰图论分析给出的 $\beta$ 函数系数一致。

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第一步：推导泛函行列式表达式 (78.42)

1. 量子规范场 $A_\mu$： 在背景规范下，规范场量子涨落 $A_\mu^a$ 的二次作用量为： $S_{\text{gauge}}^{(2)} = \int d^4x \, \frac{1}{2} A_\mu^a \left[ -(\bar{D}^2)^{ab} g^{\mu\nu} + 2g f^{abc} \bar{F}^{\mu\nu c} \right] A_\nu^b$ 规范场处于伴随表示（Adjoint representation, A），其生成元为 $(T_{\text{A}}^c)^{ab} = -if^{cab} = if^{acb}$。 对于洛伦兹矢量表示 $(2,2)$，生成元为 $(S_{(2,2)}^{\mu\nu})_{\alpha\beta} = -i(\delta^\mu_\alpha \delta^\nu_\beta - \delta^\nu_\alpha \delta^\mu_\beta)$。 计算自旋磁矩项： $g (T_{\text{A}}^c)^{ab} \bar{F}_{\mu\nu}^c (S_{(2,2)}^{\mu\nu})^{\alpha\beta} = g (if^{acb}) \bar{F}_{\mu\nu}^c (-i) (\delta^{\mu\alpha} \delta^{\nu\beta} - \delta^{\nu\alpha} \delta^{\mu\beta}) = 2g f^{abc} \bar{F}^{\alpha\beta c}$ 因此，作用量中的算符正是 $-\mathbf{\square}_{\text{A},(2,2)}$。对实玻色子场 $A_\mu$ 进行高斯积分，产生因子： $(\det \mathbf{\square}_{\text{A},(2,2)})^{-1/2}$

2. 法捷耶夫-波波夫鬼场 $c, \bar{c}$： 鬼场是处于伴随表示的复标量场（Grassmann 奇），其二次作用量为 $\int d^4x \, \bar{c}^a (-\bar{D}^2)^{ab} c^b$。 由于是标量场，洛伦兹表示为 $(1,1)$，生成元 $S_{(1,1)}^{\mu\nu} = 0$。算符为 $-\mathbf{\square}_{\text{A},(1,1)}$。 对 Grassmann 奇的复场积分，产生因子（在分子上）： $(\det \mathbf{\square}_{\text{A},(1,1)})^{+1}$

3. 狄拉克费米子 $\psi, \bar{\psi}$： 处于表示 $\text{R}_{\text{DF}}$ 的无质量狄拉克费米子，二次作用量为 $\int d^4x \, \bar{\psi} (i\gamma^\mu \bar{D}_\mu) \psi$。 积分得到 $\det(i\not{\bar{D}})$。利用恒等式 $\det(i\not{\bar{D}}) = [\det(i\not{\bar{D}})(-i\not{\bar{D}})]^{1/2} = [\det(-\not{\bar{D}}^2)]^{1/2}$。 根据 Dirac 代数，$-\not{\bar{D}}^2 = -\bar{D}^2 - \frac{g}{2} T_{\text{R}_{\text{DF}}}^a \bar{F}_{\mu\nu}^a \sigma^{\mu\nu}$。 对于 $(2,1)\oplus(1,2)$ 表示，生成元 $S^{\mu\nu} = \frac{i}{4}[\gamma^\mu, \gamma^\nu] = \frac{1}{2}\sigma^{\mu\nu}$。 因此算符为 $-\mathbf{\square}_{\text{R}_{\text{DF}},(2,1)\oplus(1,2)}$。对 Grassmann 奇的复场积分得到： $(\det \mathbf{\square}_{\text{R}_{\text{DF}},(2,1)\oplus(1,2)})^{+1/2}$

4. 复标量场 $\phi, \phi^\dagger$： 处于表示 $\text{R}_{\text{CS}}$ 的复标量场，二次作用量为 $\int d^4x \, \phi^\dagger (-\bar{D}^2) \phi$。 洛伦兹表示为 $(1,1)$，生成元为 0。对 Grassmann 偶的复场积分得到： $(\det \mathbf{\square}_{\text{R}_{\text{CS}},(1,1)})^{-1}$

将上述所有因子相乘，即得到单圈有效作用量的表达式 (78.42)。

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第二步：验证与图论分析的一致性

单圈有效作用量可以通过 Seeley-DeWitt 展开（或热核展开）计算。对于算符 $\mathbf{\square} = \bar{D}^2 + X$，其泛函行列式的对数在单圈水平对有效作用量的贡献为： $\Delta \Gamma = \pm c \frac{1}{32\pi^2} \int d^4x \, \text{Tr} \left[ \frac{1}{12} [\bar{D}_\mu, \bar{D}_\nu][\bar{D}^\mu, \bar{D}^\nu] + \frac{1}{2} X^2 \right]$ 其中 $[\bar{D}_\mu, \bar{D}_\nu] = -ig T^a \bar{F}_{\mu\nu}^a$。设场的洛伦兹表示维数为 $d_S$，生成元满足 $\text{Tr}(S^{\mu\nu} S^{\rho\sigma}) = c_S (g^{\mu\rho} g^{\nu\sigma} - g^{\mu\sigma} g^{\nu\rho})$。 代入 $X = g T^a \bar{F}_{\mu\nu}^a S^{\mu\nu}$，迹计算给出： $\text{Tr}(X^2) = 2 g^2 T(R) c_S \bar{F}_{\mu\nu}^a \bar{F}^{\mu\nu a}, \quad \text{Tr}([\bar{D}_\mu, \bar{D}_\nu]^2) = -g^2 T(R) d_S \bar{F}_{\mu\nu}^a \bar{F}^{\mu\nu a}$ 因此，每种场对 $\bar{F}^2$ 项（即 $\beta$ 函数系数）的贡献正比于权重因子乘以 $\left( -\frac{1}{12} d_S + c_S \right)$。

我们逐一计算各场的参数 $(d_S, c_S)$ 及贡献：

1. 规范场：$(2,2)$ 表示，$d_S = 4$，$c_S = 2$。权重为 $-1/2$。 贡献 $\propto -\frac{1}{2} \left( -\frac{4}{12} + 2 \right) = -\frac{5}{6}$
2. 鬼场：$(1,1)$ 表示，$d_S = 1$，$c_S = 0$。权重为 $+1$。 贡献 $\propto +1 \left( -\frac{1}{12} + 0 \right) = -\frac{1}{12}$ 纯规范部分总和：$-\frac{5}{6} - \frac{1}{12} = -\frac{11}{12}$。这对应于著名的渐近自由系数 $\beta_0 \propto -\frac{11}{3} C_A$。
3. 狄拉克费米子：$(2,1)\oplus(1,2)$ 表示，$d_S = 4$，$c_S = 1$。权重为 $+1/2$。 贡献 $\propto +\frac{1}{2} \left( -\frac{4}{12} + 1 \right) = +\frac{1}{3}$。对应于 $\beta_0$ 中的 $+\frac{4}{3} T_F$。
4. 复标量场：$(1,1)$ 表示，$d_S = 1$，$c_S = 0$。权重为 $-1$。 贡献 $\propto -1 \left( -\frac{1}{12} + 0 \right) = +\frac{1}{12}$。对应于 $\beta_0$ 中的 $+\frac{1}{3} T_S$。

上述由泛函行列式热核展开得到的系数比例完全吻合标准微扰费曼图计算得出的 $\beta$ 函数系数，从而验证了表达式的正确性。