习题 86.1 - 解答

---

物理背景与分析

在规范场论中，复标量场 $\varphi$ 处于规范群的某个复表示 $R$ 中，其生成元 $T_R^a$ 是 $d(R) \times d(R)$ 的厄米矩阵。为了将复标量场分解为实标量场，我们引入 $\varphi_j = \frac{1}{\sqrt{2}} (\phi_j + i \phi_{j+d(R)})$，其中 $\phi$ 是具有 $2d(R)$ 个分量的实标量场。由于 $\phi$ 是实场，规范变换作用在 $\phi$ 上时，其对应的生成元 $\mathcal{T}^a$ 必须满足 $-i\mathcal{T}^a$ 为实反对称矩阵，即 $\mathcal{T}^a$ 是纯虚的厄米矩阵。我们可以通过分离规范变换的实部和虚部来构造出 $\mathcal{T}^a$ 的分块矩阵形式。

---

(a) 求解 $\mathcal{T}^a$ 的表达式

为了避免指标 $i$ 与虚数单位 $i$ 混淆，我们将复标量场的分量记为 $\varphi_j$ 和 $\varphi_k$。根据题意，复标量场的无穷小规范变换为： $\delta \varphi_j = -i \theta^a (T_R^a)_j{}^k \varphi_k$

将生成元 $T_R^a$ 分解为实部和虚部： $T_R^a = \text{Re}(T_R^a) + i \text{Im}(T_R^a)$ 同时代入 $\varphi_k = \frac{1}{\sqrt{2}} (\phi_k + i \phi_{k+d})$，我们得到： $\begin{aligned} \delta \varphi_j &= -i \theta^a \left[ \text{Re}(T_R^a)_{jk} + i \text{Im}(T_R^a)_{jk} \right] \frac{1}{\sqrt{2}} (\phi_k + i \phi_{k+d}) \\ &= \frac{\theta^a}{\sqrt{2}} \left[ \text{Im}(T_R^a)_{jk} - i \text{Re}(T_R^a)_{jk} \right] (\phi_k + i \phi_{k+d}) \\ &= \frac{\theta^a}{\sqrt{2}} \left\{ \left[ \text{Im}(T_R^a)_{jk} \phi_k + \text{Re}(T_R^a)_{jk} \phi_{k+d} \right] + i \left[ -\text{Re}(T_R^a)_{jk} \phi_k + \text{Im}(T_R^a)_{jk} \phi_{k+d} \right] \right\} \end{aligned}$

另一方面，由 $\varphi_j = \frac{1}{\sqrt{2}} (\phi_j + i \phi_{j+d})$ 直接变分可得： $\delta \varphi_j = \frac{1}{\sqrt{2}} (\delta \phi_j + i \delta \phi_{j+d})$

对比实部和虚部，可以得到实场 $\phi$ 的变换规则： $\begin{aligned} \delta \phi_j &= \theta^a \left[ \text{Im}(T_R^a)_{jk} \phi_k + \text{Re}(T_R^a)_{jk} \phi_{k+d} \right] \\ \delta \phi_{j+d} &= \theta^a \left[ -\text{Re}(T_R^a)_{jk} \phi_k + \text{Im}(T_R^a)_{jk} \phi_{k+d} \right] \end{aligned}$

将其写为 $2d(R) \times 2d(R)$ 的分块矩阵形式： $\begin{pmatrix} \delta \phi_j \\ \delta \phi_{j+d} \end{pmatrix} = \theta^a \begin{pmatrix} \text{Im}(T_R^a) & \text{Re}(T_R^a) \\ -\text{Re}(T_R^a) & \text{Im}(T_R^a) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phi_k \\ \phi_{k+d} \end{pmatrix}$

题目要求实场的变换形式为 $\delta \phi_I = -i \theta^a (\mathcal{T}^a)_{IJ} \phi_J$，因此我们有： $-i \mathcal{T}^a = \begin{pmatrix} \text{Im}(T_R^a) & \text{Re}(T_R^a) \\ -\text{Re}(T_R^a) & \text{Im}(T_R^a) \end{pmatrix}$

从而解得 $\mathcal{T}^a$ 的表达式为： $\boxed{ \mathcal{T}^a = i \begin{pmatrix} \text{Im}(T_R^a) & \text{Re}(T_R^a) \\ -\text{Re}(T_R^a) & \text{Im}(T_R^a) \end{pmatrix} }$

---

(b) 证明 $\mathcal{T}^a$ 满足对易关系

规范群生成元 $T_R^a$ 满足李代数对易关系： $[T_R^a, T_R^b] = i f^{abc} T_R^c$

为了书写简便，记 $A^a = \text{Re}(T_R^a)$， $B^a = \text{Im}(T_R^a)$。将 $T_R^a = A^a + i B^a$ 代入对易关系中： $[A^a + i B^a, A^b + i B^b] = i f^{abc} (A^c + i B^c)$ 展开左边并分离实部与虚部： $\left( [A^a, A^b] - [B^a, B^b] \right) + i \left( [A^a, B^b] + [B^a, A^b] \right) = -f^{abc} B^c + i f^{abc} A^c$ 由于 $A^a, B^a$ 均为实矩阵，我们可以得到两个独立的矩阵等式： $\begin{aligned} [A^a, A^b] - [B^a, B^b] &= -f^{abc} B^c \\ [A^a, B^b] + [B^a, A^b] &= f^{abc} A^c \end{aligned}$

现在我们计算新生成元 $\mathcal{T}^a$ 的对易子。根据 (a) 的结果，$\mathcal{T}^a = i \begin{pmatrix} B^a & A^a \\ -A^a & B^a \end{pmatrix}$。 首先计算矩阵乘积 $\mathcal{T}^a \mathcal{T}^b$： $\begin{aligned} \mathcal{T}^a \mathcal{T}^b &= i^2 \begin{pmatrix} B^a & A^a \\ -A^a & B^a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B^b & A^b \\ -A^b & B^b \end{pmatrix} \\ &= - \begin{pmatrix} B^a B^b - A^a A^b & B^a A^b + A^a B^b \\ -A^a B^b - B^a A^b & -A^a A^b + B^a B^b \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -B^a B^b + A^a A^b & -B^a A^b - A^a B^b \\ A^a B^b + B^a A^b & A^a A^b - B^a B^b \end{pmatrix} \end{aligned}$

接着计算对易子 $[\mathcal{T}^a, \mathcal{T}^b] = \mathcal{T}^a \mathcal{T}^b - \mathcal{T}^b \mathcal{T}^a$： $\begin{aligned} [\mathcal{T}^a, \mathcal{T}^b] &= \begin{pmatrix} -B^a B^b + A^a A^b + B^b B^a - A^b A^a & -B^a A^b - A^a B^b + B^b A^a + A^b B^a \\ A^a B^b + B^a A^b - A^b B^a - B^b A^a & A^a A^b - B^a B^b - A^b A^a + B^b B^a \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} [A^a, A^b] - [B^a, B^b] & -([B^a, A^b] + [A^a, B^b]) \\ [A^a, B^b] + [B^a, A^b] & [A^a, A^b] - [B^a, B^b] \end{pmatrix} \end{aligned}$

将前面由 $T_R^a$ 对易关系导出的两个实矩阵等式代入上述分块矩阵中： $\begin{aligned} [\mathcal{T}^a, \mathcal{T}^b] &= \begin{pmatrix} -f^{abc} B^c & -f^{abc} A^c \\ f^{abc} A^c & -f^{abc} B^c \end{pmatrix} \\ &= i f^{abc} \left[ i \begin{pmatrix} B^c & A^c \\ -A^c & B^c \end{pmatrix} \right] \end{aligned}$

括号内的矩阵正是 $\mathcal{T}^c$ 的定义，因此我们证明了 $\mathcal{T}^a$ 矩阵满足与原表示完全相同的李代数对易关系： $\boxed{ [\mathcal{T}^a, \mathcal{T}^b] = i f^{abc} \mathcal{T}^c }$