习题 52.1 - 解答

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在 Yukawa 理论中，拉格朗日量（采用 Srednicki 的 mostly plus 度规 $(-,+,+,+)$ 约定）为： $\mathcal{L} = i Z_\Psi \bar{\Psi} \not\partial \Psi - Z_m m \bar{\Psi} \Psi - \frac{1}{2} Z_\varphi \partial_\mu \varphi \partial^\mu \varphi - \frac{1}{2} Z_M M^2 \varphi^2 + Z_g g \tilde{\mu}^{\epsilon/2} \bar{\Psi} \Psi \varphi + Y \varphi$ 其中 $Y\varphi$ 用于抵消蝌蚪图（tadpole）以维持 $\langle \varphi \rangle = 0$。在 $d = 4 - \epsilon$ 维的 MS/$\overline{\text{MS}}$ 方案中，重整化常数展开为 $Z_i = 1 + \frac{a_i}{\epsilon} + \mathcal{O}(g^4)$。

由于裸耦合常数 $g_0 = \mu^{\epsilon/2} Z_g Z_\Psi^{-1} Z_\varphi^{-1/2} g$ 与能标 $\mu$ 无关，可得 $\beta$ 函数的领头项为 $\beta(g) = -\frac{\epsilon}{2} g$。 场与质量的反常维度定义为： $\gamma_\Psi = \frac{1}{2} \frac{d \ln Z_\Psi}{d \ln \mu} = -\frac{1}{4} g \frac{\partial a_\Psi}{\partial g}, \quad \gamma_\varphi = \frac{1}{2} \frac{d \ln Z_\varphi}{d \ln \mu} = -\frac{1}{4} g \frac{\partial a_\varphi}{\partial g}$ $\gamma_m = \frac{d \ln m}{d \ln \mu} = -\frac{1}{2} g \frac{\partial}{\partial g} (a_\Psi - a_m), \quad \gamma_M = \frac{d \ln M}{d \ln \mu} = -\frac{1}{4} g \frac{\partial}{\partial g} (a_\varphi - a_M)$

1. 费米子反常维度 $\gamma_\Psi$ 与质量反常维度 $\gamma_m$

计算单圈费米子自能 $-i\Sigma(p)$。费米子发射并重新吸收一个标量粒子： $-i\Sigma(p) = (ig)^2 \tilde{\mu}^\epsilon \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \frac{-i(-\not{k} + m)}{k^2 + m^2} \frac{-i}{(p-k)^2 + M^2}$ 引入 Feynman 参数 $x$ 并作动量平移 $k \to k + (1-x)p$，分母变为 $(k^2 + \Delta)^2$，其中 $\Delta = x(1-x)p^2 + x m^2 + (1-x)M^2$。分子变为 $-(1-x)\not{p} + m$（丢弃奇函数的 $\not{k}$ 项）。 提取 $1/\epsilon$ 极点： $-i\Sigma(p) = -g^2 \frac{i}{16\pi^2} \frac{2}{\epsilon} \int_0^1 dx \left[ -(1-x)\not{p} + m \right] + \text{finite} = \frac{i g^2}{16\pi^2 \epsilon} (\not{p} - 2m) + \text{finite}$ 树图逆传播子为 $i(-\not{p} - m)$，对应的反项顶点为 $i(-\not{p}\delta Z_\Psi - m \delta Z_m)$。要求极点相消： $\frac{i g^2}{16\pi^2 \epsilon} (\not{p} - 2m) + i(-\not{p}\delta Z_\Psi - m \delta Z_m) = 0$ 由此得到重整化常数的极点系数： $a_\Psi = \frac{g^2}{16\pi^2}, \quad a_m = -\frac{g^2}{8\pi^2}$ 代入反常维度公式： $\gamma_\Psi = -\frac{1}{4} g \frac{\partial}{\partial g} \left( \frac{g^2}{16\pi^2} \right) \implies \boxed{ \gamma_\Psi = -\frac{g^2}{32\pi^2} }$ $\gamma_m = -\frac{1}{2} g \frac{\partial}{\partial g} \left( \frac{g^2}{16\pi^2} - \left(-\frac{g^2}{8\pi^2}\right) \right) = -\frac{1}{2} g \frac{\partial}{\partial g} \left( \frac{3g^2}{16\pi^2} \right) \implies \boxed{ \gamma_m = -\frac{3g^2}{16\pi^2} }$

2. 标量场反常维度 $\gamma_\varphi$ 与质量反常维度 $\gamma_M$

计算单圈标量自能 $-i\Pi(p)$。标量分裂为费米子-反费米子对（包含费米子环的 $-1$ 因子）： $-i\Pi(p) = - (ig)^2 \tilde{\mu}^\epsilon \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \text{Tr} \left[ \frac{-i(-\not{k} + m)}{k^2 + m^2} \frac{-i(-(\not{k}+\not{p}) + m)}{(k+p)^2 + m^2} \right]$ 计算 Dirac 迹（利用 $\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = -2\eta^{\mu\nu}$，$\text{Tr}(\not{A}\not{B}) = -4A\cdot B$）： $\text{Tr}[(-\not{k} + m)(-\not{k}-\not{p} + m)] = -4k^2 - 4k\cdot p + 4m^2$ 引入 Feynman 参数 $x$ 并作动量平移 $k \to k - xp$，分母变为 $(k^2 + \Delta)^2$，其中 $\Delta = x(1-x)p^2 + m^2$。分子迹化简并丢弃奇函数项后为 $-4k^2 + 4x(1-x)p^2 + 4m^2$。 利用维度正规化积分公式 $\int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \frac{k^2}{(k^2+\Delta)^2} \to \frac{i}{16\pi^2} \frac{2}{\epsilon} (-2\Delta)$，提取极点： $-i\Pi(p) = g^2 \frac{i}{16\pi^2} \frac{2}{\epsilon} \int_0^1 dx \left[ 8\Delta + 4x(1-x)p^2 + 4m^2 \right]$ 代入 $\Delta$，被积函数变为 $12x(1-x)p^2 + 12m^2$。完成 $x$ 积分（$\int_0^1 x(1-x)dx = 1/6$）： $-i\Pi(p) = \frac{i g^2}{16\pi^2 \epsilon} (4p^2 + 24m^2) + \text{finite}$ 标量树图逆传播子为 $i(-p^2 - M^2)$，反项顶点为 $i(-p^2 \delta Z_\varphi - M^2 \delta Z_M)$。要求极点相消： $\frac{i g^2}{16\pi^2 \epsilon} (4p^2 + 24m^2) + i(-p^2 \delta Z_\varphi - M^2 \delta Z_M) = 0$ 由此得到重整化常数的极点系数： $a_\varphi = \frac{g^2}{4\pi^2}, \quad a_M = \frac{3 g^2 m^2}{2\pi^2 M^2}$ 代入反常维度公式： $\gamma_\varphi = -\frac{1}{4} g \frac{\partial}{\partial g} \left( \frac{g^2}{4\pi^2} \right) \implies \boxed{ \gamma_\varphi = -\frac{g^2}{8\pi^2} }$ 对于标量质量反常维度，由于 $a_M$ 显式依赖于 $m^2/M^2$，求导时需注意： $\gamma_M = -\frac{1}{4} g \frac{\partial}{\partial g} \left( \frac{g^2}{4\pi^2} - \frac{3 g^2 m^2}{2\pi^2 M^2} \right) \implies \boxed{ \gamma_M = -\frac{g^2}{8\pi^2} + \frac{3 g^2 m^2}{4\pi^2 M^2} }$

习题 52.2 - 解答

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为了计算该理论在单圈水平下的 $\beta$ 函数和反常标度向（anomalous dimensions），我们首先写出 $d = 4 - \epsilon$ 维下的重整化拉格朗日量。根据习题 51.3，理论包含一个 Dirac 费米子 $\Psi$ 和一个实标量场 $\varphi$： $\mathcal{L} = i Z_\Psi \bar{\Psi} \not\partial \Psi - Z_m m \bar{\Psi} \Psi - \frac{1}{2} Z_\varphi \partial^\mu \varphi \partial_\mu \varphi - \frac{1}{2} Z_{M^2} M^2 \varphi^2 + Z_g g \tilde{\mu}^{\epsilon/2} \varphi \bar{\Psi} \Psi + \frac{1}{6} Z_\kappa \kappa \tilde{\mu}^{\epsilon/2} \varphi^3 + \frac{1}{24} Z_\lambda \lambda \tilde{\mu}^\epsilon \varphi^4$ 其中 $m$ 为费米子质量，$M$ 为标量场质量。我们定义重整化常数 $Z_i = 1 + \delta_i = 1 + \frac{a_1^{(i)}}{\epsilon}$。

1. 计算单圈发散与重整化常数

费米子自能 $\Sigma(p)$ 费米子发射并吸收一个标量场的单圈图给出： $-i\Sigma(p) = \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} (ig) \frac{-i(-\not{p}+\not{k}+m)}{(p-k)^2+m^2} (ig) \frac{-i}{k^2+M^2}$ 提取发散部分（使用 Feynman 参数化和维数正规化）： $\Sigma(p) \supset \frac{g^2}{16\pi^2 \epsilon} \left( \frac{1}{2}\not{p} - m \right)$ 由抵消项 $i\delta_\Psi \not{p} - i\delta_m m - i\Sigma(p) = \text{finite}$，得到： $\delta_\Psi = -\frac{g^2}{32\pi^2 \epsilon}, \quad \delta_m = -\frac{g^2}{16\pi^2 \epsilon}$ 注意，质量的 MS 重整化常数定义为 $m_0 = Z_m^{\text{MS}} m = Z_m Z_\Psi^{-1} m$，因此： $Z_m^{\text{MS}} = 1 + \delta_m - \delta_\Psi = 1 - \frac{g^2}{32\pi^2 \epsilon}$

标量场自能 $\Pi(k)$ 标量自能包含费米子圈、标量四次相互作用圈和标量三次相互作用圈：

1. 费米子圈：$- \int \frac{d^d p}{(2\pi)^d} \text{Tr}\left[ (ig) \frac{-i(-\not{p}+m)}{p^2+m^2} (ig) \frac{-i(-(\not{p}+\not{k})+m)}{(p+k)^2+m^2} \right] \supset -i \frac{4g^2}{16\pi^2 \epsilon} (k^2 + 2m^2)$
2. $\lambda$ 标量圈：$\frac{1}{2} (-i\lambda) \int \frac{d^d p}{(2\pi)^d} \frac{-i}{p^2+M^2} \supset i \frac{\lambda M^2}{16\pi^2 \epsilon}$
3. $\kappa$ 标量圈：$\frac{1}{2} (-i\kappa)^2 \int \frac{d^d p}{(2\pi)^d} \frac{-i}{p^2+M^2} \frac{-i}{(p+k)^2+M^2} \supset i \frac{\kappa^2}{16\pi^2 \epsilon}$

总发散为 $-i\Pi(k) \supset -i \frac{4g^2}{16\pi^2 \epsilon} k^2 + i \frac{1}{16\pi^2 \epsilon} (\lambda M^2 + \kappa^2 - 8g^2 m^2)$。 由抵消项 $i\delta_\varphi k^2 - i\delta M^2 - i\Pi(k) = \text{finite}$，得到： $\delta_\varphi = \frac{4g^2}{16\pi^2 \epsilon}$ $\delta M^2 = M_0^2 Z_\varphi - M^2 = \frac{1}{16\pi^2 \epsilon} (\lambda M^2 + \kappa^2 - 8g^2 m^2)$ 从而标量质量平方的重整化常数 $Z_{M^2} = M_0^2 / M^2$ 为： $Z_{M^2} = 1 + \frac{1}{16\pi^2 \epsilon} \left( \lambda + \frac{\kappa^2}{M^2} - 8g^2 \frac{m^2}{M^2} - 4g^2 \right)$

汤川顶点 $\varphi \bar{\Psi} \Psi$ 唯一的单圈发散图是标量交换图： $V_1 = \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} (ig)^3 \frac{(-\not{k}+m)^2}{(k^2+m^2)^2(k^2+M^2)} \supset -i g^3 \frac{2}{16\pi^2 \epsilon}$ 抵消项给出 $\delta_1 = \frac{2g^2}{16\pi^2 \epsilon}$。耦合常数 $g$ 的重整化常数 $Z_g = Z_1 Z_\Psi^{-1} Z_\varphi^{-1/2}$ 为： $Z_g = 1 + \delta_1 - \delta_\Psi - \frac{1}{2}\delta_\varphi = 1 + \frac{1}{16\pi^2 \epsilon} \left( 2 - (-0.5) - 2 \right) g^2 = 1 + \frac{g^2}{32\pi^2 \epsilon}$

标量四次顶点 $\lambda \varphi^4$ 包含标量圈（3个通道）和费米子圈（6个排列）：

1. 标量圈：$3 \times \frac{1}{2} (-i\lambda)^2 \int \frac{-i}{k^2} \frac{-i}{k^2} \supset i \frac{3\lambda^2}{16\pi^2 \epsilon}$
2. 费米子圈：$6 \times (-1) \int \text{Tr}\left[ (ig)^4 \left(\frac{-i(-\not{k}+m)}{k^2+m^2}\right)^4 \right] \supset -i \frac{48g^4}{16\pi^2 \epsilon}$

由 $-i\delta_4 \lambda + V_4 = 0$ 得到 $\delta_4 = \frac{3\lambda}{16\pi^2 \epsilon} - \frac{48g^4}{16\pi^2 \epsilon \lambda}$。 $Z_\lambda = 1 + \delta_4 - 2\delta_\varphi = 1 + \frac{1}{16\pi^2 \epsilon} \left( 3\lambda - \frac{48g^4}{\lambda} - 8g^2 \right)$。

标量三次顶点 $\kappa \varphi^3$ 包含标量圈（$\lambda$ 与 $\kappa$ 结合，3个图）和费米子圈（2个排列）：

1. 标量圈：$3 \times \frac{1}{2} (-i\lambda)(-i\kappa) \int \frac{-i}{k^2} \frac{-i}{k^2} \supset i \frac{3\lambda\kappa}{16\pi^2 \epsilon}$
2. 费米子圈：$2 \times (-1) \int \text{Tr}\left[ (ig)^3 \left(\frac{-i(-\not{k}+m)}{k^2+m^2}\right)^3 \right] \supset i \frac{48g^3 m}{16\pi^2 \epsilon}$

由 $-i\delta_3 \kappa + V_3 = 0$ 得到 $\delta_3 = \frac{3\lambda}{16\pi^2 \epsilon} + \frac{48g^3 m}{16\pi^2 \epsilon \kappa}$。 $Z_\kappa = 1 + \delta_3 - \frac{3}{2}\delta_\varphi = 1 + \frac{1}{16\pi^2 \epsilon} \left( 3\lambda + \frac{48g^3 m}{\kappa} - 6g^2 \right)$。

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2. 反常标度向 (Anomalous Dimensions)

反常标度向的定义为 $\gamma_\phi = \frac{1}{2} \frac{d \ln Z_\phi}{d \ln \mu}$（对场）和 $\gamma_m = \frac{d \ln m}{d \ln \mu}$（对质量）。利用公式 $\gamma = \frac{1}{2} \sum_i c_i g_i \frac{\partial a_1}{\partial g_i}$（场）和 $\gamma_m = - \sum_i c_i g_i \frac{\partial a_1^{(m)}}{\partial g_i}$（质量），其中 $c_g = 1/2, c_\lambda = 1, c_\kappa = 1/2$：

• 费米子场 $\Psi$: $a_1^{(\Psi)} = -\frac{g^2}{32\pi^2}$ $\gamma_\Psi = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} g \frac{\partial}{\partial g} \right) \left( -\frac{g^2}{32\pi^2} \right) = \boxed{ \frac{g^2}{64\pi^2} }$
• 标量场 $\varphi$: $a_1^{(\varphi)} = \frac{g^2}{4\pi^2}$ $\gamma_\varphi = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} g \frac{\partial}{\partial g} \right) \left( \frac{g^2}{4\pi^2} \right) = \boxed{ -\frac{g^2}{8\pi^2} }$
• 费米子质量 $m$: $a_1^{(m)} = -\frac{g^2}{32\pi^2}$ $\gamma_m = - \left( -\frac{1}{2} g \frac{\partial}{\partial g} \right) a_1^{(m)} = \frac{1}{2} g \left( -\frac{2g}{32\pi^2} \right) = \boxed{ -\frac{g^2}{32\pi^2} }$
• 标量场质量 $M$: $\gamma_M = \frac{1}{2} \gamma_{M^2} = \frac{1}{2M^2} \beta_{M^2}$。由于 $M^2$ 与 $m^2, \kappa^2$ 混合，$\beta_{M^2} = \sum_i c_i g_i \frac{\partial}{\partial g_i} (M^2 a_1^{(M^2)}) = M^2 a_1^{(M^2)}$： $\gamma_M = \frac{1}{2} a_1^{(M^2)} = \boxed{ \frac{1}{32\pi^2} \left( \lambda + \frac{\kappa^2}{M^2} - 8g^2 \frac{m^2}{M^2} - 4g^2 \right) }$

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3. Beta 函数

耦合常数的 $\beta$ 函数由 $\beta_{g_i}^{(1)} = \sum_j c_j g_j \frac{\partial}{\partial g_j} (g_i a_1^{(g_i)})$ 给出：

• 汤川耦合 $g$: $a_1^{(g)} = \frac{g^2}{32\pi^2}$ $\beta_g = \left( \frac{1}{2} g \frac{\partial}{\partial g} \right) \left( g \frac{g^2}{32\pi^2} \right) = \boxed{ \frac{g^3}{32\pi^2} }$

• 标量四次耦合 $\lambda$: $\lambda a_1^{(\lambda)} = \frac{1}{16\pi^2} (3\lambda^2 - 48g^4 - 8g^2\lambda)$ $\beta_\lambda = \left( \lambda \frac{\partial}{\partial \lambda} + \frac{1}{2} g \frac{\partial}{\partial g} \right) \frac{3\lambda^2 - 48g^4 - 8g^2\lambda}{16\pi^2}$ $\beta_\lambda = \frac{1}{16\pi^2} \left[ \lambda(6\lambda - 8g^2) + \frac{1}{2}g(-192g^3 - 16g\lambda) \right] = \boxed{ \frac{1}{16\pi^2} \left( 6\lambda^2 - 16g^2\lambda - 96g^4 \right) }$

• 标量三次耦合 $\kappa$: $\kappa a_1^{(\kappa)} = \frac{1}{16\pi^2} (3\lambda\kappa + 48g^3 m - 6g^2\kappa)$ $\beta_\kappa = \left( \frac{1}{2} g \frac{\partial}{\partial g} + \lambda \frac{\partial}{\partial \lambda} + \frac{1}{2} \kappa \frac{\partial}{\partial \kappa} \right) \frac{3\lambda\kappa + 48g^3 m - 6g^2\kappa}{16\pi^2}$ $\beta_\kappa = \frac{1}{16\pi^2} \left[ \frac{1}{2}g(144g^2 m - 12g\kappa) + \lambda(3\kappa) + \frac{1}{2}\kappa(3\lambda - 6g^2) \right]$ $\beta_\kappa = \boxed{ \frac{1}{16\pi^2} \left( \frac{9}{2}\lambda\kappa - 9g^2\kappa + 72g^3 m \right) }$

习题 52.3 - 解答

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(a) 计算 $d\rho/d\ln\mu$ 并解释变量替换的优势

根据定义 $\rho \equiv \lambda/g^2$，利用链式法则对 $\ln\mu$ 求导：

代入题目给出的 $\beta_g$ 和 $\beta_\lambda$ 表达式：

将 $\lambda = \rho g^2$ 代入上式：

提取公因子 $g^2/16\pi^2$ 并合并同类项：

解释：使用 $g$ 和 $\rho$ 的优势在于数学上的便利性。$\rho$ 的 $\beta$ 函数可以分解为仅依赖于 $g$ 的部分和仅依赖于 $\rho$ 的部分的乘积。这使得耦合微分方程组变为可分离变量的方程，从而可以求出解析的重整化群流迹线（trajectory）。

(b) 寻找不动点 $\rho_+^*$ 和 $\rho_-^*$

不动点满足 $d\rho/d\ln\mu = 0$。由于 $g \neq 0$，必须有：

使用求根公式解此二次方程：

因此，两个不动点的值为：

(c) 初始值 $\rho = 0$ 时的演化

当 $\rho = 0$ 时，代入导数表达式：

由于导数为负，$\rho$ 随 $\mu$ 的增加而单调递减，随 $\mu$ 的减小而单调递增。

• 在更高的 $\mu$ 值下（紫外方向）：$\rho$ 会持续减小，直到渐近趋于下方的不动点。因此 $\boxed{\rho \to \rho_-^*}$。
• 在更低的 $\mu$ 值下（红外方向）：$\rho$ 会持续增加，直到渐近趋于上方的不动点。因此 $\boxed{\rho \to \rho_+^*}$。

(d) 初始值 $\rho = 5$ 时的演化

当 $\rho = 5$ 时，由于 $5 > \rho_+^* \approx 4.347$，代入导数表达式：

• 在更高的 $\mu$ 值下：$\rho$ 随 $\mu$ 增加而增加，且没有更大的不动点阻挡，因此 $\boxed{\rho \to +\infty}$。
• 在更低的 $\mu$ 值下：$\rho$ 随 $\mu$ 减小而减小，直到渐近趋于下方最近的不动点。因此 $\boxed{\rho \to \rho_+^*}$。

(e) 初始值 $\rho = -5$ 时的演化

当 $\rho = -5$ 时，由于 $-5 < \rho_-^* \approx -3.680$，代入导数表达式：

• 在更高的 $\mu$ 值下：$\rho$ 随 $\mu$ 增加而增加，直到渐近趋于上方最近的不动点。因此 $\boxed{\rho \to \rho_-^*}$。
• 在更低的 $\mu$ 值下：$\rho$ 随 $\mu$ 减小而减小，且没有更小的不动点阻挡，因此 $\boxed{\rho \to -\infty}$。

(f) 在 $(\rho, g)$ 平面上的流迹线与方向

将 $dg/d\ln\mu$ 除以 $d\rho/d\ln\mu$ 以消去 $\ln\mu$：

分离变量并积分：

利用部分分式展开，其中 $\rho_+^* - \rho_-^* = \frac{2\sqrt{145}}{3}$：

积分得到：

取指数，得到流迹线方程：

箭头方向（随 $\mu$ 增加的方向）： 因为 $\beta_g = \frac{5g^3}{16\pi^2} > 0$（假设 $g>0$），所以 $g$ 始终随 $\mu$ 的增加而单调递增。因此，所有轨迹上的箭头均指向 $g$ 增大的方向（即指向上方）。

• 对于 $\rho=0$ 的轨迹，箭头从 $\rho_+^*$ 指向 $\rho_-^*$（向左上方）。
• 对于 $\rho=5$ 的轨迹，箭头从 $\rho_+^*$ 指向 $+\infty$（向右上方）。
• 对于 $\rho=-5$ 的轨迹，箭头从 $-\infty$ 指向 $\rho_-^*$（向右上方）。

(g) 紫外稳定与红外稳定不动点的物理解释

• $\rho_-^*$ 被称为**紫外稳定（ultraviolet stable）**不动点，因为当能标 $\mu \to \infty$（紫外极限）时，只要初始值满足 $\rho < \rho_+^*$（如 $\rho=0$ 或 $\rho=-5$），重整化群流都会被吸引并渐近收敛到 $\rho_-^*$。
• $\rho_+^*$ 被称为**红外稳定（infrared stable）**不动点，因为当能标 $\mu \to 0$（红外极限）时，只要初始值满足 $\rho > \rho_-^*$（如 $\rho=0$ 或 $\rho=5$），重整化群流都会被吸引并渐近收敛到 $\rho_+^*$。