Gauge Field Notes
73.1

Problem 73.1

srednickiChapter 73

习题 73.1

来源: 第73章, PDF第434页

73.1 Compute the beta function for gg in Yang-Mills theory with a complex scalar field in the representation R of the gauge group. Hint: all the real work has been done already in this section, problem 72.1, and section 66.

习题 73.1 - 解答

为了计算带有处于规范群表示 RR 的复标量场的杨-米尔斯 (Yang-Mills) 理论中耦合常数 gg 的 β\beta 函数，我们从包含标量场的拉格朗日量相关项出发： L⊃(Dμϕ)†(Dμϕ)−m2ϕ†ϕ\mathcal{L} \supset (D_\mu \phi)^\dagger (D^\mu \phi) - m^2 \phi^\dagger \phi 其中协变导数为 Dμ=∂μ−igAμaTRaD_\mu = \partial_\mu - i g A_\mu^a T^a_R。展开动能项，可以得到标量场与规范场的相互作用项： Lint=igAμa(ϕ†TRa∂μϕ−∂μϕ†TRaϕ)+g2AμaAμbϕ†TRaTRbϕ\mathcal{L}_{\text{int}} = i g A_\mu^a (\phi^\dagger T^a_R \partial^\mu \phi - \partial^\mu \phi^\dagger T^a_R \phi) + g^2 A_\mu^a A^{\mu b} \phi^\dagger T^a_R T^b_R \phi

由此可以提取出相互作用顶点的费曼规则：

  1. 三线顶点 (Aμa(q)−ϕ(p)−ϕ†(p′)A_\mu^a(q) - \phi(p) - \phi^\dagger(p'))：ig(p+p′)μTRai g (p + p')^\mu T^a_R。
  2. 四线顶点 (AμaAνbϕϕ†A_\mu^a A_\nu^b \phi \phi^\dagger)：对规范场对称化后为 ig2gμν{TRa,TRb}i g^2 g^{\mu\nu} \{T^a_R, T^b_R\}。

复标量场在单圈水平上通过两个费曼图对规范玻色子自能 Πabμν(q)\Pi^{\mu\nu}_{ab}(q) 产生贡献：一个是包含两个三线顶点的标量圈图，另一个是包含一个四线顶点的“海鸥图” (seagull diagram)。

我们首先计算这两个图的色因子 (color factors)：

  • 对于三线顶点圈图，色迹为 Tr(TRaTRb)=T(R)δab\text{Tr}(T^a_R T^b_R) = T(R) \delta^{ab}。
  • 对于海鸥图，色迹为 12Tr({TRa,TRb})=Tr(TRaTRb)=T(R)δab\frac{1}{2} \text{Tr}(\{T^a_R, T^b_R\}) = \text{Tr}(T^a_R T^b_R) = T(R) \delta^{ab}。

这两个图的动量积分结构与标量量子电动力学 (Scalar QED，见第66章) 完全相同。在标量 QED 中，三线顶点为 ie(p+p′)μi e (p+p')^\mu，四线顶点为 2ie2gμν2 i e^2 g^{\mu\nu}。通过作代换 e2→g2T(R)e^2 \to g^2 T(R)，非阿贝尔规范理论中的标量真空极化张量可以直接写为标量 QED 结果乘以 T(R)δabT(R) \delta^{ab}。

根据第66章的计算结果，在 d=4−2ϵd = 4 - 2\epsilon 维的标量 QED 中，单圈真空极化给出的规范场重整化常数为： Z3SQED=1−e216π2ϵ13Z_3^{\text{SQED}} = 1 - \frac{e^2}{16\pi^2 \epsilon} \frac{1}{3} 因此，在杨-米尔斯理论中，复标量场对规范场重整化常数 Z3Z_3 的单圈贡献为： δZ3=−g216π2ϵ13T(R)\delta Z_3 = - \frac{g^2}{16\pi^2 \epsilon} \frac{1}{3} T(R)

为了求得 β\beta 函数，我们需要计算耦合常数重整化 ZgZ_g。根据第73章和习题72.1中的逻辑，利用 Slavnov-Taylor 恒等式，可以通过鬼场-规范场顶点来确定 ZgZ_g： Zg=Z~1Z~3−1Z3−1/2Z_g = \tilde{Z}_1 \tilde{Z}_3^{-1} Z_3^{-1/2} 由于标量场不与 Faddeev-Popov 鬼场发生直接耦合，因此在单圈水平上，标量场对鬼场自能 (Z~3\tilde{Z}_3) 和鬼场-规范场顶点 (Z~1\tilde{Z}_1) 没有任何贡献，即 δZ~1=δZ~3=0\delta \tilde{Z}_1 = \delta \tilde{Z}_3 = 0。

标量场对 ZgZ_g 的贡献完全来源于 Z3Z_3： δZg=−12δZ3=g216π2ϵ16T(R)\delta Z_g = -\frac{1}{2} \delta Z_3 = \frac{g^2}{16\pi^2 \epsilon} \frac{1}{6} T(R)

在最小减除 (MS) 方案类中，若将耦合常数重整化展开为 Zg=1+c1g2ϵZ_g = 1 + \frac{c_1 g^2}{\epsilon}，则单圈 β\beta 函数由 β(g)=2c1g3\beta(g) = 2 c_1 g^3 给出。由上式可知，标量场贡献的系数为 δc1=116π216T(R)\delta c_1 = \frac{1}{16\pi^2} \frac{1}{6} T(R)。因此，复标量场对 β\beta 函数的贡献为： δβ(g)=2(116π216T(R))g3=g316π213T(R)\delta \beta(g) = 2 \left( \frac{1}{16\pi^2} \frac{1}{6} T(R) \right) g^3 = \frac{g^3}{16\pi^2} \frac{1}{3} T(R)

最后，将此结果与第73章中推导的纯杨-米尔斯理论的 β\beta 函数 βYM(g)=−g316π2113T(A)\beta_{\text{YM}}(g) = - \frac{g^3}{16\pi^2} \frac{11}{3} T(A) 相加，即可得到包含表示 RR 下复标量场的完整单圈 β\beta 函数： β(g)=−g316π2113T(A)+g316π213T(R)\beta(g) = - \frac{g^3}{16\pi^2} \frac{11}{3} T(A) + \frac{g^3}{16\pi^2} \frac{1}{3} T(R)

整理后得到最终结果： β(g)=−g316π2[113T(A)−13T(R)]\boxed{ \beta(g) = - \frac{g^3}{16\pi^2} \left[ \frac{11}{3} T(A) - \frac{1}{3} T(R) \right] }

73.2

Problem 73.2

srednickiChapter 73

习题 73.2

来源: 第73章, PDF第434页

73.2 Write down the beta function for the gauge coupling in Yang-Mills theory with several Dirac fermions in the representations Ri\text{R}_i, and several complex scalars in the representations Rj′\text{R}'_j.

习题 73.2 - 解答

在非阿贝尔规范场论（Yang-Mills 理论）中，重整化群 β\beta 函数描述了规范耦合常数 gg 随能标 μ\mu 的跑动行为，定义为 β(g)=μ∂g∂μ\beta(g) = \mu \frac{\partial g}{\partial \mu}。在微扰论的单圈（one-loop）近似下，β\beta 函数由规范玻色子、鬼场、费米子和标量场的真空极化图（自能图）共同决定。

单圈 β\beta 函数的一般形式可以写为： β(g)=−g3(4π)2b0+O(g5)\beta(g) = - \frac{g^3}{(4\pi)^2} b_0 + \mathcal{O}(g^5) 其中系数 b0b_0 包含了理论中所有动力学自由度的贡献。我们可以将这些贡献逐一分解：

  1. 纯规范场与鬼场贡献（反屏蔽效应）： 规范玻色子在规范群 GG 的伴随表示（Adjoint representation）中变换。由于非阿贝尔规范场的自相互作用，规范玻色子环和法捷耶夫-波波夫（Faddeev-Popov）鬼场环会产生反屏蔽效应（渐近自由的来源）。它们对 b0b_0 的贡献为： b0,gauge=113C2(G)b_{0,\text{gauge}} = \frac{11}{3} C_2(G) 其中 C2(G)C_2(G) 是规范群伴随表示的二次卡西米尔算子（Quadratic Casimir），定义为 facdfbcd=C2(G)δabf^{acd}f^{bcd} = C_2(G)\delta^{ab}。

  2. 狄拉克费米子贡献（屏蔽效应）： 费米子环会产生类似于量子电动力学（QED）中的真空极化屏蔽效应。一个处于表示 RR 的外尔（Weyl）费米子对 b0b_0 的贡献为 −23T(R)-\frac{2}{3}T(R)。由于一个狄拉克（Dirac）费米子可以看作两个外尔费米子，因此一个处于表示 RiR_i 的狄拉克费米子的贡献为 −43T(Ri)-\frac{4}{3}T(R_i)。对于多个处于不同表示 RiR_i 的狄拉克费米子，总贡献为： b0,fermion=−43∑iT(Ri)b_{0,\text{fermion}} = - \frac{4}{3} \sum_i T(R_i) 其中 T(Ri)T(R_i) 是表示 RiR_i 的 Dynkin 指数，定义为生成元的迹：Tr(TRiaTRib)=T(Ri)δab\text{Tr}(T^a_{R_i} T^b_{R_i}) = T(R_i) \delta^{ab}。

  3. 复标量场贡献（屏蔽效应）： 标量场环同样提供屏蔽效应。一个处于表示 R′R' 的实标量场对 b0b_0 的贡献为 −16T(R′)-\frac{1}{6}T(R')。由于一个复标量场包含两个实标量场自由度，因此一个处于表示 Rj′R'_j 的复标量场的贡献为 −13T(Rj′)-\frac{1}{3}T(R'_j)。对于多个处于不同表示 Rj′R'_j 的复标量场，总贡献为： b0,scalar=−13∑jT(Rj′)b_{0,\text{scalar}} = - \frac{1}{3} \sum_j T(R'_j)

将上述所有物理自由度的贡献相加，得到总的单圈 β\beta 函数系数 b0b_0： b0=113C2(G)−43∑iT(Ri)−13∑jT(Rj′)b_0 = \frac{11}{3} C_2(G) - \frac{4}{3} \sum_i T(R_i) - \frac{1}{3} \sum_j T(R'_j)

代入 β\beta 函数的定义式中，即可得到包含多个狄拉克费米子和复标量场的 Yang-Mills 理论的单圈 β\beta 函数：

β(g)=−g316π2(113C2(G)−43∑iT(Ri)−13∑jT(Rj′))\boxed{ \beta(g) = - \frac{g^3}{16\pi^2} \left( \frac{11}{3} C_2(G) - \frac{4}{3} \sum_i T(R_i) - \frac{1}{3} \sum_j T(R'_j) \right) }

73.3

Problem 73.3

srednickiChapter 73

习题 73.3

来源: 第73章, PDF第434页

73.3 Compute the one-loop contributions to the anomalous dimensions of mm, Ψ\Psi, and AμA^\mu.

习题 73.3 - 解答

为了计算量子电动力学（QED）中光子场 AμA^\mu、费米子场 Ψ\Psi 以及质量 mm 的单圈反常标度维数（anomalous dimensions），我们在维度正规化（d=4−ϵd = 4 - \epsilon）和 MS\text{MS}（或 MS‾\overline{\text{MS}}）方案下进行计算。

QED 的重整化拉格朗日量包含以下项： L=−14Z3FμνFμν+iZ2Ψˉγμ∂μΨ−ZmmΨˉΨ+eZ1ΨˉγμAμΨ\mathcal{L} = -\frac{1}{4} Z_3 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + i Z_2 \bar{\Psi} \gamma^\mu \partial_\mu \Psi - Z_m m \bar{\Psi}\Psi + e Z_1 \bar{\Psi} \gamma^\mu A_\mu \Psi 由 Ward 恒等式知 Z1=Z2Z_1 = Z_2。裸场、裸耦合常数与重整化量的关系为： A0μ=Z31/2Aμ,Ψ0=Z21/2Ψ,m0=ZmZ2−1m,e0=Z3−1/2eμ~ϵ/2A_0^\mu = Z_3^{1/2} A^\mu, \quad \Psi_0 = Z_2^{1/2} \Psi, \quad m_0 = Z_m Z_2^{-1} m, \quad e_0 = Z_3^{-1/2} e \tilde{\mu}^{\epsilon/2} 在 d=4−ϵd = 4-\epsilon 维下，重整化常数具有形式 Z=1+a1ϵ+O(e4)Z = 1 + \frac{a_1}{\epsilon} + \mathcal{O}(e^4)。 反常标度维数的定义为： γA=12dln⁡Z3dln⁡μ,γΨ=12dln⁡Z2dln⁡μ,γm=dln⁡mdln⁡μ\gamma_A = \frac{1}{2} \frac{d \ln Z_3}{d \ln \mu}, \quad \gamma_\Psi = \frac{1}{2} \frac{d \ln Z_2}{d \ln \mu}, \quad \gamma_m = \frac{d \ln m}{d \ln \mu} 利用重整化群方程 β(e)=dedln⁡μ=−ϵ2e+O(e3)\beta(e) = \frac{de}{d\ln\mu} = -\frac{\epsilon}{2}e + \mathcal{O}(e^3)，可得场反常维数的计算公式：γ=−14e∂a1∂e\gamma = -\frac{1}{4} e \frac{\partial a_1}{\partial e}。

1. 光子场的反常维数 γA\gamma_A

光子场重整化常数 Z3Z_3 由真空极化图（单圈光子自能）Πμν(q)\Pi^{\mu\nu}(q) 决定： iΠμν(q)=−(−ie)2∫ddk(2π)dTr[γμi(k̸+m)k2−m2γνi(k̸+q̸+m)(k+q)2−m2]i\Pi^{\mu\nu}(q) = -(-ie)^2 \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \text{Tr} \left[ \gamma^\mu \frac{i(\not{k}+m)}{k^2-m^2} \gamma^\nu \frac{i(\not{k}+\not{q}+m)}{(k+q)^2-m^2} \right] 计算迹并引入 Feynman 参数 xx，将分母合并为 (l2−Δ)2(l^2 - \Delta)^2，其中 l=k+xql = k + xq，Δ=m2−x(1−x)q2\Delta = m^2 - x(1-x)q^2。提取发散部分（即 1/ϵ1/\epsilon 极点）： iΠμν(q)=−4e2∫01dx∫ddl(2π)d2lμlν−gμνl2−2x(1−x)qμqν+gμν(m2+x(1−x)q2)(l2−Δ)2i\Pi^{\mu\nu}(q) = -4e^2 \int_0^1 dx \int \frac{d^d l}{(2\pi)^d} \frac{2l^\mu l^\nu - g^{\mu\nu}l^2 - 2x(1-x)q^\mu q^\nu + g^{\mu\nu}(m^2 + x(1-x)q^2)}{(l^2 - \Delta)^2} 利用维度正规化积分公式 ∫ddl(2π)dl2(l2−Δ)2=d2i16π22ϵΔ\int \frac{d^d l}{(2\pi)^d} \frac{l^2}{(l^2-\Delta)^2} = \frac{d}{2} \frac{i}{16\pi^2} \frac{2}{\epsilon} \Delta 以及 ∫ddl(2π)d1(l2−Δ)2=i16π22ϵ\int \frac{d^d l}{(2\pi)^d} \frac{1}{(l^2-\Delta)^2} = \frac{i}{16\pi^2} \frac{2}{\epsilon}，保留与 q2q^2 相关的发散项： Πdivμν(q)=i(q2gμν−qμqν)(−e22π2ϵ∫01dx x(1−x))=i(q2gμν−qμqν)(−e26π2ϵ)\Pi^{\mu\nu}_{div}(q) = i(q^2 g^{\mu\nu} - q^\mu q^\nu) \left( -\frac{e^2}{2\pi^2 \epsilon} \int_0^1 dx \, x(1-x) \right) = i(q^2 g^{\mu\nu} - q^\mu q^\nu) \left( -\frac{e^2}{6\pi^2 \epsilon} \right) 由此得到 Π(q2)\Pi(q^2) 的发散部分为 −e26π2ϵ-\frac{e^2}{6\pi^2 \epsilon}。为了抵消此发散，要求 Z3−1=−ΠdivZ_3 - 1 = -\Pi_{div}，故： Z3=1−e26π2ϵZ_3 = 1 - \frac{e^2}{6\pi^2 \epsilon} 提取 a3=−e26π2a_3 = -\frac{e^2}{6\pi^2}，代入反常维数公式： γA=−14e∂∂e(−e26π2)=e212π2\gamma_A = -\frac{1}{4} e \frac{\partial}{\partial e} \left( -\frac{e^2}{6\pi^2} \right) = \frac{e^2}{12\pi^2} γA=e212π2\boxed{ \gamma_A = \frac{e^2}{12\pi^2} }

2. 费米子场的反常维数 γΨ\gamma_\Psi

费米子场重整化常数 Z2Z_2 由单圈费米子自能 Σ(p)\Sigma(p) 决定。在一般协变规范（规范参数为 ξ\xi）下，光子传播子为 −ik2[gμν−(1−ξ)kμkνk2]\frac{-i}{k^2}[g_{\mu\nu} - (1-\xi)\frac{k_\mu k_\nu}{k^2}]： −iΣ(p)=(−ie)2∫ddk(2π)dγμi(p̸−k̸+m)(p−k)2−m2γν−ik2[gμν−(1−ξ)kμkνk2]-i\Sigma(p) = (-ie)^2 \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \gamma^\mu \frac{i(\not{p}-\not{k}+m)}{(p-k)^2-m^2} \gamma^\nu \frac{-i}{k^2} \left[ g_{\mu\nu} - (1-\xi)\frac{k_\mu k_\nu}{k^2} \right] 将积分分为 Feynman 规范部分（ξ=1\xi=1）和规范依赖部分（1−ξ1-\xi）。 对于 ξ=1\xi=1 部分，引入 Feynman 参数 xx 并平移动量 k→l+(1−x)pk \to l + (1-x)p： Σξ=1(p)=−ie2∫01dx∫ddl(2π)d(2−d)(p̸−k̸)+dm(l2−Δ)2\Sigma_{\xi=1}(p) = -ie^2 \int_0^1 dx \int \frac{d^d l}{(2\pi)^d} \frac{(2-d)(\not{p}-\not{k}) + d m}{(l^2 - \Delta)^2} 提取 1/ϵ1/\epsilon 极点： Σξ=1,div(p)=e216π22ϵ∫01dx[(−2)(x)p̸+4m]=e28π2ϵ(−p̸+4m)\Sigma_{\xi=1, div}(p) = \frac{e^2}{16\pi^2} \frac{2}{\epsilon} \int_0^1 dx \left[ (-2)(x)\not{p} + 4m \right] = \frac{e^2}{8\pi^2 \epsilon} (-\not{p} + 4m) 对于 1−ξ1-\xi 部分，计算纵向动量项 k̸(p̸−k̸+m)k̸=k̸p̸k̸−k2k̸+mk2\not{k}(\not{p}-\not{k}+m)\not{k} = \not{k}\not{p}\not{k} - k^2\not{k} + m k^2 带来的发散。利用对称积分和量纲分析，发散部分为： Σ1−ξ,div(p)=e216π22ϵ(1−ξ)(12p̸−m)=e28π2ϵ(1−ξ)(12p̸−m)\Sigma_{1-\xi, div}(p) = \frac{e^2}{16\pi^2} \frac{2}{\epsilon} (1-\xi) \left( \frac{1}{2}\not{p} - m \right) = \frac{e^2}{8\pi^2 \epsilon} (1-\xi) \left( \frac{1}{2}\not{p} - m \right) 合并两部分，得到总的自能发散项： Σdiv(p)=e28π2ϵ[ξp̸−(3+ξ)m]\Sigma_{div}(p) = \frac{e^2}{8\pi^2 \epsilon} \left[ \xi \not{p} - (3+\xi)m \right] 抵消项为 i(Z2−1)p̸−i(Zm−1)mi(Z_2 - 1)\not{p} - i(Z_m - 1)m。要求抵消 p̸\not{p} 的发散，得到： Z2=1−e28π2ϵξZ_2 = 1 - \frac{e^2}{8\pi^2 \epsilon} \xi 提取 a2=−e2ξ8π2a_2 = -\frac{e^2 \xi}{8\pi^2}，代入反常维数公式： γΨ=−14e∂∂e(−e2ξ8π2)=e2ξ16π2\gamma_\Psi = -\frac{1}{4} e \frac{\partial}{\partial e} \left( -\frac{e^2 \xi}{8\pi^2} \right) = \frac{e^2 \xi}{16\pi^2} γΨ=e2ξ16π2\boxed{ \gamma_\Psi = \frac{e^2 \xi}{16\pi^2} }

3. 质量的反常维数 γm\gamma_m

由上述自能发散项 Σdiv(p)\Sigma_{div}(p) 可知，抵消质量发散需要： Zm=1−e28π2ϵ(3+ξ)Z_m = 1 - \frac{e^2}{8\pi^2 \epsilon} (3+\xi) 裸质量 m0m_0 与重整化质量 mm 的关系为 m0=ZmZ2−1mm_0 = Z_m Z_2^{-1} m。我们定义质量的综合重整化常数 Zmmass≡ZmZ2−1Z_m^{\text{mass}} \equiv Z_m Z_2^{-1}： Zmmass=1−e28π2ϵ(3+ξ)1−e28π2ϵξ=1−3e28π2ϵ+O(e4)Z_m^{\text{mass}} = \frac{1 - \frac{e^2}{8\pi^2 \epsilon} (3+\xi)}{1 - \frac{e^2}{8\pi^2 \epsilon} \xi} = 1 - \frac{3e^2}{8\pi^2 \epsilon} + \mathcal{O}(e^4) 注意，规范参数 ξ\xi 完美相消，这保证了物理质量的反常维数是规范无关的。 由 m=m0(Zmmass)−1=m0(1+3e28π2ϵ)m = m_0 (Z_m^{\text{mass}})^{-1} = m_0 \left( 1 + \frac{3e^2}{8\pi^2 \epsilon} \right)，且裸质量 m0m_0 不依赖于能标 μ\mu，对 ln⁡μ\ln \mu 求导： γm=dln⁡mdln⁡μ=1m∂m∂eβ(e)=(6e8π2ϵ)(−ϵ2e)=−3e28π2\gamma_m = \frac{d \ln m}{d \ln \mu} = \frac{1}{m} \frac{\partial m}{\partial e} \beta(e) = \left( \frac{6e}{8\pi^2 \epsilon} \right) \left( -\frac{\epsilon}{2} e \right) = -\frac{3e^2}{8\pi^2} γm=−3e28π2\boxed{ \gamma_m = -\frac{3e^2}{8\pi^2} }