习题 91.1 - 解答

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物理背景与分析

在标准模型（SM）中，轻子数（Lepton Number, $L$）是一个偶然的全局 $U(1)_L$ 对称性。为了解释中微子微小但非零的质量，最自然且最广泛使用的理论框架是第一类跷跷板机制（Type-I Seesaw Mechanism）。该机制通过向标准模型中引入重右手中微子（Right-handed neutrinos）$N_R$ 来实现。

要证明引入跷跷板机制会导致轻子数不再守恒，我们需要写出包含 $N_R$ 的最广义的重整化拉格朗日量，并分析其在全局 $U(1)_L$ 变换下的行为。

拉格朗日量构造

右手中微子 $N_R$ 是标准模型规范群 $SU(3)_C \times SU(2)_L \times U(1)_Y$ 下的完全单态（Singlet）。因此，除了可以与左手轻子双态 $L$ 和希格斯双态 $H$ 构成汤川耦合（Dirac质量项）外，规范对称性还允许 $N_R$ 拥有一个裸的马约拉纳（Majorana）质量项。

扩展后的拉格朗日量包含以下与中微子质量相关的项： $\mathcal{L}_{\text{seesaw}} = - y_\nu \bar{L} \tilde{H} N_R - \frac{1}{2} M_R \overline{N_R^c} N_R + \text{h.c.}$ 其中：

• $L = (\nu_L, e_L)^T$ 是左手轻子双态。
• $\tilde{H} = i\sigma_2 H^*$ 是共轭希格斯双态。
• $y_\nu$ 是汤川耦合矩阵。
• $M_R$ 是右手中微子的马约拉纳质量矩阵。
• $N_R^c = C \bar{N_R}^T$ 是 $N_R$ 的电荷共轭场（Charge conjugate field），$C$ 为电荷共轭矩阵。

轻子数守恒分析

在全局 $U(1)_L$ 轻子数对称性下，轻子场发生相位旋转。按照定义，赋予所有轻子（包括左手和右手）轻子数 $L=1$。相应的场变换规则为： $L \to e^{i\alpha} L$ $N_R \to e^{i\alpha} N_R$ 其中 $\alpha$ 是任意实参数。

我们分别检查拉格朗日量中的两项在 $U(1)_L$ 变换下的行为：

1. 狄拉克质量项（Dirac mass term）： 伴随旋量 $\bar{L} = L^\dagger \gamma^0$ 的变换为 $\bar{L} \to e^{-i\alpha} \bar{L}$。 因此，狄拉克项的变换为： $\bar{L} \tilde{H} N_R \to (e^{-i\alpha} \bar{L}) \tilde{H} (e^{i\alpha} N_R) = e^{-i\alpha} e^{i\alpha} \bar{L} \tilde{H} N_R = \bar{L} \tilde{H} N_R$ 该项在 $U(1)_L$ 变换下是不变的，即狄拉克项守恒轻子数（$\Delta L = 0$）。

2. 马约拉纳质量项（Majorana mass term）： 首先确定电荷共轭场 $N_R^c$ 的变换。因为 $\bar{N_R} \to \bar{N_R} e^{-i\alpha}$，所以： $N_R^c = C \bar{N_R}^T \to C (\bar{N_R} e^{-i\alpha})^T = e^{-i\alpha} C \bar{N_R}^T = e^{-i\alpha} N_R^c$ 这表明电荷共轭场 $N_R^c$ 具有反粒子的性质，其轻子数为 $L=-1$。 进而，其伴随旋量 $\overline{N_R^c}$ 的变换为： $\overline{N_R^c} \to e^{i\alpha} \overline{N_R^c}$ 现在我们来看马约拉纳质量项的变换： $\overline{N_R^c} N_R \to (e^{i\alpha} \overline{N_R^c}) (e^{i\alpha} N_R) = e^{2i\alpha} \overline{N_R^c} N_R$ 显然，当且仅当 $e^{2i\alpha} = 1$（即 $\alpha = 0, \pi$）时该项才不变。这意味着连续的 $U(1)_L$ 对称性被显式打破（Explicitly broken）为一个离散的 $\mathbb{Z}_2$ 对称性。 由于该项在变换中多出了 $e^{2i\alpha}$ 的相位，这表明马约拉纳质量项破坏了轻子数，且破坏量为 $\Delta L = 2$。

低能有效理论视角（补充验证）

在跷跷板机制中，通常假设 $M_R$ 远大于电弱对称性破缺能标（$M_R \gg v$）。在低能标下，我们可以将重自由度 $N_R$ 积分掉（Integrate out）。通过运动方程 $N_R \approx - M_R^{-1} y_\nu^T \tilde{H}^T L^c$，代入原拉格朗日量，得到低能有效拉格朗日量中的维度为5的温伯格算符（Weinberg operator）： $\mathcal{L}_{\text{eff}} \supset \frac{1}{2} (y_\nu^T M_R^{-1} y_\nu) (\overline{L^c} \tilde{H}^*) (\tilde{H}^\dagger L) + \text{h.c.}$ 当希格斯场获得真空期望值 $\langle H \rangle = (0, v/\sqrt{2})^T$ 后，左手活跃中微子获得了马约拉纳质量： $\mathcal{L}_{\text{mass}}^{\text{low-energy}} = - \frac{1}{2} m_\nu \overline{\nu_L^c} \nu_L + \text{h.c.} \quad \text{其中} \quad m_\nu = - \frac{v^2}{2} y_\nu^T M_R^{-1} y_\nu$ 同理，由于 $\nu_L \to e^{i\alpha} \nu_L$ 且 $\overline{\nu_L^c} \to e^{i\alpha} \overline{\nu_L^c}$，低能下的质量项 $\overline{\nu_L^c} \nu_L \to e^{2i\alpha} \overline{\nu_L^c} \nu_L$，同样直接导致 $\Delta L = 2$ 的轻子数破坏（例如可引发无中微子双贝塔衰变 $0\nu\beta\beta$）。

结论