习题 13.1 - 解答

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习题分析

在 $4-\epsilon$ 维的临界现象中，系统的宏观物理量（如吉布斯自由能）在临界点附近表现出标度行为。这种标度行为可以通过重整化群的 Callan-Symanzik (CS) 方程来推导。当系统的裸耦合常数 $\lambda$ 并不严格等于红外不动点 $\lambda_*$ 时，耦合常数随能标的流动会给纯粹的标度律带来修正。由于 $\lambda$ 趋向 $\lambda_*$ 的速度由 $\beta$ 函数在不动点处的斜率决定，这自然引出了修正标度指数 $\omega$。

下面分步通过求解 CS 方程来推导自由能的修正形式，并计算 $\omega$ 在 $\epsilon$ 展开下的首阶结果。

1. Callan-Symanzik 方程与特征线解

吉布斯自由能 $G(M, t, \lambda, \mu)$ 满足如下的 CS 方程：

利用特征线法，引入无量纲的流动参数 $\rho$，定义跑动参数：

CS 方程的解表明，自由能在标度变换下满足：

2. 不动点附近的参数演化

在红外极限（$\rho \to 0$）下，跑动耦合常数 $\bar{\lambda}$ 趋向于红外不动点 $\lambda_*$，满足 $\beta(\lambda_*) = 0$。在 $\lambda_*$ 附近对 $\beta$ 函数进行泰勒展开：

代入 $\bar{\lambda}$ 的流动方程并积分，得到：

对于跑动温度 $\bar{t}(\rho)$，在 $\lambda_*$ 附近展开反常标度维数 $\gamma_m(\bar{\lambda}) \approx \gamma_m^* + \gamma_m'^* (\bar{\lambda} - \lambda_*)$，积分得到：

同理，跑动磁化强度 $\bar{M}(\rho)$ 为：

3. 自由能的标度修正

由量纲分析，自由能密度 $G$ 的质量量纲为 $d$：

为了提取临界标度行为，我们选择特定的 $\rho$ 使得 $\bar{t}(\rho) / (\rho \mu)^2 = 1$。在零阶近似下，$\bar{t}(\rho) \approx t \rho^{-\gamma_m^*}$，因此：

其中 $\nu = 1/(2 + \gamma_m^*)$ 是关联长度的临界指数。 此时，修正项中的 $\rho^\omega$ 变为：

将 $\bar{\lambda}(\rho)$、$\bar{t}(\rho)$ 和 $\bar{M}(\rho)$ 代入无量纲函数 $\Phi$ 中，并在 $\lambda_*$ 处展开。所有由于 $\lambda \neq \lambda_*$ 引起的一阶修正项均正比于 $\bar{\lambda}(\rho) - \lambda_* \propto (\lambda - \lambda_*) \rho^\omega$。因此，自由能可以写为零阶标度项加上一阶修正项：

其中 $\hat{k}$ 是依赖于标度不变量 $t M^{-1/\beta}$ 的无量纲函数。这就证明了修正标度指数 $\omega$ 的存在及其定义。

4. 计算修正标度指数 $\omega$

在 $d = 4 - \epsilon$ 维的 $\phi^4$ 理论中，单圈近似下的 $\beta$ 函数为：

寻找非平凡的 Wilson-Fisher 不动点 $\lambda_* \neq 0$，令 $\beta(\lambda_*) = 0$：

根据定义，计算 $\beta$ 函数在 $\lambda_*$ 处的导数：

将 $\lambda_*$ 的表达式代入上式：

因此，我们得到修正标度指数的首阶结果：

习题 13.2 - 解答

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习题分析与解答

1. 单一标量场 $\phi^4$ 理论中的反常标度因数 $\gamma(\lambda)$

在 $\phi^4$ 理论中，拉格朗日量为 $\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial\phi)^2 - \frac{1}{2}m^2\phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4$。波函数重整化常数 $Z = 1 + \delta_Z$ 由单粒子不可约（1PI）两点函数 $\Sigma(p^2)$ 的发散部分决定。为了抵消发散，要求 $p^2 \delta_Z - \Sigma(p^2)$ 为有限值。

根据习题 10.3 的结果，对 $\Sigma(p^2)$ 产生领头阶（$\mathcal{O}(\lambda^2)$）贡献的是双圈“日落图”（sunset diagram）。其振幅为： $-i\Sigma(p) = \frac{(-i\lambda)^2}{3!} \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \frac{d^d q}{(2\pi)^d} \frac{i}{k^2} \frac{i}{q^2} \frac{i}{(p-k-q)^2}$ 在维数正规化（$d = 4 - \epsilon$）下，将动量积分转到欧几里得空间，积分的极点部分为： $\int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \frac{d^d q}{(2\pi)^d} \frac{i}{k^2} \frac{i}{q^2} \frac{i}{(p-k-q)^2} = -i \frac{p^2}{2\epsilon(4\pi)^4} + \text{finite}$ 代入自能表达式中，得到： $-i\Sigma(p) = -\frac{\lambda^2}{6} \left( -i \frac{p^2}{2\epsilon(4\pi)^4} \right) = i \frac{\lambda^2}{12\epsilon(4\pi)^4} p^2 \implies \Sigma(p) = -\frac{\lambda^2}{12\epsilon(4\pi)^4} p^2$ 为了消除发散，动能反项必须满足 $\delta_Z = \text{pole part of } \frac{\Sigma(p)}{p^2}$，因此： $\delta_Z = -\frac{\lambda^2}{12\epsilon(4\pi)^4}$ 在最小减除（MS）方案中，反常标度因数 $\gamma(\lambda)$ 的定义为： $\gamma(\lambda) = \frac{1}{2} \mu \frac{d}{d\mu} \ln Z \approx \frac{1}{2} \beta(\lambda) \frac{\partial \delta_Z}{\partial \lambda}$ 代入领头阶的 $\beta$ 函数 $\beta(\lambda) = -\epsilon \lambda + \mathcal{O}(\lambda^2)$，可得： $\gamma(\lambda) = \frac{1}{2} (-\epsilon \lambda) \left( -\frac{2\lambda}{12\epsilon(4\pi)^4} \right) = \frac{\lambda^2}{12(4\pi)^4}$ 这证明了单一标量场 $\phi^4$ 理论中 $\gamma$ 的领头阶结果。

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2. 推广至 $O(N)$ 对称的 $\phi^4$ 理论并推导 Eq. (13.47)

对于 $O(N)$ 对称理论，相互作用项为 $\Delta \mathcal{L} = -\frac{\lambda}{4} (\phi^i \phi^i)^2$。对应的四点顶点规则为： $V_{ijkl} = -2i\lambda (\delta_{ij}\delta_{kl} + \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk})$ 计算外线指标为 $a$ 和 $b$ 的日落图时，需要对内部三个传播子的指标 $i, j, k$ 求和。顶点因子的收缩为： $\sum_{i,j,k} V_{aijk} V_{bijk} = (-2i\lambda)^2 \sum_{i,j,k} (\delta_{ai}\delta_{jk} + \delta_{aj}\delta_{ik} + \delta_{ak}\delta_{ij}) (\delta_{bi}\delta_{jk} + \delta_{bj}\delta_{ik} + \delta_{bk}\delta_{ij})$ 展开并利用 $\delta_{ii} = N$，上述指标求和给出 $3N \delta_{ab} + 6 \delta_{ab} = 3(N+2)\delta_{ab}$。因此，日落图的对称因子 $1/3!$ 与顶点收缩结合后给出： $-i\Sigma^{ab}(p) = \frac{1}{3!} \left[ -4\lambda^2 \times 3(N+2)\delta^{ab} \right] \left( -i \frac{p^2}{2\epsilon(4\pi)^4} \right) = i \frac{\lambda^2(N+2)}{\epsilon(4\pi)^4} p^2 \delta^{ab}$ 由此得到 $O(N)$ 理论的波函数重整化反项为： $\delta_Z = -\frac{\lambda^2(N+2)}{\epsilon(4\pi)^4}$ 同理，利用 $\gamma = \frac{1}{2} \beta(\lambda) \frac{\partial \delta_Z}{\partial \lambda}$，得到 $O(N)$ 理论的反常标度因数： $\gamma(\lambda) = \frac{1}{2} (-\epsilon \lambda) \left( -\frac{2\lambda(N+2)}{\epsilon(4\pi)^4} \right) = \frac{(N+2)\lambda^2}{(4\pi)^4}$ 注意到 $(4\pi)^4 = 256\pi^4 = 4(8\pi^2)^2$，将其代入分母，即成功推导出 Eq. (13.47)： $\gamma(\lambda) = (N+2) \frac{\lambda^2}{4(8\pi^2)^2} + \mathcal{O}(\lambda^3)$

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3. 计算临界指数 $\eta$ 的领头阶（$\mathcal{O}(\epsilon^2)$）贡献

临界指数 $\eta$ 描述了在 Wilson-Fisher 不动点 $\lambda_*$ 处两点关联函数的标度行为 $G(p) \sim p^{-2+\eta}$。由 Callan-Symanzik 方程可知，它与反常标度因数的关系为： $\eta = 2\gamma(\lambda_*)$ 在 $d = 4 - \epsilon$ 维下，$O(N)$ 理论的 $\beta$ 函数到单圈阶为： $\beta(\lambda) = -\epsilon \lambda + \frac{N+8}{8\pi^2} \lambda^2$ 令 $\beta(\lambda_*) = 0$，解得 Wilson-Fisher 不动点的耦合常数为： $\lambda_* = \frac{8\pi^2 \epsilon}{N+8}$ 将 $\lambda_*$ 代入前面求得的 $\gamma(\lambda)$ 表达式中： $\gamma(\lambda_*) = (N+2) \frac{1}{4(8\pi^2)^2} \left( \frac{8\pi^2 \epsilon}{N+8} \right)^2 = \frac{N+2}{4(N+8)^2} \epsilon^2$ 最终得到临界指数 $\eta$ 的领头阶贡献为： $\boxed{ \eta = \frac{N+2}{2(N+8)^2} \epsilon^2 }$

习题 13.3 - 解答

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(a) 局域对称性与 $O(3)$ 非线性 $\sigma$ 模型到 $CP^1$ 的转换

1. 证明拉格朗日量的局域 $U(1)$ 对称性

考虑拉格朗日量： $\mathcal{L} = \frac{1}{g^2} \left[ |\partial_\mu z_j|^2 - |z_j^* \partial_\mu z_j|^2 \right]$ 在局域相位变换 $z_j(x) \rightarrow e^{i\alpha(x)} z_j(x)$ 下，导数项变为： $\partial_\mu z_j \rightarrow e^{i\alpha} (\partial_\mu z_j + i (\partial_\mu \alpha) z_j)$ 计算第一项 $|\partial_\mu z_j|^2$ 的变换： $|\partial_\mu z_j|^2 \rightarrow (\partial_\mu z_j^* - i \partial_\mu \alpha z_j^*)(\partial_\mu z_j + i \partial_\mu \alpha z_j) = |\partial_\mu z_j|^2 + i \partial_\mu \alpha (z_j^* \partial_\mu z_j - \partial_\mu z_j^* z_j) + (\partial_\mu \alpha)^2 |z_j|^2$ 利用约束条件 $\sum_j |z_j|^2 = 1$ 及其推论 $z_j^* \partial_\mu z_j = -(\partial_\mu z_j^*) z_j$，上式化简为： $|\partial_\mu z_j|^2 \rightarrow |\partial_\mu z_j|^2 + 2i \partial_\mu \alpha (z_j^* \partial_\mu z_j) + (\partial_\mu \alpha)^2$ 计算第二项 $|z_j^* \partial_\mu z_j|^2$ 的变换。首先看括号内的项： $z_j^* \partial_\mu z_j \rightarrow e^{-i\alpha} z_j^* e^{i\alpha} (\partial_\mu z_j + i \partial_\mu \alpha z_j) = z_j^* \partial_\mu z_j + i \partial_\mu \alpha |z_j|^2 = z_j^* \partial_\mu z_j + i \partial_\mu \alpha$ 取模平方： $|z_j^* \partial_\mu z_j + i \partial_\mu \alpha|^2 = |z_j^* \partial_\mu z_j|^2 - i \partial_\mu \alpha (z_j^* \partial_\mu z_j - \partial_\mu z_j^* z_j) + (\partial_\mu \alpha)^2$ 同样利用 $z_j^* \partial_\mu z_j = -(\partial_\mu z_j^*) z_j$，得到： $|z_j^* \partial_\mu z_j|^2 \rightarrow |z_j^* \partial_\mu z_j|^2 + 2i \partial_\mu \alpha (z_j^* \partial_\mu z_j) + (\partial_\mu \alpha)^2$ 将两项相减，所有含 $\partial_\mu \alpha$ 的项完全抵消： $\boxed{ \mathcal{L} \rightarrow \mathcal{L} }$ 因此该拉格朗日量具有局域 $U(1)$ 规范对称性。

2. $N=3$ 非线性 $\sigma$ 模型到 $CP^1$ 模型的转换

$O(3)$ 非线性 $\sigma$ 模型的场为三维单位矢量 $n^i$，拉格朗日量为 $\mathcal{L}_{O(3)} = \frac{1}{2g_{O(3)}^2} (\partial_\mu n^i)^2$。 代入 $n^i = z^* \sigma^i z$（其中 $z$ 为两组分复矢量，$N=1$），计算导数： $\partial_\mu n^i = (\partial_\mu z^\dagger) \sigma^i z + z^\dagger \sigma^i (\partial_\mu z)$ 平方并求和，利用泡利矩阵的完备性关系 $\sigma^i_{ab} \sigma^i_{cd} = 2\delta_{ad}\delta_{bc} - \delta_{ab}\delta_{cd}$： $(\partial_\mu n^i)^2 = \sigma^i_{ab} \sigma^i_{cd} [ \partial_\mu z^*_a z_b + z^*_a \partial_\mu z_b ] [ \partial^\mu z^*_c z_d + z^*_c \partial^\mu z_d ]$ 展开并应用完备性关系，利用 $z^\dagger z = 1$ 和 $z^\dagger \partial_\mu z = -\partial_\mu z^\dagger z$： $(\partial_\mu n^i)^2 = 2 [ (\partial_\mu z^\dagger z)(\partial^\mu z^\dagger z) + 2|\partial_\mu z|^2 + (z^\dagger \partial^\mu z)(\partial_\mu z^\dagger z) ] - [ \partial_\mu (z^\dagger z) \partial^\mu (z^\dagger z) ]$ 由于 $z^\dagger z = 1$，最后一项为 0。且 $(\partial_\mu z^\dagger z) = -(z^\dagger \partial_\mu z)$，故 $(\partial_\mu z^\dagger z)^2 = (z^\dagger \partial_\mu z)^2 = -|z^\dagger \partial_\mu z|^2$（因为 $z^\dagger \partial_\mu z$ 是纯虚数）。 代入化简得到： $(\partial_\mu n^i)^2 = 4 \left( |\partial_\mu z|^2 - |z^\dagger \partial_\mu z|^2 \right)$ 因此，$O(3)$ 模型的拉格朗日量变为： $\boxed{ \mathcal{L}_{O(3)} = \frac{2}{g_{O(3)}^2} \left[ |\partial_\mu z|^2 - |z^\dagger \partial_\mu z|^2 \right] }$ 这正是 $CP^1$ 模型的拉格朗日量（只需重新定义耦合常数 $g^2 = g_{O(3)}^2 / 2$）。

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(b) 引入辅助场重写拉格朗日量

考虑带有拉格朗日乘子 $\lambda$ 和规范场 $A_\mu$ 的拉格朗日量： $\mathcal{L} = \frac{1}{g^2} \left[ |D_\mu z_j|^2 - \lambda(|z_j|^2 - 1) \right]$ 其中 $D_\mu = \partial_\mu + iA_\mu$。 首先对 $\lambda$ 进行泛函积分，这会产生一个 $\delta$ 泛函 $\delta(|z_j|^2 - 1)$，从而严格实现约束 $|z_j|^2 = 1$。 在约束成立的前提下，展开 $|D_\mu z_j|^2$： $|D_\mu z_j|^2 = (\partial_\mu z_j^* - iA_\mu z_j^*)(\partial^\mu z_j + iA^\mu z_j) = |\partial_\mu z_j|^2 + iA^\mu (z_j^* \partial_\mu z_j - \partial_\mu z_j^* z_j) + A_\mu A^\mu |z_j|^2$ 利用 $|z_j|^2 = 1$ 和 $z_j^* \partial_\mu z_j = -\partial_\mu z_j^* z_j$，上式化为： $|D_\mu z_j|^2 = |\partial_\mu z_j|^2 + 2i A^\mu (z_j^* \partial_\mu z_j) + A_\mu A^\mu$ 接下来对 $A_\mu$ 进行泛函积分。由于这是关于 $A_\mu$ 的高斯积分，积分结果等价于将 $A_\mu$ 的经典运动方程代回拉格朗日量。对 $A_\mu$ 变分求极值： $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A^\mu} = \frac{1}{g^2} \left[ 2i (z_j^* \partial_\mu z_j) + 2A_\mu \right] = 0 \implies A_\mu = -i (z_j^* \partial_\mu z_j)$ 将此 $A_\mu$ 代回拉格朗日量： $\mathcal{L} = \frac{1}{g^2} \left[ |\partial_\mu z_j|^2 + 2i (-i z_j^* \partial_\mu z_j)(z_j^* \partial^\mu z_j) + (-i z_j^* \partial_\mu z_j)^2 \right]$ $\mathcal{L} = \frac{1}{g^2} \left[ |\partial_\mu z_j|^2 + 2(z_j^* \partial_\mu z_j)^2 - (z_j^* \partial_\mu z_j)^2 \right] = \frac{1}{g^2} \left[ |\partial_\mu z_j|^2 + (z_j^* \partial_\mu z_j)^2 \right]$ 由于 $z_j^* \partial_\mu z_j$ 是纯虚数，其平方等于负的模平方，即 $(z_j^* \partial_\mu z_j)^2 = -|z_j^* \partial_\mu z_j|^2$。因此： $\boxed{ \mathcal{L} = \frac{1}{g^2} \left[ |\partial_\mu z_j|^2 - |z_j^* \partial_\mu z_j|^2 \right] }$

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(c) 大 $N$ 极限与质量能隙方程

在泛函积分中积掉 $N$ 个复标量场 $z_j$。作用量中关于 $z_j$ 的二次项为 $\int d^2x \frac{1}{g^2} z_j^* (-D^2 - \lambda) z_j$。高斯积分给出行列式 $[\det(-D^2 - \lambda)]^{-N}$。 将其写到指数上，并保留大 $N$ 领头项，配分函数变为： $Z = \int DA D\lambda \exp \left[ -N \operatorname{tr} \log(-D^2 - \lambda) + \frac{i}{g^2} \int d^2 x \lambda \right]$ 寻找指数的鞍点（极值条件）。对 $A_\mu$ 变分，由于洛伦兹不变性和宇称对称性，真空中流的期望值为零，故存在解 $A_\mu = 0$。 在 $A_\mu = 0$ 处，对 $\lambda$ 变分得到间隙方程（设鞍点处 $\lambda = m^2 > 0$）： $-N \operatorname{tr} \left[ \frac{-1}{-\partial^2 - m^2} \right] + \frac{i}{g^2} \int d^2x = 0$ 转到动量空间并进行 Wick 转动到欧几里得空间（$k^0 = i k^0_E, k^2 = -k_E^2$）： $N \int \frac{d^2 k_E}{(2\pi)^2} \frac{1}{k_E^2 + m^2} = \frac{1}{g^2}$ 引入紫外截断 $M$ 计算积分： $\frac{N}{4\pi} \log\left(\frac{M^2 + m^2}{m^2}\right) \approx \frac{N}{4\pi} \log\left(\frac{M^2}{m^2}\right) = \frac{1}{g^2}$ 解此方程得到动态生成的质量 $m$： $\log\left(\frac{M}{m}\right) = \frac{2\pi}{g^2 N} \implies \boxed{ m = M \exp \left[ -\frac{2\pi}{g^2 N} \right] }$

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(d) 展开有效作用量与光子动能项的生成

在 $A_\mu = 0$ 附近展开有效作用量 $-N \operatorname{tr} \log(-D^2 - m^2)$。 算符 $-D^2 - m^2 = -\partial^2 - m^2 - i\partial_\mu A^\mu - 2i A^\mu \partial_\mu + A^2$。记自由传播子逆为 $\Delta = -\partial^2 - m^2$，微扰项为 $\delta V = -i(\partial \cdot A) - 2i A \cdot \partial + A^2$。 利用 $\log(\Delta + \delta V) = \log \Delta + \Delta^{-1} \delta V - \frac{1}{2} (\Delta^{-1} \delta V)^2 + \dots$，提取 $A_\mu$ 的二次项，这正是 $N$ 个质量为 $m$ 的复标量场的真空极化图（Vacuum Polarization）贡献： $S_{\text{eff}}^{(2)} = \frac{1}{2} \int \frac{d^2 q}{(2\pi)^2} A_\mu(q) \Pi^{\mu\nu}(q) A_\nu(-q)$ 使用维数正规化（$d=2-\epsilon$）计算标量 QED 的真空极化张量 $\Pi^{\mu\nu}(q)$。由规范不变性可知 $\Pi^{\mu\nu}(q) = (q^2 g^{\mu\nu} - q^\mu q^\nu) \Pi(q^2)$。 单圈图包含泡泡图和蝌蚪图，结合费曼参数法，其横向部分的标量函数为： $\Pi(q^2) = \frac{2N}{(4\pi)^{d/2}} \Gamma\left(2-\frac{d}{2}\right) \int_0^1 dx \frac{x(1-x)}{[m^2 - x(1-x)q^2]^{2-d/2}}$ 在 $d \rightarrow 2$ 极限下，$\Gamma(1) = 1$，分母指数为 $1$： $\Pi(q^2) = \frac{N}{2\pi} \int_0^1 dx \frac{x(1-x)}{m^2 - x(1-x)q^2}$ 在低能极限 $q^2 \rightarrow 0$ 下展开： $\Pi(0) = \frac{N}{2\pi m^2} \int_0^1 dx \, x(1-x) = \frac{N}{2\pi m^2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = \frac{N}{12\pi m^2}$ 代回有效作用量，在坐标空间中，$(q^2 g^{\mu\nu} - q^\mu q^\nu) A_\mu A_\nu$ 对应于 $\frac{1}{2} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}$。因此，有效拉格朗日量中产生了 $A_\mu$ 的标准动能项： $\boxed{ \mathcal{L}_{\text{kin}} = \frac{N}{48\pi m^2} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} }$ 这表明，原本没有动能项的辅助场 $A_\mu$ 通过量子修正获得了标准的麦克斯韦动能项，成为一个动力学的无质量光子，而 $z_j$ 场则表现为与之相互作用的 $(N+1)$ 个质量为 $m$ 的复标量场。