习题 10.1 - 解答

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根据题意，我们需要利用 Gell-Mann-Low 定理（公式 9.41）推导 $\varphi^3$ 理论中四点连通格林函数（Connected Green's Function）在 $O(g^2)$ 阶的表达式（公式 10.9）。

在 $\varphi^3$ 理论中，相互作用拉格朗日量为 $\mathcal{L}_1(x) = \frac{g}{3!} \varphi(x)^3$，对应的相互作用哈密顿量密度为 $\mathcal{H}_I(x) = -\frac{g}{3!} \varphi(x)^3$。

根据公式 (9.41)，四点格林函数可以表示为：

其中，分母的作用是消除所有包含无外腿真空泡（Vacuum bubbles）的断开图。为了得到连通格林函数 $\langle \dots \rangle_{\text{C}}$，我们只需在分子中提取所有外腿均与相互作用顶点相连、且整个图完全连通的项。

将分子中的指数项展开至 $O(g^2)$ 阶：

利用 Wick 定理对上述编时乘积进行收缩。为了形成完全连通的四点图，必须满足以下拓扑结构：

1. 4 个外部时空点 $x_1, x_2, x_1', x_2'$ 必须全部与内部顶点 $y$ 或 $z$ 收缩。
2. 顶点 $y$ 和 $z$ 之间必须有内部传播子相连，以保证图的连通性。

由于 $y$ 和 $z$ 处各有 3 个场算符，总计 6 个内部场。其中 4 个用于连接外部点，剩下的 2 个场必须在 $y$ 和 $z$ 之间相互收缩，形成 1 条内部线。因此，$y$ 和 $z$ 处各剩下 2 个场算符用于连接外部点。这意味着 4 个外部点必须被分为两对，一对与 $y$ 收缩，另一对与 $z$ 收缩。

将 4 个外部点分为两对共有 $\binom{4}{2} = 6$ 种方式。由于 $y$ 和 $z$ 是对称的积分虚变量，交换 $y \leftrightarrow z$ 不改变积分结果，因此这 6 种方式可以归纳为 3 种独立的拓扑通道（对应 Mandelstam 变量的 s, t, u 通道），每种通道包含 $y \leftrightarrow z$ 的 2 种对称排列：

• 通道 1：$(x_1, x_2)$ 连到 $y$，$(x_1', x_2')$ 连到 $z$。
• 通道 2：$(x_1, x_1')$ 连到 $y$，$(x_2, x_2')$ 连到 $z$。
• 通道 3：$(x_1, x_2')$ 连到 $y$，$(x_2, x_1')$ 连到 $z$。

我们以通道 1为例计算组合数（对称因子）：

1. 从 $y$ 处的 3 个场和 $z$ 处的 3 个场中各选 1 个进行收缩，形成内部线：$3 \times 3 = 9$ 种方式。
2. 将 $y$ 处剩余的 2 个场与 $x_1, x_2$ 收缩：$2! = 2$ 种方式。
3. 将 $z$ 处剩余的 2 个场与 $x_1', x_2'$ 收缩：$2! = 2$ 种方式。 单次排列的收缩总数为 $9 \times 2 \times 2 = 36$。考虑 $y \leftrightarrow z$ 的对称排列带来的因子 2，该通道的总组合数为 $36 \times 2 = 72$。

代入前面的系数，该通道的整体系数为：

每次场收缩都会产生一个自由标量传播子 $\langle \emptyset | \text{T} \varphi(x) \varphi(y) | \emptyset \rangle = \frac{1}{i}\Delta(x-y)$。该图中共有 1 条内部线和 4 条外部线，共计 5 个传播子，因此会产生 $\left(\frac{1}{i}\right)^5$ 的因子。顶点常数贡献了 $(ig)^2$。

因此，通道 1 对连通格林函数的贡献为：

同理，通道 2 和 通道 3 的组合数完全相同，只需替换对应的外部点坐标即可：

• 通道 2 贡献：$\Delta(x_1-y)\Delta(x_1'-y)\Delta(x_2-z)\Delta(x_2'-z)$
• 通道 3 贡献：$\Delta(x_1-y)\Delta(x_2'-y)\Delta(x_2-z)\Delta(x_1'-z)$

将这三个通道的贡献相加，并加上更高阶的修正 $O(g^4)$，即可得到完整的 $O(g^2)$ 阶连通四点格林函数：

这正是公式 (10.9) 的结果。

习题 10.2 - 解答

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习题分析与物理背景

在标量场论中，复标量场 $\varphi$ 具有全局 $U(1)$ 对称性（即拉格朗日量在变换 $\varphi \to e^{-i\alpha}\varphi$ 下保持不变），这导致存在守恒的 Noether 荷。量子化后，该场描述了两种质量相同但携带相反守恒荷的粒子：粒子（带正荷）和反粒子（带负荷）。场算符 $\varphi$ 湮灭粒子并产生反粒子，而 $\varphi^\dagger$ 产生粒子并湮灭反粒子。

对于复标量场，传播子是有向的，连接 $\varphi$ 和 $\varphi^\dagger$。在绘制费曼图时，题目提示中最直接的方法（Direct approach）是使用两种箭头：

1. 动量箭头：指示四维动量 $k$ 的流向。
2. 电荷箭头：指示 $U(1)$ 守恒荷的流向（例如从 $\varphi$ 指向 $\varphi^\dagger$）。

然而，这种双箭头方法会导致图形冗余且复杂。更优雅的方法（Elegant approach）是利用电荷共轭的性质，将动量流与电荷流统一到单一箭头中。具体而言，我们规定线上的单一箭头代表正电荷（粒子数）的流向，并且强制规定内部动量 $k$ 永远顺着箭头方向流动。对于反粒子，由于其携带负电荷，其物理动量 $p$ 的方向与正电荷流的方向相反，因此我们可以通过将反粒子的动量取负（$k = -p$）来完美兼容单一箭头规则。

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推导与费曼规则构建

假设复标量场的自由拉格朗日量为 $\mathcal{L}_0 = -\partial^\mu \varphi^\dagger \partial_\mu \varphi - m^2 \varphi^\dagger \varphi$，并引入一个满足 $U(1)$ 对称性的标准相互作用项，例如 $\mathcal{L}_{\text{int}} = -\frac{1}{4}\lambda (\varphi^\dagger \varphi)^2$。

1. 传播子（Propagator）： 传播子由两点格林函数给出 $\langle 0 | T \varphi(x) \varphi^\dagger(y) | 0 \rangle$。在动量空间中，它对应一条带有单一箭头的线。箭头方向表示正电荷的流向。顺着箭头方向的动量记为 $k$。 传播子的数学表达式与实标量场相同： $\frac{1}{i(k^2 + m^2 - i\epsilon)}$

2. 顶点（Vertices）： 由于相互作用项必须是 $U(1)$ 不变的（包含等量的 $\varphi$ 和 $\varphi^\dagger$），每个顶点处流入的电荷必须等于流出的电荷。对于 $\frac{1}{4}\lambda (\varphi^\dagger \varphi)^2$ 相互作用，每个顶点必须有两个箭头流入，两个箭头流出。 考虑对称因子后，该顶点的规则为： $-i\lambda$ 同时在每个顶点处，顺着箭头流入的动量之和必须等于顺着箭头流出的动量之和。

3. 外线（External Lines）与动量分配： 这是单一箭头方法的核心。设外部粒子的物理动量为 $p$（$p^0 > 0$）。

   • 入射粒子：携带正电荷进入相互作用区。箭头指向顶点。分配给该线的动量 $k = p$。
   • 出射粒子：携带正电荷离开相互作用区。箭头背离顶点。分配给该线的动量 $k = p$。
   • 入射反粒子：携带负电荷进入相互作用区，等效于正电荷流出。箭头背离顶点（在图上表现为一条“出射线”）。分配给该顺箭头方向的动量 $k = -p$。
   • 出射反粒子：携带负电荷离开相互作用区，等效于正电荷流入。箭头指向顶点（在图上表现为一条“入射线”）。分配给该顺箭头方向的动量 $k = -p$。

通过这种动量分配 $k = \pm p$，顶点的动量守恒 $\sum k_{\text{in}} = \sum k_{\text{out}}$ 自动给出了正确的物理动量守恒。

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最终解答：复标量场的费曼规则

习题 10.3 - 解答

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物理背景与相互作用分析

题目给定的相互作用拉格朗日量为 $\mathcal{L}_1 = g\chi\varphi^\dagger\varphi$。在这个模型中：

1. $\varphi$ 是一个复标量场（Complex scalar field），它激发出的粒子带有守恒的 $U(1)$ 荷（例如电荷或粒子数）。在费曼图中，复标量场的传播子用实线表示，并且必须带有箭头以指示荷的流向（通常箭头方向代表正粒子的动量方向，或反粒子的动量反方向）。
2. $\chi$ 是一个实标量场（Real scalar field），它激发出的粒子是电中性的（其反粒子就是它本身）。在费曼图中，实标量场的传播子用虚线表示，不带箭头。
3. 相互作用项 $g\chi\varphi^\dagger\varphi$ 包含了三个场算符：一个 $\chi$，一个 $\varphi^\dagger$ 和一个 $\varphi$。这意味着在微扰展开中，基本相互作用顶点总是连接着三条线。

顶点的绘制 (Drawing the Vertex)

根据 $\mathcal{L}_1$ 的结构，顶点处发生的过程涉及一个 $\chi$ 粒子和一对 $\varphi$ 粒子-反粒子。具体绘制规则如下：

• 画一个顶点（通常用一个圆点 $\bullet$ 表示）。
• 从该顶点引出一条虚线，代表实标量场 $\chi$。
• 从该顶点引出一条实线，并画上指向顶点的箭头。这对应于场算符 $\varphi$，它在顶点处湮灭一个入射的 $\varphi$ 粒子（或产生一个出射的 $\varphi$ 反粒子）。
• 从该顶点引出另一条实线，并画上背离顶点的箭头。这对应于场算符 $\varphi^\dagger$，它在顶点处产生一个出射的 $\varphi$ 粒子（或湮灭一个入射的 $\varphi$ 反粒子）。

图示描述如下（箭头表示 $U(1)$ 荷的流向，在顶点处荷守恒）：

       \varphi (出射粒子, 实线)
        \
         \ 箭头向外
          \
           *--------- \chi (中性粒子, 虚线)
          /
         / 箭头向内
        /
       \varphi (入射粒子, 实线)

注：实线上的箭头必须连续穿过顶点，体现了复标量场 $\varphi$ 所携带的荷在相互作用中是严格守恒的。

顶点因子的推导 (Derivation of the Vertex Factor)

在量子场论中，动量空间的费曼规则可以通过 S 矩阵的 Dyson 级数展开得到。S 矩阵的相互作用部分为： $S = T \exp\left( i \int d^4x \, \mathcal{L}_1(x) \right)$

取展开式的一阶项： $S^{(1)} = i \int d^4x \, g\chi(x)\varphi^\dagger(x)\varphi(x)$

为了提取动量空间的顶点因子，我们需要考虑将这三个场算符与外部态（或内部传播子）进行 Wick 收缩。

• 场 $\chi$ 只能与外部的 $\chi$ 粒子收缩。
• 场 $\varphi$ 只能与外部入射的 $\varphi$ 粒子（或出射的反粒子）收缩。
• 场 $\varphi^\dagger$ 只能与外部出射的 $\varphi$ 粒子（或入射的反粒子）收缩。

由于 $\chi$、$\varphi$ 和 $\varphi^\dagger$ 是三种不同的场算符（$\varphi$ 和 $\varphi^\dagger$ 互为复共轭，但在 Wick 收缩中作为独立的自由度处理），在进行全排列收缩时，不存在同种场算符在同一顶点处的交换对称性。因此，该顶点的对称因子（Symmetry factor）为 $S = 1$。

顶点因子直接由相互作用拉格朗日量中对应项的系数乘以 $i$ 给出（并乘以对称因子对应的组合数，此处为1）。即： $\text{Vertex Factor} = i \times g \times 1 = ig$

最终相关的顶点因子为： $\boxed{ig}$

习题 10.4 - 解答

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为了求出与相互作用拉格朗日量 $\mathcal{L}_1 = \frac{1}{2}g\varphi\partial^\mu\varphi\partial_\mu\varphi$ 相关的 Feynman 顶点因子，我们需要将作用量转换到动量空间，并对所有参与相互作用的相同标量场进行全对称化处理（Bose 统计要求）。

1. 动量空间表示 相互作用作用量为： $S_I = \int d^4x \mathcal{L}_1 = \frac{g}{2} \int d^4x \, \varphi(x) \partial^\mu\varphi(x) \partial_\mu\varphi(x)$ 将实标量场 $\varphi(x)$ 进行傅里叶变换展开： $\varphi(x) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} e^{-ip \cdot x} \tilde{\varphi}(p)$ 其中 $p$ 约定为流入顶点的动量。对应的时空导数为 $\partial_\mu \varphi(x) \to -ip_\mu \tilde{\varphi}(p)$。

将场代入作用量 $iS_I$ 中（Feynman 规则由 $iS_I$ 提取）： $iS_I = i\frac{g}{2} \int d^4x \int \frac{d^4p_1}{(2\pi)^4} \frac{d^4p_2}{(2\pi)^4} \frac{d^4p_3}{(2\pi)^4} e^{-i(p_1+p_2+p_3)\cdot x} \tilde{\varphi}(p_1) \big(-ip_2^\mu \tilde{\varphi}(p_2)\big) \big(-ip_{3\mu} \tilde{\varphi}(p_3)\big)$ 完成对 $x$ 的积分，产生动量守恒的狄拉克 $\delta$ 函数： $iS_I = \int \frac{d^4p_1}{(2\pi)^4} \frac{d^4p_2}{(2\pi)^4} \frac{d^4p_3}{(2\pi)^4} (2\pi)^4 \delta^{(4)}(p_1+p_2+p_3) \left[ -i\frac{g}{2} (p_2 \cdot p_3) \right] \tilde{\varphi}(p_1) \tilde{\varphi}(p_2) \tilde{\varphi}(p_3)$

2. 玻色对称化 (Bose Symmetrization) 由于顶点处汇聚了三个相同的实标量场 $\varphi$，我们需要对三个流入动量 $p_1, p_2, p_3$ 的所有可能排列进行对称化求和。这等价于对 $iS_I$ 泛函求三次变分 $\frac{\delta^3 (iS_I)}{\delta\tilde{\varphi}(p_1)\delta\tilde{\varphi}(p_2)\delta\tilde{\varphi}(p_3)}$。

动量分配的排列群 $S_3$ 共有 $3! = 6$ 种置换。对于核函数 $K(p_1, p_2, p_3) = -i\frac{g}{2} (p_2 \cdot p_3)$，对称化求和为：

1. $(1,2,3) \implies -i\frac{g}{2} (p_2 \cdot p_3)$
2. $(1,3,2) \implies -i\frac{g}{2} (p_3 \cdot p_2) = -i\frac{g}{2} (p_2 \cdot p_3)$
3. $(2,1,3) \implies -i\frac{g}{2} (p_1 \cdot p_3)$
4. $(2,3,1) \implies -i\frac{g}{2} (p_3 \cdot p_1) = -i\frac{g}{2} (p_1 \cdot p_3)$
5. $(3,1,2) \implies -i\frac{g}{2} (p_1 \cdot p_2)$
6. $(3,2,1) \implies -i\frac{g}{2} (p_2 \cdot p_1) = -i\frac{g}{2} (p_1 \cdot p_2)$

将这 6 项相加，剥离掉整体的动量守恒 $\delta$ 函数后，得到顶点因子 $V(p_1, p_2, p_3)$： $V(p_1, p_2, p_3) = -ig (p_1 \cdot p_2 + p_2 \cdot p_3 + p_3 \cdot p_1)$

3. 利用动量守恒化简 根据顶点处的动量守恒条件，所有流入动量之和为零： $p_1 + p_2 + p_3 = 0$ 将其平方： $(p_1 + p_2 + p_3)^2 = p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 + 2(p_1 \cdot p_2 + p_2 \cdot p_3 + p_3 \cdot p_1) = 0$ 由此可以解出交叉项的点积和： $p_1 \cdot p_2 + p_2 \cdot p_3 + p_3 \cdot p_1 = -\frac{1}{2}(p_1^2 + p_2^2 + p_3^2)$ 将此关系代入前面求得的顶点因子中，可以得到一种仅依赖于动量平方的等效且更简洁的表达形式： $V(p_1, p_2, p_3) = -ig \left[ -\frac{1}{2}(p_1^2 + p_2^2 + p_3^2) \right] = \frac{ig}{2} (p_1^2 + p_2^2 + p_3^2)$ (注：如果外线场处于在壳状态 $p_i^2 = m^2$，该顶点因子将进一步退化为常数 $\frac{3}{2}igm^2$；但在一般的费曼图计算中，动量可能处于离壳状态，因此保留动量依赖是必要的。)

最终答案 该相互作用对应的动量空间顶点因子为（$p_1, p_2, p_3$ 均为流入顶点的动量）： $\boxed{ -ig (p_1 \cdot p_2 + p_2 \cdot p_3 + p_3 \cdot p_1) \quad \text{或等效写为} \quad \frac{ig}{2} (p_1^2 + p_2^2 + p_3^2) }$

习题 10.5 - 解答

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1. 重定义场后的拉格朗日量

原始的自由标量场拉格朗日量为（采用 mostly plus 度规 $\eta_{\mu\nu} = \text{diag}(-,+,+,+)$）：

作场重定义 $\varphi \rightarrow \varphi + \lambda\varphi^2$，代入上式并展开：

由此可以读出相互作用拉格朗日量 $\mathcal{L}_{int} = \mathcal{L}_3 + \mathcal{L}_4$，其中包含三线和四线相互作用项：

2. 对应的费曼规则

在动量空间中，导数 $\partial_\mu$ 对应于 $i k_\mu$。约定所有动量 $k_i$ 均为流入顶点的动量。

3-点顶点 $V_3(k_1, k_2, k_3)$：

• 质量项 $-\lambda m^2\varphi^3$ 贡献：$i(-\lambda m^2) \times 3! = -6i\lambda m^2$。
• 动能项 $-2\lambda\varphi\partial^\mu\varphi\partial_\mu\varphi$ 贡献：从3个场中选2个带有导数，有3种选法；对于选定的两个动量（如 $k_2, k_3$），分配给两个导数场有 $2!$ 种方式。因此贡献为 $i(-2\lambda) \times 2 \times [(-k_1\cdot k_2) + (-k_2\cdot k_3) + (-k_3\cdot k_1)] = 4i\lambda(k_1\cdot k_2 + k_2\cdot k_3 + k_3\cdot k_1)$。 利用动量守恒 $(k_1+k_2+k_3)^2 = 0 \implies k_1\cdot k_2 + k_2\cdot k_3 + k_3\cdot k_1 = -\frac{1}{2}(k_1^2+k_2^2+k_3^2)$，3-点顶点规则为：

4-点顶点 $V_4(k_1, k_2, k_3, k_4)$：

• 质量项 $-\frac{1}{2}\lambda^2 m^2\varphi^4$ 贡献：$i(-\frac{1}{2}\lambda^2 m^2) \times 4! = -12i\lambda^2 m^2$。
• 动能项 $-2\lambda^2\varphi^2\partial^\mu\varphi\partial_\mu\varphi$ 贡献：从4个场中选2个带有导数有 $\binom{4}{2}=6$ 种选法，内部排列有 $2!\times 2!=4$ 种方式。贡献为 $i(-2\lambda^2) \times 4 \times \sum_{i<j}(-k_i\cdot k_j) = 8i\lambda^2 \sum_{i<j}k_i\cdot k_j$。 利用动量守恒 $(k_1+k_2+k_3+k_4)^2 = 0 \implies \sum_{i<j}k_i\cdot k_j = -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^4 k_i^2$，4-点顶点规则为：

传播子： 自由场部分未改变，传播子仍为 $\frac{-i}{k^2 + m^2 - i\epsilon}$。

3. 树图阶 $\varphi\varphi \rightarrow \varphi\varphi$ 散射振幅

设入射动量为 $p_1, p_2$，出射动量为 $p_3, p_4$。外部粒子处于质量壳上，即 $p_i^2 = -m^2$。 流入顶点的动量分别为 $p_1, p_2, -p_3, -p_4$。

接触图 (Contact Diagram) 贡献： 直接代入 4-点顶点公式，此时 $\sum_{i=1}^4 k_i^2 = 4(-m^2) = -4m^2$：

交换图 (Exchange Diagrams) 贡献： 包含 $s, t, u$ 三个通道。以 $s$-通道为例，中间传播子动量为 $k_s = p_1 + p_2$。 两个 3-点顶点分别为 $V_3(p_1, p_2, -k_s)$ 和 $V_3(k_s, -p_3, -p_4)$。 计算第一个顶点：

同理，第二个顶点 $V_3(k_s, -p_3, -p_4) = -2i\lambda(k_s^2 + m^2)$。 $s$-通道振幅为：

同理可得 $t$-通道（$k_t = p_1 - p_3$）和 $u$-通道（$k_u = p_1 - p_4$）的振幅：

交换图总贡献为：

引入 Mandelstam 变量 $s = -k_s^2, t = -k_t^2, u = -k_u^2$，且满足 $s+t+u = 4m^2$，因此 $k_s^2 + k_t^2 + k_u^2 = -4m^2$。代入上式得：

总散射振幅： 将接触图与交换图的贡献相加：

这验证了通过场重定义得到的理论在树图阶的 S 矩阵元与原自由场理论一致（即无相互作用，散射振幅为零）。