习题 82.1 - 解答

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根据自由阿贝尔规范理论中威尔逊环（Wilson loop）的期望值公式，在微扰论的领头阶，我们有： $\langle 0 | W_C | 0 \rangle = \langle 0 | \exp\left(i g \oint_C A_\mu dx^\mu\right) | 0 \rangle = \exp\left[ - \frac{1}{2} g^2 \oint_C dx^\mu \oint_C dy^\nu \Delta_{\mu\nu}(x-y) \right]$ 在欧几里得空间中，规范场的传播子为 $\Delta_{\mu\nu}(x-y) = \frac{\delta_{\mu\nu}}{4\pi^2 (x-y)^2}$。代入上式可得： $\langle 0 | W_C | 0 \rangle = \exp\left[ - \frac{g^2}{8\pi^2} \oint_C \oint_C \frac{dx \cdot dy}{(x-y)^2} \right]$

对于半径为 $R$ 的圆 $C$，我们可以使用角度 $\theta$ 和 $\phi$ 进行参数化： $x^\mu(\theta) = (R\cos\theta, R\sin\theta, 0, 0)$ $y^\nu(\phi) = (R\cos\phi, R\sin\phi, 0, 0)$ 其中 $\theta, \phi \in [0, 2\pi)$。计算微元及其内积： $dx^\mu = (-R\sin\theta, R\cos\theta, 0, 0) d\theta$ $dy^\nu = (-R\sin\phi, R\cos\phi, 0, 0) d\phi$ $dx \cdot dy = R^2 (\sin\theta\sin\phi + \cos\theta\cos\phi) d\theta d\phi = R^2 \cos(\theta-\phi) d\theta d\phi$ 两点间的距离平方为： $(x-y)^2 = R^2(\cos\theta-\cos\phi)^2 + R^2(\sin\theta-\sin\phi)^2 = 2R^2[1-\cos(\theta-\phi)]$

将这些代入指数中的双重积分 $I$ 中： $I = \oint_C \oint_C \frac{dx \cdot dy}{(x-y)^2} = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{2\pi} d\phi \frac{\cos(\theta-\phi)}{2[1-\cos(\theta-\phi)]}$ 题目要求当 $|x-y| < a$ 时将 $1/(x-y)^2$ 替换为零（即引入短距离截断）。两点间的弦距为 $|x-y| = 2R \left|\sin\left(\frac{\theta-\phi}{2}\right)\right|$。 截断条件 $|x-y| \ge a$ 意味着： $2R \left|\sin\left(\frac{\theta-\phi}{2}\right)\right| \ge a$

令 $\alpha = \theta - \phi$。由于被积函数具有周期性且仅依赖于角度差，对 $\phi$ 的积分直接给出一个 $2\pi$ 的因子。积分 $I$ 化为对 $\alpha$ 的单重积分： $I = 2\pi \int_{\alpha_{min}}^{2\pi-\alpha_{min}} \frac{\cos\alpha}{2(1-\cos\alpha)} d\alpha$ 其中积分下限由截断条件给出：$\alpha_{min} = 2 \arcsin\left(\frac{a}{2R}\right)$。

利用半角公式 $1-\cos\alpha = 2\sin^2(\alpha/2)$，被积函数可以改写为： $\frac{\cos\alpha}{2(1-\cos\alpha)} = \frac{1 - 2\sin^2(\alpha/2)}{4\sin^2(\alpha/2)} = \frac{1}{4\sin^2(\alpha/2)} - \frac{1}{2}$ 求不定积分： $\int \left( \frac{1}{4\sin^2(\alpha/2)} - \frac{1}{2} \right) d\alpha = -\frac{1}{2}\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) - \frac{\alpha}{2}$ 代入上下限 $\alpha_{min}$ 和 $2\pi-\alpha_{min}$ 进行计算： $\int_{\alpha_{min}}^{2\pi-\alpha_{min}} \dots d\alpha = \left[ \frac{1}{2}\cot\left(\frac{\alpha_{min}}{2}\right) - \pi + \frac{\alpha_{min}}{2} \right] - \left[ -\frac{1}{2}\cot\left(\frac{\alpha_{min}}{2}\right) - \frac{\alpha_{min}}{2} \right] = \cot\left(\frac{\alpha_{min}}{2}\right) - \pi + \alpha_{min}$

根据截断定义有 $\sin(\alpha_{min}/2) = \frac{a}{2R}$。利用直角三角形关系可得： $\cot\left(\frac{\alpha_{min}}{2}\right) = \frac{\sqrt{1 - (a/2R)^2}}{a/2R} = \frac{2R}{a} \sqrt{1 - \frac{a^2}{4R^2}}$ 在 $a \ll R$ 的极限下展开： $\cot\left(\frac{\alpha_{min}}{2}\right) = \frac{2R}{a} - \frac{a}{4R} + \mathcal{O}(a^3)$ 同时 $\alpha_{min} \approx \frac{a}{R}$。因此，积分结果为： $I = 2\pi \left( \frac{2R}{a} - \pi + \mathcal{O}\left(\frac{a}{R}\right) \right) \approx \frac{4\pi R}{a} - 2\pi^2$ 注意到圆的周长为 $P = 2\pi R$，我们可以将积分写为： $I = \frac{2P}{a} - 2\pi^2$

将积分 $I$ 代回威尔逊环的期望值表达式中： $\langle 0 | W_C | 0 \rangle = \exp\left[ - \frac{g^2}{8\pi^2} \left( \frac{2P}{a} - 2\pi^2 \right) \right] = \exp\left[ - \frac{g^2}{4\pi^2 a} P + \frac{g^2}{4} \right]$ 提取出与周长 $P$ 成正比的线性发散项（即周长律项），我们得到： $\langle 0 | W_C | 0 \rangle \propto \exp\left[ - \left(\frac{1}{4\pi^2}\right) \frac{g^2}{a} P \right]$ 将其与题目中给定的公式 (82.18) $\langle 0|W_C|0 \rangle = \exp [ -(\tilde{c} g^2 / a) P ]$ 进行对比，即可直接读出常数 $\tilde{c}$ 的值。

$\boxed{\frac{1}{4\pi^2}}$