Gauge Field Notes
96.1

Problem 96.1

srednickiChapter 96

习题 96.1

来源: 第96章, PDF第603页

96.1 Explain why we need two Higgs doublets.

习题 96.1 - 解答

在最小超对称标准模型（MSSM）中，我们需要引入两个希格斯二重态（Higgs doublets），而不是像标准模型（SM）中那样只需要一个。这主要基于两个核心的理论物理原因：超势的全纯性（Holomorphy of the superpotential）和规范反常相消（Gauge anomaly cancellation）。

下面分别对这两个物理原因进行详细分析：

1. 超势的全纯性与费米子质量生成

在标准模型中，单个希格斯二重态 HH（超荷 Y=1/2Y=1/2）可以同时赋予下型夸克（down-type quarks）和上型夸克（up-type quarks）质量。下型夸克的汤川耦合直接包含 HH，而上型夸克的汤川耦合则包含其复共轭场 H~=iσ2H∗\tilde{H} = i\sigma_2 H^*（超荷 Y=−1/2Y=-1/2）。

然而，在超对称理论中，相互作用由超势（Superpotential）WW 决定。超对称代数要求超势必须是手征超场（chiral superfields）的全纯函数（holomorphic function），即超势中绝对不能出现超场的复共轭 Φ†\Phi^\dagger。

因此，我们无法使用 H†H^\dagger 来为上型夸克提供质量。为了同时给出上型夸克、下型夸克和带电轻子的质量，必须引入两个独立的手征超场：

  • HuH_u（超荷 Y=+1/2Y=+1/2）：负责赋予上型夸克质量。
  • HdH_d（超荷 Y=−1/2Y=-1/2）：负责赋予下型夸克和带电轻子质量。

对应的汤川超势项写为： WYukawa=yuQHuuˉ+ydQHddˉ+yeLHdeˉW_{\text{Yukawa}} = y_u Q H_u \bar{u} + y_d Q H_d \bar{d} + y_e L H_d \bar{e} 其中 Q,LQ, L 为左手双重态，uˉ,dˉ,eˉ\bar{u}, \bar{d}, \bar{e} 为右手单态的反粒子场。如果没有 HdH_d，下型夸克和电子将无法获得质量。

2. 规范反常相消（Gauge Anomaly Cancellation）

在标准模型中，所有的规范反常（如 SU(3)C2U(1)YSU(3)_C^2 U(1)_Y, SU(2)L2U(1)YSU(2)_L^2 U(1)_Y, U(1)Y3U(1)_Y^3 等）在每一代费米子内部都奇迹般地精确相消。标准模型中的希格斯场是标量玻色子，不参与反常的计算。

但在超对称理论中，每个希格斯二重态都伴随着一个自旋为 1/21/2 的费米子超对称伴子——希格斯诺（Higgsino）。希格斯诺是手征费米子，它们在三角费曼图中循环，会对规范反常产生贡献。

如果只有一个希格斯二重态（例如 HuH_u），其对应的希格斯诺 H~u\tilde{H}_u 具有超荷 Y=1/2Y=1/2，它会对 SU(2)L2U(1)YSU(2)_L^2 U(1)_Y 和 U(1)Y3U(1)_Y^3 反常产生非零贡献，从而破坏理论的规范对称性，导致理论不可重整且不自洽。

为了消除这个反常，必须引入另一个具有相反超荷的费米子二重态。引入 HdH_d 后，其希格斯诺伴子 H~d\tilde{H}_d 具有超荷 Y=−1/2Y=-1/2。由于反常正比于超荷的迹 Tr(Y)\text{Tr}(Y) 和 Tr(Y3)\text{Tr}(Y^3)，这两个希格斯诺的贡献恰好完全抵消： Tr(YH~u)+Tr(YH~d)=2×(12)+2×(−12)=0\text{Tr}(Y_{\tilde{H}_u}) + \text{Tr}(Y_{\tilde{H}_d}) = 2 \times \left(\frac{1}{2}\right) + 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = 0 Tr(YH~u3)+Tr(YH~d3)=2×(12)3+2×(−12)3=0\text{Tr}(Y_{\tilde{H}_u}^3) + \text{Tr}(Y_{\tilde{H}_d}^3) = 2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 + 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right)^3 = 0 （注：因子 2 来自于 SU(2)LSU(2)_L 二重态的维度）。这保证了 MSSM 是一个无反常（anomaly-free）的自洽量子场论。

结论

综上所述，引入两个希格斯二重态是超对称理论在唯象和理论自洽性上的必然要求。

Two Higgs doublets are required in supersymmetric models because:1. Holomorphy: The superpotential must be holomorphic, preventing the use of H† to give mass to both up-type and down-type fermions. Hu and Hd are needed.2. Anomaly Cancellation: The fermionic partners of the Higgs (higgsinos) are chiral. A single higgsino would introduce gauge anomalies. Two higgsinos with opposite hypercharges (Y=±1/2) exactly cancel these anomalies.\boxed{ \begin{aligned} &\text{Two Higgs doublets are required in supersymmetric models because:} \\ &\text{1. \textbf{Holomorphy}: The superpotential must be holomorphic, preventing the use of } H^\dagger \\ &\text{ to give mass to both up-type and down-type fermions. } H_u \text{ and } H_d \text{ are needed.} \\ &\text{2. \textbf{Anomaly Cancellation}: The fermionic partners of the Higgs (higgsinos) are chiral.} \\ &\text{ A single higgsino would introduce gauge anomalies. Two higgsinos with opposite} \\ &\text{ hypercharges } (Y = \pm 1/2) \text{ exactly cancel these anomalies.} \end{aligned} }
96.2

Problem 96.2

srednickiChapter 96

习题 96.2

来源: 第96章, PDF第603,604,605页

96.2 a) Write the mass terms for the Higgs scalars as

LHiggs mass=−m12H†H−m22Hˉ†Hˉ−m32ϵij(HˉiHj+h.c.),(96.6)\mathcal{L}_{\text{Higgs mass}} = - m_1^2 H^\dagger H - m_2^2 \bar{H}^\dagger \bar{H} - m_3^2 \epsilon^{ij} (\bar{H}_i H_j + \text{h.c.}) , \tag{96.6}

and compute the quartic terms in HH and Hˉ\bar{H} that arise from eliminating the auxiliary SU(2)\text{SU}(2) and U(1)\text{U}(1) DD fields.

b) Find the conditions on the mass parameters in eq. (96.6) in order for the potential to be bounded below.

c) Find the conditions on the mass parameters in eq. (96.6) in order to have spontaneous breaking of the SU(2)×U(1)\text{SU}(2) \times \text{U}(1) symmetry.

d) Show that there are five physical Higgs particles, two charged and three neutral.

e) Let tan⁡β≡vˉ/v\tan \beta \equiv \bar{v}/v be the ratio of the two Higgs VEVs. Show that

tan⁡β+cot⁡β=(m12+m22)/m32.(96.7)\tan \beta + \cot \beta = (m_1^2 + m_2^2)/m_3^2 . \tag{96.7}

习题 96.2 - 解答

习题 96.2 分析与解答

(a) 计算由消除辅助场 DD 产生的四次项

在超对称标准模型中，标量势的四次项完全来源于规范群 SU(2)L×U(1)Y\text{SU}(2)_L \times \text{U}(1)_Y 的 DD 场（因为 Higgs 超势 μϵijHˉiHj\mu \epsilon^{ij} \bar{H}_i H_j 只产生二次的 FF 项）。DD 项势能为： VD=12DaDa+12DYDYV_D = \frac{1}{2} D^a D^a + \frac{1}{2} D_Y D_Y 其中辅助场 DaD^a 和 DYD_Y 由标量场给出： Da=g(H†τa2H+Hˉ†τa2Hˉ),DY=g′(−12H†H+12Hˉ†Hˉ)D^a = g \left( H^\dagger \frac{\tau^a}{2} H + \bar{H}^\dagger \frac{\tau^a}{2} \bar{H} \right), \quad D_Y = g' \left( -\frac{1}{2} H^\dagger H + \frac{1}{2} \bar{H}^\dagger \bar{H} \right) 这里使用了超荷约定 YH=−1/2Y_H = -1/2 和 YHˉ=+1/2Y_{\bar{H}} = +1/2。

先计算 SU(2)\text{SU}(2) 部分。利用泡利矩阵的完备性关系 ∑aτijaτkla=2δilδjk−δijδkl\sum_a \tau^a_{ij} \tau^a_{kl} = 2\delta_{il}\delta_{jk} - \delta_{ij}\delta_{kl}，可以得到： ∑a(H†τaH)2=(H†H)2\sum_a (H^\dagger \tau^a H)^2 = (H^\dagger H)^2 ∑a(Hˉ†τaHˉ)2=(Hˉ†Hˉ)2\sum_a (\bar{H}^\dagger \tau^a \bar{H})^2 = (\bar{H}^\dagger \bar{H})^2 ∑a(H†τaH)(Hˉ†τaHˉ)=2(H†Hˉ)(Hˉ†H)−(H†H)(Hˉ†Hˉ)\sum_a (H^\dagger \tau^a H)(\bar{H}^\dagger \tau^a \bar{H}) = 2(H^\dagger \bar{H})(\bar{H}^\dagger H) - (H^\dagger H)(\bar{H}^\dagger \bar{H}) 将这些代入 12DaDa\frac{1}{2} D^a D^a 中： 12DaDa=g28[(H†H)2+(Hˉ†Hˉ)2+2(H†Hˉ)(Hˉ†H)−2(H†H)(Hˉ†Hˉ)]\frac{1}{2} D^a D^a = \frac{g^2}{8} \left[ (H^\dagger H)^2 + (\bar{H}^\dagger \bar{H})^2 + 2(H^\dagger \bar{H})(\bar{H}^\dagger H) - 2(H^\dagger H)(\bar{H}^\dagger \bar{H}) \right] =g28[(H†H−Hˉ†Hˉ)2+4∣H†Hˉ∣2]= \frac{g^2}{8} \left[ (H^\dagger H - \bar{H}^\dagger \bar{H})^2 + 4 |H^\dagger \bar{H}|^2 \right]

再计算 U(1)\text{U}(1) 部分： 12DYDY=g′28(H†H−Hˉ†Hˉ)2\frac{1}{2} D_Y D_Y = \frac{g'^2}{8} (H^\dagger H - \bar{H}^\dagger \bar{H})^2

总的四次势能 Vquartic=12DaDa+12DYDYV_{\text{quartic}} = \frac{1}{2} D^a D^a + \frac{1}{2} D_Y D_Y。由于拉格朗日量中 L⊃−V\mathcal{L} \supset -V，四次项拉格朗日量为： Lquartic=−g2+g′28(H†H−Hˉ†Hˉ)2−g22∣H†Hˉ∣2\boxed{ \mathcal{L}_{\text{quartic}} = - \frac{g^2 + g'^2}{8} (H^\dagger H - \bar{H}^\dagger \bar{H})^2 - \frac{g^2}{2} |H^\dagger \bar{H}|^2 }

(b) 势能有下界的条件

完整的标量势为 V=V2+VquarticV = V_2 + V_{\text{quartic}}。由于 Vquartic≥0V_{\text{quartic}} \ge 0，势能可能趋于 −∞-\infty 的危险方向（即 DD-平坦方向）是使得 Vquartic=0V_{\text{quartic}} = 0 的方向。 令 Vquartic=0V_{\text{quartic}} = 0，必须同时满足：

  1. ∣H∣=∣Hˉ∣|H| = |\bar{H}|
  2. H†Hˉ=0H^\dagger \bar{H} = 0

这可以通过选择特定的分量来实现，例如 H=(v0)H = \begin{pmatrix} v \\ 0 \end{pmatrix} 和 Hˉ=(0veiθ)\bar{H} = \begin{pmatrix} 0 \\ v e^{i\theta} \end{pmatrix}。 沿着这个 DD-平坦方向，四次项消失，势能完全由二次项决定： V=V2=m12∣v∣2+m22∣v∣2−m32(v2eiθ+v∗2e−iθ)=(m12+m22−2m32cos⁡θ)∣v∣2V = V_2 = m_1^2 |v|^2 + m_2^2 |v|^2 - m_3^2 (v^2 e^{i\theta} + v^{*2} e^{-i\theta}) = (m_1^2 + m_2^2 - 2 m_3^2 \cos\theta) |v|^2 为了保证当 ∣v∣→∞|v| \to \infty 时势能有下界（即 V>0V > 0），对于任意相位 θ\theta 都必须满足二次项系数大于零。最危险的情况是 cos⁡θ=sgn(m32)\cos\theta = \text{sgn}(m_3^2)，此时要求： m12+m22>2∣m32∣\boxed{ m_1^2 + m_2^2 > 2 |m_3^2| }

(c) 发生 SU(2)×U(1)\text{SU}(2) \times \text{U}(1) 自发对称性破缺的条件

为了发生自发对称性破缺，原点 H=Hˉ=0H = \bar{H} = 0 必须是一个不稳定的鞍点或极大值点。这意味着中性分量的质量矩阵在原点必须至少有一个负本征值。 写出中性分量 H0H^0 和 Hˉ0\bar{H}^0 的二次势能： V2=m12∣H0∣2+m22∣Hˉ0∣2−m32(H0Hˉ0+H0∗Hˉ0∗)V_2 = m_1^2 |H^0|^2 + m_2^2 |\bar{H}^0|^2 - m_3^2 (H^0 \bar{H}^0 + H^{0*} \bar{H}^{0*}) 设 H0=x1+iy1H^0 = x_1 + i y_1 且 Hˉ0=x2+iy2\bar{H}^0 = x_2 + i y_2，代入上式： V2=m12(x12+y12)+m22(x22+y22)−2m32(x1x2−y1y2)V_2 = m_1^2 (x_1^2 + y_1^2) + m_2^2 (x_2^2 + y_2^2) - 2 m_3^2 (x_1 x_2 - y_1 y_2) 对于实部 (x1,x2)(x_1, x_2)，其质量平方矩阵为： M2=(m12−m32−m32m22)M^2 = \begin{pmatrix} m_1^2 & -m_3^2 \\ -m_3^2 & m_2^2 \end{pmatrix} 要使原点不稳定，该矩阵必须有负本征值，即其行列式必须小于零： det⁡(M2)=m12m22−m34<0\det(M^2) = m_1^2 m_2^2 - m_3^4 < 0 因此，自发对称性破缺的条件为： m12m22<m34\boxed{ m_1^2 m_2^2 < m_3^4 }

(d) 证明存在 5 个物理 Higgs 粒子（2 个带电，3 个中性）

  1. 自由度计数：两个复二重态 HH 和 Hˉ\bar{H} 共有 2×4=82 \times 4 = 8 个实标量自由度。
  2. 对称性破缺：电弱对称性破缺 SU(2)L×U(1)Y→U(1)EM\text{SU}(2)_L \times \text{U}(1)_Y \to \text{U}(1)_{\text{EM}} 破坏了 3 个规范生成元。
  3. Goldstone 定理：这 3 个破缺的生成元对应 3 个无质量的 Goldstone 玻色子，它们被 W+,W−W^+, W^- 和 Z0Z^0 规范玻色子“吃掉”以获得质量。
  4. 剩余物理自由度：8−3=58 - 3 = 5 个物理标量自由度。
  5. 电荷分配：
    • 初始带电分量为 H−H^- 和 Hˉ+\bar{H}^+（共 4 个实自由度）。其中 1 个复线性组合（2 个实自由度）成为 W±W^\pm 的纵向分量，剩下的 1 个复线性组合构成了一对带电的物理 Higgs 粒子 H±H^\pm（即 2 个带电粒子）。
    • 初始中性分量为 H0H^0 和 Hˉ0\bar{H}^0（共 4 个实自由度）。其中 1 个 CP 奇的实线性组合成为 Z0Z^0 的纵向分量，剩下的 3 个实自由度构成了 3 个中性物理 Higgs 粒子（通常记为两个 CP 偶的 h0,H0h^0, H^0 和一个 CP 奇的 A0A^0）。

由此得证：存在 5 个物理 Higgs 粒子，其中 2 个带电，3 个中性。\boxed{\text{存在 5 个物理 Higgs 粒子，其中 2 个带电，3 个中性。}}

(e) 证明 tan⁡β+cot⁡β=(m12+m22)/m32\tan \beta + \cot \beta = (m_1^2 + m_2^2)/m_3^2

设中性分量的真空期望值（VEV）为 ⟨H0⟩=v\langle H^0 \rangle = v 和 ⟨Hˉ0⟩=vˉ\langle \bar{H}^0 \rangle = \bar{v}（取实数）。将 VEV 代入标量势中，得到关于 vv 和 vˉ\bar{v} 的势能函数： V(v,vˉ)=m12v2+m22vˉ2−2m32vvˉ+g2+g′28(v2−vˉ2)2V(v, \bar{v}) = m_1^2 v^2 + m_2^2 \bar{v}^2 - 2 m_3^2 v \bar{v} + \frac{g^2 + g'^2}{8} (v^2 - \bar{v}^2)^2 真空必须是势能的极小值点，因此满足极值条件 ∂V∂v=0\frac{\partial V}{\partial v} = 0 和 ∂V∂vˉ=0\frac{\partial V}{\partial \bar{v}} = 0： ∂V∂v=2m12v−2m32vˉ+g2+g′22v(v2−vˉ2)=0\frac{\partial V}{\partial v} = 2 m_1^2 v - 2 m_3^2 \bar{v} + \frac{g^2 + g'^2}{2} v (v^2 - \bar{v}^2) = 0 ∂V∂vˉ=2m22vˉ−2m32v−g2+g′22vˉ(v2−vˉ2)=0\frac{\partial V}{\partial \bar{v}} = 2 m_2^2 \bar{v} - 2 m_3^2 v - \frac{g^2 + g'^2}{2} \bar{v} (v^2 - \bar{v}^2) = 0 为了消去非线性的四次项，将第一式乘以 vˉ\bar{v}，第二式乘以 vv： 2m12vvˉ−2m32vˉ2+g2+g′22vvˉ(v2−vˉ2)=02 m_1^2 v \bar{v} - 2 m_3^2 \bar{v}^2 + \frac{g^2 + g'^2}{2} v \bar{v} (v^2 - \bar{v}^2) = 0 2m22vvˉ−2m32v2−g2+g′22vvˉ(v2−vˉ2)=02 m_2^2 v \bar{v} - 2 m_3^2 v^2 - \frac{g^2 + g'^2}{2} v \bar{v} (v^2 - \bar{v}^2) = 0 将两式相加，四次项刚好抵消： 2(m12+m22)vvˉ−2m32(v2+vˉ2)=02 (m_1^2 + m_2^2) v \bar{v} - 2 m_3^2 (v^2 + \bar{v}^2) = 0 两边同除以 2m32vvˉ2 m_3^2 v \bar{v}，得到： m12+m22m32=v2+vˉ2vvˉ=vvˉ+vˉv\frac{m_1^2 + m_2^2}{m_3^2} = \frac{v^2 + \bar{v}^2}{v \bar{v}} = \frac{v}{\bar{v}} + \frac{\bar{v}}{v} 根据定义 tan⁡β≡vˉ/v\tan \beta \equiv \bar{v}/v，显然有 cot⁡β=v/vˉ\cot \beta = v/\bar{v}，代入上式即得： tan⁡β+cot⁡β=m12+m22m32\boxed{ \tan \beta + \cot \beta = \frac{m_1^2 + m_2^2}{m_3^2} }