习题 5.1 - 解答
先分析复标量场（Complex Scalar Field）的自由场展开与粒子产生/湮灭算符的关系。在大多数量子场论教材（如 Srednicki，采用 mostly plus 度规 ( − , + , + , + ) (-,+,+,+) ( − , + , + , + ) φ ( x ) \varphi(x) φ ( x ) φ † ( x ) \varphi^\dagger(x) φ † ( x ) φ ( x ) = ∫ d k ~ [ a ( k ) e i k x + b † ( k ) e − i k x ] \varphi(x) = \int \widetilde{dk} \left[ a(\mathbf{k}) e^{ikx} + b^\dagger(\mathbf{k}) e^{-ikx} \right] φ ( x ) = ∫ d k [ a ( k ) e ik x + b † ( k ) e − ik x ] φ † ( x ) = ∫ d k ~ [ b ( k ) e i k x + a † ( k ) e − i k x ] \varphi^\dagger(x) = \int \widetilde{dk} \left[ b(\mathbf{k}) e^{ikx} + a^\dagger(\mathbf{k}) e^{-ikx} \right] φ † ( x ) = ∫ d k [ b ( k ) e ik x + a † ( k ) e − ik x ] d k ~ = d 3 k ( 2 π ) 3 2 ω k \widetilde{dk} = \frac{d^3k}{(2\pi)^3 2\omega_k} d k = ( 2 π ) 3 2 ω k d 3 k ω k = k 2 + m 2 \omega_k = \sqrt{\mathbf{k}^2 + m^2} ω k = k 2 + m 2 a † ( k ) a^\dagger(\mathbf{k}) a † ( k ) k \mathbf{k} k a a a b † ( k ) b^\dagger(\mathbf{k}) b † ( k ) k \mathbf{k} k b b b
下面分步推导 LSZ 约化公式。
第一步：利用反傅里叶变换提取产生与湮灭算符
利用克莱因-高登内积 f ∂ 0 ↔ g = f ∂ 0 g − ( ∂ 0 f ) g f \overleftrightarrow{\partial_0} g = f \partial_0 g - (\partial_0 f) g f ∂ 0 g = f ∂ 0 g − ( ∂ 0 f ) g ∂ 0 e i k x = − i ω k e i k x \partial_0 e^{ikx} = -i\omega_k e^{ikx} ∂ 0 e ik x = − i ω k e ik x ∂ 0 e − i k x = i ω k e − i k x \partial_0 e^{-ikx} = i\omega_k e^{-ikx} ∂ 0 e − ik x = i ω k e − ik x a † ( k ) = − i ∫ d 3 x e i k x ∂ 0 ↔ φ † ( x ) a^\dagger(\mathbf{k}) = -i \int d^3x \, e^{ikx} \overleftrightarrow{\partial_0} \varphi^\dagger(x) a † ( k ) = − i ∫ d 3 x e ik x ∂ 0 φ † ( x ) b † ( k ) = − i ∫ d 3 x e i k x ∂ 0 ↔ φ ( x ) b^\dagger(\mathbf{k}) = -i \int d^3x \, e^{ikx} \overleftrightarrow{\partial_0} \varphi(x) b † ( k ) = − i ∫ d 3 x e ik x ∂ 0 φ ( x ) a ( k ) = i ∫ d 3 x e − i k x ∂ 0 ↔ φ ( x ) a(\mathbf{k}) = i \int d^3x \, e^{-ikx} \overleftrightarrow{\partial_0} \varphi(x) a ( k ) = i ∫ d 3 x e − ik x ∂ 0 φ ( x ) b ( k ) = i ∫ d 3 x e − i k x ∂ 0 ↔ φ † ( x ) b(\mathbf{k}) = i \int d^3x \, e^{-ikx} \overleftrightarrow{\partial_0} \varphi^\dagger(x) b ( k ) = i ∫ d 3 x e − ik x ∂ 0 φ † ( x )
第二步：推导单粒子的约化关系
考虑初态中包含一个动量为 k \mathbf{k} k a a a φ ( x ) → Z 1 / 2 φ in/out ( x ) \varphi(x) \to Z^{1/2} \varphi_{\text{in/out}}(x) φ ( x ) → Z 1/2 φ in/out ( x ) t → ∓ ∞ t \to \mp \infty t → ∓ ∞ a out † ( k ) − a in † ( k ) = ∫ − ∞ ∞ d t ∂ 0 ( − i Z − 1 / 2 ∫ d 3 x e i k x ∂ 0 ↔ φ † ( x ) ) a_{\text{out}}^\dagger(\mathbf{k}) - a_{\text{in}}^\dagger(\mathbf{k}) = \int_{-\infty}^{\infty} dt \, \partial_0 \left( -i Z^{-1/2} \int d^3x \, e^{ikx} \overleftrightarrow{\partial_0} \varphi^\dagger(x) \right) a out † ( k ) − a in † ( k ) = ∫ − ∞ ∞ d t ∂ 0 ( − i Z − 1/2 ∫ d 3 x e ik x ∂ 0 φ † ( x ) ) = − i Z − 1 / 2 ∫ d 4 x ∂ 0 ( e i k x ∂ 0 φ † − ( ∂ 0 e i k x ) φ † ) = -i Z^{-1/2} \int d^4x \, \partial_0 \left( e^{ikx} \partial_0 \varphi^\dagger - (\partial_0 e^{ikx}) \varphi^\dagger \right) = − i Z − 1/2 ∫ d 4 x ∂ 0 ( e ik x ∂ 0 φ † − ( ∂ 0 e ik x ) φ † ) = − i Z − 1 / 2 ∫ d 4 x ( e i k x ∂ 0 2 φ † − ( ∂ 0 2 e i k x ) φ † ) = -i Z^{-1/2} \int d^4x \left( e^{ikx} \partial_0^2 \varphi^\dagger - (\partial_0^2 e^{ikx}) \varphi^\dagger \right) = − i Z − 1/2 ∫ d 4 x ( e ik x ∂ 0 2 φ † − ( ∂ 0 2 e ik x ) φ † ) e i k x e^{ikx} e ik x ( − ∂ 2 + m 2 ) e i k x = 0 (-\partial^2 + m^2)e^{ikx} = 0 ( − ∂ 2 + m 2 ) e ik x = 0 ∂ 0 2 e i k x = ( ∇ 2 − m 2 ) e i k x \partial_0^2 e^{ikx} = (\nabla^2 - m^2) e^{ikx} ∂ 0 2 e ik x = ( ∇ 2 − m 2 ) e ik x = − i Z − 1 / 2 ∫ d 4 x [ e i k x ∂ 0 2 φ † − φ † ( ∇ 2 − m 2 ) e i k x ] = -i Z^{-1/2} \int d^4x \left[ e^{ikx} \partial_0^2 \varphi^\dagger - \varphi^\dagger (\nabla^2 - m^2) e^{ikx} \right] = − i Z − 1/2 ∫ d 4 x [ e ik x ∂ 0 2 φ † − φ † ( ∇ 2 − m 2 ) e ik x ] = − i Z − 1 / 2 ∫ d 4 x e i k x ( ∂ 0 2 − ∇ 2 + m 2 ) φ † ( x ) = -i Z^{-1/2} \int d^4x \, e^{ikx} (\partial_0^2 - \nabla^2 + m^2) \varphi^\dagger(x) = − i Z − 1/2 ∫ d 4 x e ik x ( ∂ 0 2 − ∇ 2 + m 2 ) φ † ( x ) = − i Z − 1 / 2 ∫ d 4 x e i k x ( − ∂ 2 + m 2 ) φ † ( x ) = -i Z^{-1/2} \int d^4x \, e^{ikx} (-\partial^2 + m^2) \varphi^\dagger(x) = − i Z − 1/2 ∫ d 4 x e ik x ( − ∂ 2 + m 2 ) φ † ( x ) a a a a in † ( k ) → i Z − 1 / 2 ∫ d 4 x e i k x ( − ∂ 2 + m 2 ) φ † ( x ) a_{\text{in}}^\dagger(\mathbf{k}) \to i Z^{-1/2} \int d^4x \, e^{ikx} (-\partial^2 + m^2) \varphi^\dagger(x) a in † ( k ) → i Z − 1/2 ∫ d 4 x e ik x ( − ∂ 2 + m 2 ) φ † ( x )
同理，我们可以推导出其他三种粒子的约化替换规则：
初态 a a a (动量 k k k φ † ( x ) \varphi^\dagger(x) φ † ( x ) i Z − 1 / 2 ∫ d 4 x e i k x ( − ∂ 2 + m 2 ) i Z^{-1/2} \int d^4x \, e^{ikx} (-\partial^2 + m^2) i Z − 1/2 ∫ d 4 x e ik x ( − ∂ 2 + m 2 ) 初态 b b b (动量 p p p φ ( x ) \varphi(x) φ ( x ) i Z − 1 / 2 ∫ d 4 x e i p x ( − ∂ 2 + m 2 ) i Z^{-1/2} \int d^4x \, e^{ipx} (-\partial^2 + m^2) i Z − 1/2 ∫ d 4 x e i p x ( − ∂ 2 + m 2 ) 末态 a a a (动量 k ′ k' k ′ φ ( x ) \varphi(x) φ ( x ) i Z − 1 / 2 ∫ d 4 x e − i k ′ x ( − ∂ 2 + m 2 ) i Z^{-1/2} \int d^4x \, e^{-ik'x} (-\partial^2 + m^2) i Z − 1/2 ∫ d 4 x e − i k ′ x ( − ∂ 2 + m 2 ) 末态 b b b (动量 p ′ p' p ′ φ † ( x ) \varphi^\dagger(x) φ † ( x ) i Z − 1 / 2 ∫ d 4 x e − i p ′ x ( − ∂ 2 + m 2 ) i Z^{-1/2} \int d^4x \, e^{-ip'x} (-\partial^2 + m^2) i Z − 1/2 ∫ d 4 x e − i p ′ x ( − ∂ 2 + m 2 )
物理图像说明 ：在关联函数中，φ † ( x ) \varphi^\dagger(x) φ † ( x ) x x x a a a b b b φ ( x ) \varphi(x) φ ( x ) x x x b b b a a a
第三步：写出完整的 LSZ 约化公式
假设散射过程的初态 ∣ i ⟩ |i\rangle ∣ i ⟩ n n n a a a k 1 , … , k n k_1, \dots, k_n k 1 , … , k n m m m b b b p 1 , … , p m p_1, \dots, p_m p 1 , … , p m ∣ f ⟩ |f\rangle ∣ f ⟩ n ′ n' n ′ a a a k 1 ′ , … , k n ′ ′ k'_1, \dots, k'_{n'} k 1 ′ , … , k n ′ ′ m ′ m' m ′ b b b p 1 ′ , … , p m ′ ′ p'_1, \dots, p'_{m'} p 1 ′ , … , p m ′ ′
将上述单粒子约化规则迭代应用到 S 矩阵元 ⟨ f ∣ i ⟩ \langle f | i \rangle ⟨ f ∣ i ⟩ T T T
⟨ k 1 ′ … k n ′ ′ , p 1 ′ … p m ′ ′ ∣ k 1 … k n , p 1 … p m ⟩ = ( i Z ) n + m + n ′ + m ′ ∫ ( ∏ i = 1 n d 4 x i e i k i x i ) ( ∏ j = 1 m d 4 y j e i p j y j ) ( ∏ i ′ = 1 n ′ d 4 x i ′ ′ e − i k i ′ ′ x i ′ ′ ) ( ∏ j ′ = 1 m ′ d 4 y j ′ ′ e − i p j ′ ′ y j ′ ′ ) × ( ∏ i = 1 n ( − ∂ x i 2 + m 2 ) ) ( ∏ j = 1 m ( − ∂ y j 2 + m 2 ) ) ( ∏ i ′ = 1 n ′ ( − ∂ x i ′ ′ 2 + m 2 ) ) ( ∏ j ′ = 1 m ′ ( − ∂ y j ′ ′ 2 + m 2 ) ) × ⟨ 0 ∣ T { φ † ( x 1 ) … φ † ( x n ) φ ( y 1 ) … φ ( y m ) φ ( x 1 ′ ) … φ ( x n ′ ′ ) φ † ( y 1 ′ ) … φ † ( y m ′ ′ ) } ∣ 0 ⟩ \boxed{
\begin{aligned}
\langle &k'_1 \dots k'_{n'}, p'_1 \dots p'_{m'} | k_1 \dots k_n, p_1 \dots p_m \rangle = \\
& \left( \frac{i}{\sqrt{Z}} \right)^{n+m+n'+m'} \int \left( \prod_{i=1}^n d^4x_i \, e^{ik_i x_i} \right) \left( \prod_{j=1}^m d^4y_j \, e^{ip_j y_j} \right) \left( \prod_{i'=1}^{n'} d^4x'_{i'} \, e^{-ik'_{i'} x'_{i'}} \right) \left( \prod_{j'=1}^{m'} d^4y'_{j'} \, e^{-ip'_{j'} y'_{j'}} \right) \\
& \times \left( \prod_{i=1}^n (-\partial_{x_i}^2 + m^2) \right) \left( \prod_{j=1}^m (-\partial_{y_j}^2 + m^2) \right) \left( \prod_{i'=1}^{n'} (-\partial_{x'_{i'}}^2 + m^2) \right) \left( \prod_{j'=1}^{m'} (-\partial_{y'_{j'}}^2 + m^2) \right) \\
& \times \langle 0 | T \left\{ \varphi^\dagger(x_1) \dots \varphi^\dagger(x_n) \varphi(y_1) \dots \varphi(y_m) \varphi(x'_1) \dots \varphi(x'_{n'}) \varphi^\dagger(y'_1) \dots \varphi^\dagger(y'_{m'}) \right\} | 0 \rangle
\end{aligned}
} ⟨ k 1 ′ … k n ′ ′ , p 1 ′ … p m ′ ′ ∣ k 1 … k n , p 1 … p m ⟩ = ( Z i ) n + m + n ′ + m ′ ∫ ( i = 1 ∏ n d 4 x i e i k i x i ) ( j = 1 ∏ m d 4 y j e i p j y j ) i ′ = 1 ∏ n ′ d 4 x i ′ ′ e − i k i ′ ′ x i ′ ′ j ′ = 1 ∏ m ′ d 4 y j ′ ′ e − i p j ′ ′ y j ′ ′ × ( i = 1 ∏ n ( − ∂ x i 2 + m 2 ) ) ( j = 1 ∏ m ( − ∂ y j 2 + m 2 ) ) i ′ = 1 ∏ n ′ ( − ∂ x i ′ ′ 2 + m 2 ) j ′ = 1 ∏ m ′ ( − ∂ y j ′ ′ 2 + m 2 ) × ⟨ 0∣ T { φ † ( x 1 ) … φ † ( x n ) φ ( y 1 ) … φ ( y m ) φ ( x 1 ′ ) … φ ( x n ′ ′ ) φ † ( y 1 ′ ) … φ † ( y m ′ ′ ) } ∣0 ⟩ 公式结构说明 ：
x i x_i x i a a a φ † ( x i ) \varphi^\dagger(x_i) φ † ( x i ) y j y_j y j b b b φ ( y j ) \varphi(y_j) φ ( y j ) x i ′ ′ x'_{i'} x i ′ ′ a a a φ ( x i ′ ′ ) \varphi(x'_{i'}) φ ( x i ′ ′ ) y j ′ ′ y'_{j'} y j ′ ′ b b b φ † ( y j ′ ′ ) \varphi^\dagger(y'_{j'}) φ † ( y j ′ ′ ) 每一个外线粒子都贡献一个波函数重整化因子 i / Z i/\sqrt{Z} i / Z ( − ∂ 2 + m 2 ) (-\partial^2 + m^2) ( − ∂ 2 + m 2 )