Gauge Field Notes
94.1

Problem 94.1

srednickiChapter 94

习题 94.1

来源: 第94章, PDF第589页

94.1 Carry out the field redefinition discussed after eq. (94.22), and verify that all new terms generated in the lagrangian are suppressed by at least two powers of quark masses.

Referenced Equations:

Equation (94.22):

Lθ=−iθm~(c−+4c4)N‾γ5N−(θc+m~/fπ)πaN‾σaN+…,(94.22)\mathcal{L}_\theta = -i \theta \tilde{m} (c_- + 4 c_4) \overline{\mathcal{N}} \gamma_5 \mathcal{N} - (\theta c_+ \tilde{m} / f_\pi) \pi^a \overline{\mathcal{N}} \sigma^a \mathcal{N} + \dots , \tag{94.22}

习题 94.1 - 解答

首先分析场重新定义及其对核子质量项的影响。

在拉格朗日量中，包含标准的核子质量项以及由 Eq. (94.22) 给出的 CP 破坏项： L⊃−mNN‾N−iδmN‾γ5N\mathcal{L} \supset -m_N \overline{\mathcal{N}} \mathcal{N} - i \delta m \overline{\mathcal{N}} \gamma_5 \mathcal{N} 其中，δm=θm~(c−+4c4)\delta m = \theta \tilde{m} (c_- + 4 c_4)。由于约化夸克质量 m~=mumdmu+md=O(mq)\tilde{m} = \frac{m_u m_d}{m_u + m_d} = \mathcal{O}(m_q)，因此 δm=O(mq)\delta m = \mathcal{O}(m_q)。

为了消除非物理的 CP 破坏赝标量质量项 −iδmN‾γ5N- i \delta m \overline{\mathcal{N}} \gamma_5 \mathcal{N}，我们对核子场进行手征旋转（场重新定义）： N→exp⁡(iαγ5)N,N‾→N‾exp⁡(iαγ5)\mathcal{N} \to \exp(i \alpha \gamma_5) \mathcal{N}, \quad \overline{\mathcal{N}} \to \overline{\mathcal{N}} \exp(i \alpha \gamma_5) 在该变换下，标量和赝标量双线性项的变换规则为： N‾N→N‾e2iαγ5N=cos⁡(2α)N‾N+isin⁡(2α)N‾γ5N\overline{\mathcal{N}} \mathcal{N} \to \overline{\mathcal{N}} e^{2i\alpha\gamma_5} \mathcal{N} = \cos(2\alpha) \overline{\mathcal{N}} \mathcal{N} + i \sin(2\alpha) \overline{\mathcal{N}} \gamma_5 \mathcal{N} N‾γ5N→N‾e2iαγ5γ5N=cos⁡(2α)N‾γ5N+isin⁡(2α)N‾N\overline{\mathcal{N}} \gamma_5 \mathcal{N} \to \overline{\mathcal{N}} e^{2i\alpha\gamma_5} \gamma_5 \mathcal{N} = \cos(2\alpha) \overline{\mathcal{N}} \gamma_5 \mathcal{N} + i \sin(2\alpha) \overline{\mathcal{N}} \mathcal{N} 代入质量项中，得到变换后的质量项： −(mNcos⁡2α−δmsin⁡2α)N‾N−i(mNsin⁡2α+δmcos⁡2α)N‾γ5N- (m_N \cos 2\alpha - \delta m \sin 2\alpha) \overline{\mathcal{N}} \mathcal{N} - i (m_N \sin 2\alpha + \delta m \cos 2\alpha) \overline{\mathcal{N}} \gamma_5 \mathcal{N} 要求赝标量项的系数为零，得到旋转角 α\alpha 满足的条件： tan⁡2α=−δmmN\tan 2\alpha = - \frac{\delta m}{m_N} 因为 δm=O(mq)\delta m = \mathcal{O}(m_q)，所以 α\alpha 是一个与夸克质量成正比的小量： α=−δm2mN+O(mq3)=O(mq)\alpha = - \frac{\delta m}{2 m_N} + \mathcal{O}(m_q^3) = \mathcal{O}(m_q)

接下来计算拉格朗日量中其他项在变换下的变化，并验证新生成的项均受到至少两阶夸克质量的压低（O(mq2)\mathcal{O}(m_q^2)）。

1. 动能项与含导数的相互作用项 核子动能项 iN‾̸ ⁣∂Ni \overline{\mathcal{N}} \not\!\partial \mathcal{N} 以及轴矢流相互作用项 gAfπ∂μπaN‾γμγ5σa2N\frac{g_A}{f_\pi} \partial_\mu \pi^a \overline{\mathcal{N}} \gamma^\mu \gamma_5 \frac{\sigma^a}{2} \mathcal{N} 均包含 γμ\gamma^\mu 矩阵。由于 {γμ,γ5}=0\{\gamma^\mu, \gamma_5\} = 0，我们有： N‾γμN→N‾eiαγ5γμeiαγ5N=N‾γμe−iαγ5eiαγ5N=N‾γμN\overline{\mathcal{N}} \gamma^\mu \mathcal{N} \to \overline{\mathcal{N}} e^{i\alpha\gamma_5} \gamma^\mu e^{i\alpha\gamma_5} \mathcal{N} = \overline{\mathcal{N}} \gamma^\mu e^{-i\alpha\gamma_5} e^{i\alpha\gamma_5} \mathcal{N} = \overline{\mathcal{N}} \gamma^\mu \mathcal{N} N‾γμγ5N→N‾eiαγ5γμγ5eiαγ5N=N‾γμγ5N\overline{\mathcal{N}} \gamma^\mu \gamma_5 \mathcal{N} \to \overline{\mathcal{N}} e^{i\alpha\gamma_5} \gamma^\mu \gamma_5 e^{i\alpha\gamma_5} \mathcal{N} = \overline{\mathcal{N}} \gamma^\mu \gamma_5 \mathcal{N} 因此，所有包含导数的项在手征旋转下是严格不变的，不会生成任何新项。

2. 核子质量的修正 消除赝标量项后，剩余的标量质量项变为： −mN2+δm2N‾N=−mN(1+δm22mN2+… )N‾N- \sqrt{m_N^2 + \delta m^2} \overline{\mathcal{N}} \mathcal{N} = - m_N \left( 1 + \frac{\delta m^2}{2 m_N^2} + \dots \right) \overline{\mathcal{N}} \mathcal{N} 由此生成的新项为： ΔLmass=−δm22mNN‾N\Delta \mathcal{L}_{\text{mass}} = - \frac{\delta m^2}{2 m_N} \overline{\mathcal{N}} \mathcal{N} 由于 δm=O(mq)\delta m = \mathcal{O}(m_q)，该项正比于 δm2\delta m^2，即 O(mq2)\mathcal{O}(m_q^2)。

3. Eq. (94.22) 中的 πN\pi N 相互作用项 Eq. (94.22) 中的第二项为： LπN=−θc+m~fππaN‾σaN\mathcal{L}_{\pi N} = - \frac{\theta c_+ \tilde{m}}{f_\pi} \pi^a \overline{\mathcal{N}} \sigma^a \mathcal{N} 该项本身正比于 m~\tilde{m}，即 O(mq)\mathcal{O}(m_q)。在场重新定义下，它变换为： LπN→−θc+m~fππaN‾(cos⁡2α+isin⁡2αγ5)σaN\mathcal{L}_{\pi N} \to - \frac{\theta c_+ \tilde{m}}{f_\pi} \pi^a \overline{\mathcal{N}} (\cos 2\alpha + i \sin 2\alpha \gamma_5) \sigma^a \mathcal{N} 展开后，生成的新项（赝标量部分）为： ΔLπN=−iθc+m~fπsin⁡(2α)πaN‾γ5σaN\Delta \mathcal{L}_{\pi N} = - i \frac{\theta c_+ \tilde{m}}{f_\pi} \sin(2\alpha) \pi^a \overline{\mathcal{N}} \gamma_5 \sigma^a \mathcal{N} 代入 sin⁡2α≈2α≈−δmmN\sin 2\alpha \approx 2\alpha \approx - \frac{\delta m}{m_N}，得到： ΔLπN=iθc+m~δmmNfππaN‾γ5σaN\Delta \mathcal{L}_{\pi N} = i \frac{\theta c_+ \tilde{m} \delta m}{m_N f_\pi} \pi^a \overline{\mathcal{N}} \gamma_5 \sigma^a \mathcal{N} 因为 m~=O(mq)\tilde{m} = \mathcal{O}(m_q) 且 δm=O(mq)\delta m = \mathcal{O}(m_q)，所以该新项是 O(mq2)\mathcal{O}(m_q^2) 的。 （注：标量部分的修正正比于 cos⁡2α−1≈−2α2=O(mq2)\cos 2\alpha - 1 \approx -2\alpha^2 = \mathcal{O}(m_q^2)，因此其变化量为 O(mq3)\mathcal{O}(m_q^3)，受到更高阶压低。）

4. 其他无导数相互作用项 手征拉格朗日量中任何其他的无导数项（例如 σ\sigma 项）本身至少正比于夸克质量矩阵的一次方，即 O(mq)\mathcal{O}(m_q)。 在变换下，这些项的变化量正比于 sin⁡2α=O(mq)\sin 2\alpha = \mathcal{O}(m_q) 或 cos⁡2α−1=O(mq2)\cos 2\alpha - 1 = \mathcal{O}(m_q^2)。 因此，由它们生成的新项的阶数至少为 O(mq)×O(mq)=O(mq2)\mathcal{O}(m_q) \times \mathcal{O}(m_q) = \mathcal{O}(m_q^2)。

综上所述，场重新定义所产生的所有新项均正比于 δm2\delta m^2 或 m~δm\tilde{m} \delta m 等，即： All new terms generated in the lagrangian are O(mq2) or higher.\boxed{ \text{All new terms generated in the lagrangian are } \mathcal{O}(m_q^2) \text{ or higher.} } 这证明了所有新生成的项都至少受到两阶夸克质量的压低。

94.2

Problem 94.2

srednickiChapter 94

习题 94.2

来源: 第94章, PDF第589页

94.2 Consider adding to the Standard Model a massless quark, represented by a pair of Weyl fermions χ\chi and ξ\xi in the 33 and 3ˉ\bar{3} representations of SU(3)\text{SU}(3). Also add a complex scalar Φ\Phi in the singlet representation. Assume that these fields have a Yukawa interaction of the form LYuk=yΦχξ+h.c.\mathcal{L}_{\text{Yuk}} = y \Phi \chi \xi + \text{h.c.}, where yy is the Yukawa coupling constant. Assume that the scalar potential V(Φ)V(\Phi) depends only on Φ†Φ\Phi^\dagger \Phi.

a) Show that the lagrangian is invariant under a Peccei-Quinn transformation χ→eiαχ\chi \rightarrow e^{i\alpha} \chi, ξ→eiαξ\xi \rightarrow e^{i\alpha} \xi, Φ→e−2iαΦ\Phi \rightarrow e^{-2i\alpha} \Phi, all other fields unchanged.

b) Show that this global U(1)PQ\text{U}(1)_{\text{PQ}} symmetry is anomalous, and that θ→θ+2α\theta \rightarrow \theta + 2\alpha under a U(1)PQ\text{U}(1)_{\text{PQ}} transformation.

c) Suppose that V(Φ)V(\Phi) has its minimum at ∣Φ∣=f/2|\Phi| = f/\sqrt{2}, with f≠0f \neq 0. Show that this gives a mass to the quark we introduced.

d) Write Φ=2−1/2(f+ρ)eia/f\Phi = 2^{-1/2}(f + \rho)e^{ia/f}, where ρ\rho and aa are fields. Argue that, in eq. (94.10), we should replace θ\theta with θ+a/f\theta + a/f, and add to eq. (94.9) a kinetic term −12∂μa∂μa-\frac{1}{2} \partial^\mu a \partial_\mu a for the aa field.

d) Show that the minimum of V(U)V(U), defined in eq. (94.11), is at U=IU = I and a=−fθa = -f\theta. Show that PP and CPCP are conserved at this minimum.

e) The particle corresponding to the aa field is the axion; compute its mass, assuming f≫fπf \gg f_\pi.

f) Note that if ff is large, the extra quark becomes very heavy, and the axion becomes very light. Show that couplings of the axion to the hadrons are all suppressed by a factor of 1/f1/f.

Referenced Equations:

Equation (94.10):

M=(mu00md)e−iθ/2(94.10)M = \begin{pmatrix} m_u & 0 \\ 0 & m_d \end{pmatrix} e^{-i\theta/2} \tag{94.10}

Equation (94.11):

V(U)=−v3Tr⁡MU+h.c.(94.11)V(U) = -v^3 \operatorname{Tr} MU + \text{h.c.} \tag{94.11}

Equation (94.9):

L=−14fπ2Tr⁡∂μU†∂μU+v3Tr⁡(MU+M†U†)+iN‾∂ ⁣ ⁣ ⁣/N−mNN‾(U†PL+UPR)N−12(gA−1)iN‾γμ(U∂μU†PL+U†∂μUPR)N−c1N‾(MPL+M†PR)N−c2N‾(U†M†U†PL+UMUPR)N−c3Tr⁡(MU+M†U†)N‾(U†PL+UPR)N−c4Tr⁡(MU−M†U†)N‾(U†PL−UPR)N,(94.9)\begin{aligned} \mathcal{L} &= -\frac{1}{4}f_\pi^2 \operatorname{Tr} \partial^\mu U^\dagger \partial_\mu U + v^3 \operatorname{Tr}(MU + M^\dagger U^\dagger) \\ &\quad + i\overline{N}\partial\!\!\!/ N - m_N \overline{N}(U^\dagger P_{\text{L}} + U P_{\text{R}})N \\ &\quad - \frac{1}{2}(g_{\text{A}}-1)i\overline{N}\gamma^\mu(U\partial_\mu U^\dagger P_{\text{L}} + U^\dagger \partial_\mu U P_{\text{R}})N \\ &\quad - c_1 \overline{N}(MP_{\text{L}} + M^\dagger P_{\text{R}})N - c_2 \overline{N}(U^\dagger M^\dagger U^\dagger P_{\text{L}} + UMUP_{\text{R}})N \\ &\quad - c_3 \operatorname{Tr}(MU + M^\dagger U^\dagger) \overline{N}(U^\dagger P_{\text{L}} + U P_{\text{R}})N \\ &\quad - c_4 \operatorname{Tr}(MU - M^\dagger U^\dagger) \overline{N}(U^\dagger P_{\text{L}} - U P_{\text{R}})N , \end{aligned} \tag{94.9}

习题 94.2 - 解答

习题 94.2 分析与解答

a) 证明拉格朗日量在 Peccei-Quinn 变换下的不变性

先分析模型中各场在 Peccei-Quinn (PQ) 变换 U(1)PQ\text{U}(1)_{\text{PQ}} 下的变换规则： χ→eiαχ,ξ→eiαξ,Φ→e−2iαΦ\chi \rightarrow e^{i\alpha} \chi, \quad \xi \rightarrow e^{i\alpha} \xi, \quad \Phi \rightarrow e^{-2i\alpha} \Phi 拉格朗日量包含动能项、汤川耦合项 LYuk\mathcal{L}_{\text{Yuk}} 和标量势 V(Φ)V(\Phi)。

  1. 动能项：外尔费米子的动能项形式为 iχ†σˉμ∂μχi\chi^\dagger \bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \chi。由于 χ→eiαχ\chi \rightarrow e^{i\alpha}\chi 且 χ†→e−iαχ†\chi^\dagger \rightarrow e^{-i\alpha}\chi^\dagger，相位因子相互抵消，动能项不变。ξ\xi 同理。标量场动能项 −∂μΦ†∂μΦ-\partial^\mu \Phi^\dagger \partial_\mu \Phi 中，Φ†→e2iαΦ†\Phi^\dagger \rightarrow e^{2i\alpha}\Phi^\dagger，相位同样抵消。
  2. 汤川耦合项： LYuk=yΦχξ+h.c.→y(e−2iαΦ)(eiαχ)(eiαξ)+h.c.=yΦχξ+h.c.\mathcal{L}_{\text{Yuk}} = y \Phi \chi \xi + \text{h.c.} \rightarrow y (e^{-2i\alpha} \Phi) (e^{i\alpha} \chi) (e^{i\alpha} \xi) + \text{h.c.} = y \Phi \chi \xi + \text{h.c.} 变换后相位完全抵消，该项保持不变。
  3. 标量势：已知 V(Φ)V(\Phi) 仅依赖于 Φ†Φ\Phi^\dagger \Phi，而 Φ†Φ→(e2iαΦ†)(e−2iαΦ)=Φ†Φ\Phi^\dagger \Phi \rightarrow (e^{2i\alpha}\Phi^\dagger)(e^{-2i\alpha}\Phi) = \Phi^\dagger \Phi，故势能项不变。

综上所述，整个拉格朗日量在 U(1)PQ\text{U}(1)_{\text{PQ}} 变换下是不变的。

b) 证明全局 U(1)PQ\text{U}(1)_{\text{PQ}} 对称性反常，及 θ\theta 的平移

为了看清反常性质，可将两个外尔费米子 χ\chi（处于 3\mathbf{3} 表示）和 ξ\xi（处于 3ˉ\mathbf{\bar{3}} 表示）组合成一个狄拉克费米子 Q=(χξ†)Q = \begin{pmatrix} \chi \\ \xi^\dagger \end{pmatrix}。 在 PQ 变换下，左手部分 QL=χ→eiαQLQ_L = \chi \rightarrow e^{i\alpha} Q_L，右手部分 QR=ξ†→e−iαQRQ_R = \xi^\dagger \rightarrow e^{-i\alpha} Q_R。这等价于对狄拉克场作手征变换（轴矢变换）： Q→eiαγ5QQ \rightarrow e^{i\alpha \gamma_5} Q 根据 QCD 的手征反常，对应于该全局对称性的 Noether 流 JPQμJ^\mu_{\text{PQ}} 不守恒，其散度由规范场的拓扑项给出： ∂μJPQμ=gs216π2GμνaG~aμν\partial_\mu J^\mu_{\text{PQ}} = \frac{g_s^2}{16\pi^2} G^a_{\mu\nu} \tilde{G}^{a\mu\nu} 在路径积分表述中，费米子测度的变换会产生一个雅可比行列式，导致有效作用量改变： δS=∫d4x α∂μJPQμ=∫d4x αgs216π2GμνaG~aμν=∫d4x (2α)gs232π2GμνaG~aμν\delta S = \int d^4x \, \alpha \partial_\mu J^\mu_{\text{PQ}} = \int d^4x \, \alpha \frac{g_s^2}{16\pi^2} G^a_{\mu\nu} \tilde{G}^{a\mu\nu} = \int d^4x \, (2\alpha) \frac{g_s^2}{32\pi^2} G^a_{\mu\nu} \tilde{G}^{a\mu\nu} QCD 拉格朗日量中原有的 θ\theta 项为 Lθ=θgs232π2GμνaG~aμν\mathcal{L}_\theta = \theta \frac{g_s^2}{32\pi^2} G^a_{\mu\nu} \tilde{G}^{a\mu\nu}。比较可知，PQ 变换等效于将 θ\theta 参数平移： θ→θ+2α\boxed{\theta \rightarrow \theta + 2\alpha}

c) 证明标量场真空期望值赋予新夸克质量

当标量势 V(Φ)V(\Phi) 在 ∣Φ∣=f/2|\Phi| = f/\sqrt{2} 处取得极小值时，标量场发生自发对称性破缺。将 Φ\Phi 替换为其真空期望值 ⟨Φ⟩=f/2\langle \Phi \rangle = f/\sqrt{2}，代入汤川耦合项： LYuk=yf2χξ+h.c.\mathcal{L}_{\text{Yuk}} = y \frac{f}{\sqrt{2}} \chi \xi + \text{h.c.} 这正是外尔费米子 χ\chi 和 ξ\xi 结合成的狄拉克费米子 QQ 的质量项。因此，新引入的夸克获得了质量： mQ=yf2\boxed{m_Q = \frac{yf}{\sqrt{2}}}

d) (第一部分) 引入轴子场 aa 及 θ\theta 的替换

将标量场参数化为 Φ=12(f+ρ)eia/f\Phi = \frac{1}{\sqrt{2}}(f + \rho)e^{ia/f}。 在 PQ 变换 Φ→e−2iαΦ\Phi \rightarrow e^{-2i\alpha} \Phi 下，径向场 ρ\rho 不变，而相位场 aa 的变换为： eia/f→ei(a/f−2α)  ⟹  a→a−2αfe^{ia/f} \rightarrow e^{i(a/f - 2\alpha)} \implies a \rightarrow a - 2\alpha f 结合 (b) 中 θ→θ+2α\theta \rightarrow \theta + 2\alpha 的结论，可以发现组合量 θ+a/f\theta + a/f 在 PQ 变换下是规范不变的： θ+af→(θ+2α)+(af−2α)=θ+af\theta + \frac{a}{f} \rightarrow (\theta + 2\alpha) + \left(\frac{a}{f} - 2\alpha\right) = \theta + \frac{a}{f} 为了在低能有效理论中维持 PQ 对称性（该对称性被非线性实现），原方程 (94.10) 中的 θ\theta 必须被替换为不变组合 θ+a/f\theta + a/f。 此外，将 Φ\Phi 的参数化代入标量场动能项 −∂μΦ†∂μΦ-\partial^\mu \Phi^\dagger \partial_\mu \Phi 中： −∂μΦ†∂μΦ=−12∂μρ∂μρ−12(f+ρ)2f2∂μa∂μa-\partial^\mu \Phi^\dagger \partial_\mu \Phi = -\frac{1}{2}\partial^\mu \rho \partial_\mu \rho - \frac{1}{2}\frac{(f+\rho)^2}{f^2}\partial^\mu a \partial_\mu a 在低能下，重场 ρ\rho 被积掉（ρ→0\rho \rightarrow 0），留下 aa 场的规范动能项： Lkin,a=−12∂μa∂μa\boxed{\mathcal{L}_{\text{kin}, a} = -\frac{1}{2} \partial^\mu a \partial_\mu a}

d) (第二部分) 证明 V(U)V(U) 的极小值及 CP 守恒

根据 (94.11) 和替换后的 (94.10)，有效势为： V(U)=−v3Tr⁡(MU)+h.c.,M=(mu00md)e−i(θ+a/f)/2V(U) = -v^3 \operatorname{Tr}(MU) + \text{h.c.}, \quad M = \begin{pmatrix} m_u & 0 \\ 0 & m_d \end{pmatrix} e^{-i(\theta + a/f)/2} 令 θˉ=θ+a/f\bar{\theta} = \theta + a/f。将 SU(2)\text{SU}(2) 介子矩阵参数化为对角形式 U=(eiϕ00e−iϕ)U = \begin{pmatrix} e^{i\phi} & 0 \\ 0 & e^{-i\phi} \end{pmatrix}，代入势能： V(ϕ,a)=−v3[muei(ϕ−θˉ/2)+mde−i(ϕ+θˉ/2)]+h.c.V(\phi, a) = -v^3 \left[ m_u e^{i(\phi - \bar{\theta}/2)} + m_d e^{-i(\phi + \bar{\theta}/2)} \right] + \text{h.c.} V(ϕ,a)=−2v3[mucos⁡(ϕ−θˉ2)+mdcos⁡(ϕ+θˉ2)]V(\phi, a) = -2v^3 \left[ m_u \cos\left(\phi - \frac{\bar{\theta}}{2}\right) + m_d \cos\left(\phi + \frac{\bar{\theta}}{2}\right) \right] 由于 mu,md>0m_u, m_d > 0 且 v3>0v^3 > 0，要使 VV 达到全局极小值，两个余弦函数必须同时取最大值 11。这意味着它们的辐角必须同时为零： ϕ−θˉ2=0且ϕ+θˉ2=0\phi - \frac{\bar{\theta}}{2} = 0 \quad \text{且} \quad \phi + \frac{\bar{\theta}}{2} = 0 解得 ϕ=0\phi = 0 且 θˉ=0\bar{\theta} = 0。

  • ϕ=0\phi = 0 意味着 U=I\boxed{U = I}。
  • θˉ=0\bar{\theta} = 0 意味着 θ+a/f=0\theta + a/f = 0，即 a=−fθ\boxed{a = -f\theta}。 在此极小值处，θˉ=0\bar{\theta} = 0，质量矩阵 MM 变为纯实数对角阵。由于拉格朗日量中不再含有复数相位（即没有破坏 CP 的项），因此在该真空中 PP 和 CPCP 是守恒的。

e) 计算轴子质量

在极小值附近展开势能。定义物理轴子场 a~=a+fθ\tilde{a} = a + f\theta，则 θˉ=a~/f\bar{\theta} = \tilde{a}/f。将 UU 用中性 π\pi 介子场展开：U≈I+iπ0fπτ3−12(π0)2fπ2τ32U \approx I + i\frac{\pi^0}{f_\pi}\tau_3 - \frac{1}{2}\frac{(\pi^0)^2}{f_\pi^2}\tau_3^2。 此时 ϕ=π0/fπ\phi = \pi^0/f_\pi。将 VV 展开到场的平方阶（利用 cos⁡x≈1−x2/2\cos x \approx 1 - x^2/2）： V(2)=v3[mu(π0fπ−a~2f)2+md(π0fπ+a~2f)2]V^{(2)} = v^3 \left[ m_u \left(\frac{\pi^0}{f_\pi} - \frac{\tilde{a}}{2f}\right)^2 + m_d \left(\frac{\pi^0}{f_\pi} + \frac{\tilde{a}}{2f}\right)^2 \right] 提取二次项系数，构建 (π0,a~)(\pi^0, \tilde{a}) 的质量平方矩阵 M2\mathcal{M}^2： M2=2v3(mu+mdfπ2md−mu2fπfmd−mu2fπfmu+md4f2)\mathcal{M}^2 = 2v^3 \begin{pmatrix} \frac{m_u+m_d}{f_\pi^2} & \frac{m_d-m_u}{2f_\pi f} \\ \frac{m_d-m_u}{2f_\pi f} & \frac{m_u+m_d}{4f^2} \end{pmatrix} 已知 π0\pi^0 的质量平方为 mπ2=2v3mu+mdfπ2m_\pi^2 = 2v^3 \frac{m_u+m_d}{f_\pi^2}。 由于 f≫fπf \gg f_\pi，矩阵的 (1,1)(1,1) 元远大于 (2,2)(2,2) 元。利用跷跷板近似（Seesaw approximation），较小的本征值（即轴子质量平方 ma2m_a^2）为： ma2≈M222−(M122)2M112=2v3[mu+md4f2−(md−mu)2/(4fπ2f2)(mu+md)/fπ2]m_a^2 \approx \mathcal{M}^2_{22} - \frac{(\mathcal{M}^2_{12})^2}{\mathcal{M}^2_{11}} = 2v^3 \left[ \frac{m_u+m_d}{4f^2} - \frac{(m_d-m_u)^2 / (4f_\pi^2 f^2)}{(m_u+m_d)/f_\pi^2} \right] ma2=2v34f2[(mu+md)−(md−mu)2mu+md]=2v34f2[4mumdmu+md]=2v3f2mumdmu+mdm_a^2 = \frac{2v^3}{4f^2} \left[ (m_u+m_d) - \frac{(m_d-m_u)^2}{m_u+m_d} \right] = \frac{2v^3}{4f^2} \left[ \frac{4m_u m_d}{m_u+m_d} \right] = \frac{2v^3}{f^2} \frac{m_u m_d}{m_u+m_d} 将 2v3=mπ2fπ2mu+md2v^3 = \frac{m_\pi^2 f_\pi^2}{m_u+m_d} 代入上式： ma2=mπ2fπ2f2mumd(mu+md)2m_a^2 = \frac{m_\pi^2 f_\pi^2}{f^2} \frac{m_u m_d}{(m_u+m_d)^2} 开方得到轴子质量： ma=mπfπfmumdmu+md\boxed{m_a = \frac{m_\pi f_\pi}{f} \frac{\sqrt{m_u m_d}}{m_u + m_d}}

f) 证明轴子与强子的耦合被 1/f1/f 压低

在低能有效拉格朗日量 (94.9) 中，轴子场 aa 仅仅通过质量矩阵 MM 参与相互作用： M=(mu00md)e−i(θ+a/f)/2M = \begin{pmatrix} m_u & 0 \\ 0 & m_d \end{pmatrix} e^{-i(\theta + a/f)/2} 为了得到轴子与强子（核子 NN、介子 UU）的相互作用顶点，我们需要将 MM 及其共轭 M†M^\dagger 对轴子场 aa 进行泰勒展开： M≈M0(1−ia2f−a28f2+… )M \approx M_0 \left( 1 - i\frac{a}{2f} - \frac{a^2}{8f^2} + \dots \right) 可以看出，有效拉格朗日量中任何包含 nn 个轴子场 aa 的相互作用项，必然伴随着 (1/f)n(1/f)^n 的因子。 由于 aa 场的动能项 −12∂μa∂μa-\frac{1}{2}\partial^\mu a \partial_\mu a 已经是正规化的（不需要重新标度），这些展开项直接给出了物理的耦合常数。 因为假设了 f≫fπf \gg f_\pi（且 ff 远大于强子能标），所有包含轴子的相互作用顶点都严格正比于 1/f1/f 或其更高次幂。因此，轴子与所有强子的耦合都被 1/f1/f 强烈压低，这解释了为什么这种“隐形轴子”(Invisible Axion) 极难被实验探测到。