习题 87.1 - 解答

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在标准模型的电弱对称性破缺（Electroweak Symmetry Breaking）机制中，规范群 $\text{SU}(2)_L \times \text{U}(1)_Y$ 被希格斯场的真空期望值（VEV）自发破缺为剩余的电磁规范群 $\text{U}(1)_{\text{em}}$。

物理背景与生成元定义 $\text{SU}(2)_L$ 群的生成元为 $T^a = \frac{1}{2}\sigma^a$（$a=1,2,3$），其中 $\sigma^a$ 为泡利矩阵。 $\text{U}(1)_Y$ 群的生成元为弱超荷 $Y$。 希格斯场 $\varphi$ 是一个 $\text{SU}(2)_L$ 的复二重态（complex doublet），其弱超荷按惯例取为 $Y = \frac{1}{2}$。 希格斯场的真空期望值（VEV）选取为： $\langle \varphi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ v \end{pmatrix}$

推导过程 未破缺的 $\text{U}(1)_{\text{em}}$ 子群的生成元 $Q$ 必须是 $T^a$ 和 $Y$ 的线性组合，并且它必须湮灭真空态（即真空对该生成元保持不变）。设该生成元为： $Q = c_1 T^1 + c_2 T^2 + c_3 T^3 + c_Y Y$ 其中 $c_1, c_2, c_3, c_Y$ 为待定的实系数（因为物理的生成元必须是厄米算符）。

根据真空不变性条件，要求： $Q \langle \varphi \rangle = 0$

我们分别计算各个生成元作用在希格斯 VEV 上的结果： $T^1 \langle \varphi \rangle = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ v \end{pmatrix} = \frac{v}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $T^2 \langle \varphi \rangle = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ v \end{pmatrix} = \frac{v}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -i \\ 0 \end{pmatrix}$ $T^3 \langle \varphi \rangle = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ v \end{pmatrix} = \frac{v}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} = -\frac{1}{2} \langle \varphi \rangle$ $Y \langle \varphi \rangle = \frac{1}{2} \langle \varphi \rangle = \frac{v}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

将上述结果代入 $Q \langle \varphi \rangle = 0$ 的方程中： $\left( c_1 T^1 + c_2 T^2 + c_3 T^3 + c_Y Y \right) \langle \varphi \rangle = 0$ $c_1 \frac{v}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \frac{v}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -i \\ 0 \end{pmatrix} - c_3 \frac{v}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + c_Y \frac{v}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

将上式合并写成列向量的形式： $\frac{v}{2\sqrt{2}} \begin{pmatrix} c_1 - i c_2 \\ -c_3 + c_Y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

为了使该向量为零，其上下两个分量必须同时为零：

1. 对于上半部分量：$c_1 - i c_2 = 0$。由于 $c_1$ 和 $c_2$ 必须是实数，这要求 $c_1 = 0$ 且 $c_2 = 0$。这表明 $T^1$ 和 $T^2$ 对应的对称性被完全破缺。
2. 对于下半部分量：$-c_3 + c_Y = 0$，这要求 $c_3 = c_Y$。

因此，未破缺的生成元 $Q$ 只能是 $T^3$ 和 $Y$ 的等比例线性组合，即 $Q \propto (T^3 + Y)$。

为了符合电磁学中电荷的量子化惯例（例如使得希格斯二重态的上分量带 $+1$ 电荷，下分量带 $0$ 电荷，以及赋予电子 $-1$ 的电荷），我们选取归一化系数 $c_3 = c_Y = 1$。

最终得到未破缺的 $\text{U}(1)$ 子群（即电磁 $\text{U}(1)_{\text{em}}$ 群）的生成元 $Q$（电荷算符）为： $\boxed{Q = T^3 + Y}$

习题 87.2 - 解答

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在标准模型电弱统一理论中，规范耦合常数 $g_1$（对应 $U(1)_Y$）、$g_2$（对应 $SU(2)_L$）、基本电荷 $e$ 以及温伯格角（弱混合角）$\theta_{\text{W}}$ 之间在树图阶（忽略圈图修正）满足以下基本关系： $e = g_1 \cos \theta_{\text{W}} = g_2 \sin \theta_{\text{W}}$ 规范玻色子的质量与希格斯场的真空期望值（VEV）$v$ 的关系为： $M_{\text{W}} = \frac{1}{2} g_2 v, \quad M_{\text{Z}} = \frac{1}{2} \sqrt{g_1^2 + g_2^2} v = \frac{M_{\text{W}}}{\cos \theta_{\text{W}}}$

已知输入参数为： $\alpha(M_Z) = \frac{e^2}{4\pi} = \frac{1}{127.9}, \quad \sin^2 \theta_{\text{W}} = 0.231$ 由于题目给定了 $Z$ 玻色子质量尺度下的精细结构常数，我们需要引入 $Z$ 玻色子的实验质量 $M_{\text{Z}} \approx 91.1876 \text{ GeV}$ 作为基准质量尺度来进行数值计算。

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(a) 计算 $v$, $g_1$, 和 $g_2$ 的数值

首先，由精细结构常数计算基本电荷 $e$： $e = \sqrt{\frac{4\pi}{127.9}} \approx 0.31345$

由 $\sin^2 \theta_{\text{W}} = 0.231$，可得： $\sin \theta_{\text{W}} = \sqrt{0.231} \approx 0.48062$ $\cos \theta_{\text{W}} = \sqrt{1 - 0.231} = \sqrt{0.769} \approx 0.87693$

利用耦合常数关系，可以直接求出 $g_1$ 和 $g_2$： $g_1 = \frac{e}{\cos \theta_{\text{W}}} = \frac{0.31345}{0.87693} \approx 0.3574$ $g_2 = \frac{e}{\sin \theta_{\text{W}}} = \frac{0.31345}{0.48062} \approx 0.6522$

为了求出真空期望值 $v$，我们利用 $Z$ 玻色子的质量公式 $M_{\text{Z}} = \frac{v}{2} \sqrt{g_1^2 + g_2^2} = \frac{e v}{2 \sin \theta_{\text{W}} \cos \theta_{\text{W}}}$： $v = \frac{2 M_{\text{Z}} \sin \theta_{\text{W}} \cos \theta_{\text{W}}}{e}$ 代入 $M_{\text{Z}} = 91.1876 \text{ GeV}$ 及前面求得的数值： $v = \frac{2 \times 91.1876 \times 0.48062 \times 0.87693}{0.31345} \approx 245.3 \text{ GeV}$

最终结果： $\boxed{v \approx 245.3 \text{ GeV}, \quad g_1 \approx 0.357, \quad g_2 \approx 0.652}$

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(b) 计算费米常数 $G_{\text{F}}$ 的数值

费米常数在树图阶的定义为： $G_{\text{F}} \equiv \frac{e^2}{4\sqrt{2} \sin^2 \theta_{\text{W}} M_{\text{W}}^2}$ 在忽略圈图修正的情况下，我们需要使用树图阶的 $W$ 玻色子质量 $M_{\text{W}}$。由 $M_{\text{W}} = M_{\text{Z}} \cos \theta_{\text{W}}$ 可得： $M_{\text{W}} = 91.1876 \times 0.87693 \approx 79.965 \text{ GeV}$ (注：这与真实的物理质量 $80.38 \text{ GeV}$ 略有差异，正是因为我们忽略了圈图修正。)

将数值代入 $G_{\text{F}}$ 的定义式： $e^2 = \frac{4\pi}{127.9} \approx 0.09825$ $G_{\text{F}} = \frac{0.09825}{4 \times \sqrt{2} \times 0.231 \times (79.965)^2}$ $G_{\text{F}} = \frac{0.09825}{5.65685 \times 0.231 \times 6394.4} \approx \frac{0.09825}{8355.8} \approx 1.176 \times 10^{-5} \text{ GeV}^{-2}$

最终结果： $\boxed{G_{\text{F}} \approx 1.176 \times 10^{-5} \text{ GeV}^{-2}}$ (注：实验测量值为 $1.166 \times 10^{-5} \text{ GeV}^{-2}$，此处的偏差来源于题目要求的“忽略圈图修正”近似。)

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(c) 将 $G_{\text{F}}$ 用 $v$ 表达出来

我们从 $G_{\text{F}}$ 的定义式出发，利用电弱理论的基本关系进行化简。 已知 $e = g_2 \sin \theta_{\text{W}}$，因此可以替换分子中的 $e^2$： $e^2 = g_2^2 \sin^2 \theta_{\text{W}}$ 将其代入 $G_{\text{F}}$ 的表达式中： $G_{\text{F}} = \frac{g_2^2 \sin^2 \theta_{\text{W}}}{4\sqrt{2} \sin^2 \theta_{\text{W}} M_{\text{W}}^2} = \frac{g_2^2}{4\sqrt{2} M_{\text{W}}^2}$ 再利用 $W$ 玻色子质量与真空期望值 $v$ 的关系 $M_{\text{W}} = \frac{1}{2} g_2 v$，即 $M_{\text{W}}^2 = \frac{1}{4} g_2^2 v^2$，代入分母： $G_{\text{F}} = \frac{g_2^2}{4\sqrt{2} \left( \frac{1}{4} g_2^2 v^2 \right)}$ 消去常数 $4$ 和耦合常数 $g_2^2$，得到极其简洁的物理关系： $G_{\text{F}} = \frac{1}{\sqrt{2} v^2}$ 这表明低能有效理论中的弱相互作用强度 $G_{\text{F}}$ 完全由电弱对称性破缺的能标 $v$ 决定。

最终结果： $\boxed{G_{\text{F}} = \frac{1}{\sqrt{2} v^2}}$

习题 87.3 - 解答

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(a) $\text{SU}(2)$ 和超荷生成元的 $4 \times 4$ 矩阵表示

在标准模型中，Higgs 场是一个复二重态，其超荷为 $Y = 1/2$。它可以用四个实标量场 $\phi_i$ 表示为：

在无穷小规范变换下，复数形式的 Higgs 场变换为 $\delta \varphi = i \theta^a T^a \varphi + i \theta_Y Y \varphi$，其中 $T^a = \frac{1}{2}\sigma^a$ 是 $\text{SU}(2)$ 生成元，$\sigma^a$ 为泡利矩阵。 对应地，实标量场向量 $\phi = (\phi_1, \phi_2, \phi_3, \phi_4)^T$ 的变换定义为 $\delta \phi_i = \theta^a (\mathcal{T}^a)_{ij} \phi_j + \theta_Y \mathcal{Y}_{ij} \phi_j$。因此，我们可以通过比较实部和虚部，由 $i T^a \varphi$ 和 $i Y \varphi$ 提取出 $4 \times 4$ 的实反对称矩阵 $\mathcal{T}^a$ 和 $\mathcal{Y}$。

1. 对于 $T^1 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$：

提取实部和虚部得到 $\delta\phi = (-\frac{1}{2}\phi_4, -\frac{1}{2}\phi_3, \frac{1}{2}\phi_2, \frac{1}{2}\phi_1)^T$，对应的矩阵为：

2. 对于 $T^2 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$：

提取得到 $\delta\phi = (\frac{1}{2}\phi_2, -\frac{1}{2}\phi_1, \frac{1}{2}\phi_4, -\frac{1}{2}\phi_3)^T$，对应的矩阵为：

3. 对于 $T^3 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$：

提取得到 $\delta\phi = (-\frac{1}{2}\phi_3, \frac{1}{2}\phi_4, \frac{1}{2}\phi_1, -\frac{1}{2}\phi_2)^T$，对应的矩阵为：

4. 对于 $Y = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$：

提取得到 $\delta\phi = (-\frac{1}{2}\phi_3, -\frac{1}{2}\phi_4, \frac{1}{2}\phi_1, \frac{1}{2}\phi_2)^T$，对应的矩阵为：

(b) 计算矩阵 $F^a{}_i$

在标准模型中，协变导数为 $D_\mu \varphi = \partial_\mu \varphi - i g W_\mu^a T^a \varphi - i g' B_\mu Y \varphi$。 将其写为实标量场的形式 $D_\mu \phi_i = \partial_\mu \phi_i + A_\mu^A (\tau^A)_{ij} \phi_j$，其中规范场合并记为 $A_\mu^A = (W_\mu^1, W_\mu^2, W_\mu^3, B_\mu)$，对应的包含耦合常数的生成元矩阵为：

Higgs 场的真空期望值 (VEV) 为 $\langle \varphi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ v \end{pmatrix}$，对应的实向量为 $v_j = (0, v, 0, 0)^T$。 根据定义 $F^A{}_i \equiv (\tau^A)_{ij} v_j$，我们只需提取每个矩阵 $\tau^A$ 的第二列并乘以 $v$：

• $F^1{}_i = -g (\mathcal{T}^1)_{i2} v = -g \frac{v}{2} \delta_{i3}$
• $F^2{}_i = -g (\mathcal{T}^2)_{i2} v = -g \frac{v}{2} \delta_{i1}$
• $F^3{}_i = -g (\mathcal{T}^3)_{i2} v = g \frac{v}{2} \delta_{i4}$
• $F^4{}_i = -g' (\mathcal{Y})_{i2} v = -g' \frac{v}{2} \delta_{i4}$

将 $F^A{}_i$ 写成 $4 \times 4$ 矩阵（行索引为规范场 $A=1,2,3,4$，列索引为标量场 $i=1,2,3,4$）：

(c) 计算矢量场的质量平方矩阵 $(M^2)^{ab}$ 及其本征值

矢量场的质量平方矩阵由 $(M^2)^{AB} = F^A{}_i F^B{}_i = (F F^T)^{AB}$ 给出：

执行矩阵乘法，得到：

本征值求解： 该矩阵是块对角化的。

1. 左上角的 $2 \times 2$ 块是对角阵，直接给出两个简并的本征值： $\lambda_1 = \lambda_2 = \frac{g^2 v^2}{4}$ (物理上对应于 $W^\pm$ 玻色子的质量平方 $M_W^2$)

2. 右下角的 $2 \times 2$ 块为 $\frac{v^2}{4} \begin{pmatrix} g^2 & -gg' \\ -gg' & g'^2 \end{pmatrix}$。其迹为 $\text{Tr} = \frac{v^2}{4}(g^2 + g'^2)$，行列式为 $\det = 0$。因此特征方程 $\lambda^2 - \text{Tr}\cdot\lambda + \det = 0$ 给出的另外两个本征值为： $\lambda_3 = \frac{(g^2 + g'^2)v^2}{4}, \quad \lambda_4 = 0$ (物理上分别对应于 $Z$ 玻色子的质量平方 $M_Z^2$ 和无质量的光子 $A$)

综上，质量平方矩阵的本征值为：

习题 87.4 - 解答

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为了求出拉格朗日量 (87.27) 对应的费曼规则，我们需要将其按场变量的幂次展开，提取出二次项（用于确定传播子）以及三次和四次相互作用项（用于确定顶点）。在动量空间中，导数替换为 $\partial_\mu \to i p_\mu$（约定所有动量 $p$ 均为流入顶点的动量），并将相互作用项 $\mathcal{L}_{\text{int}}$ 乘以 $i$，同时对全同粒子的排列进行对称化（即乘以对称因子）。

1. 传播子 (Propagators)

从拉格朗日量中提取所有场的二次项（动能项与质量项）： $\mathcal{L}_{\text{quad}} = -\frac{1}{4} F^{\mu\nu} F_{\mu\nu} - \frac{1}{4} Z^{\mu\nu} Z_{\mu\nu} - \partial_\mu W_\nu^- \partial^\mu W^{+\nu} + \partial_\mu W_\nu^- \partial^\nu W^{+\mu} - M_{\text{W}}^2 W^{+\mu} W_\mu^- - \frac{1}{2} M_{\text{Z}}^2 Z^\mu Z_\mu - \frac{1}{2} \partial^\mu H \partial_\mu H - \frac{1}{2} m_{\text{H}}^2 H^2$ 在幺正规范（Unitary gauge）下，没有 Goldstone 玻色子，规范玻色子 $W$ 和 $Z$ 获得质量。光子 $A$ 保持无质量，通常采用 Feynman 规范。由此可得各粒子的传播子： $\boxed{ \text{Higgs } H: \quad \frac{-i}{p^2 + m_{\text{H}}^2 - i\epsilon} }$ $\boxed{ \text{Photon } A: \quad \frac{-i g_{\mu\nu}}{k^2 - i\epsilon} }$ $\boxed{ \text{Z boson } Z: \quad \frac{-i}{k^2 + M_{\text{Z}}^2 - i\epsilon} \left( g_{\mu\nu} + \frac{k_\mu k_\nu}{M_{\text{Z}}^2} \right) }$ $\boxed{ \text{W boson } W^\pm: \quad \frac{-i}{k^2 + M_{\text{W}}^2 - i\epsilon} \left( g_{\mu\nu} + \frac{k_\mu k_\nu}{M_{\text{W}}^2} \right) }$

2. Higgs 自相互作用顶点 (Higgs Self-Interactions)

从拉格朗日量中提取纯 $H$ 的高次项： $\mathcal{L}_{H} = - \frac{1}{2} m_{\text{H}}^2 v^{-1} H^3 - \frac{1}{8} m_{\text{H}}^2 v^{-2} H^4$ 对于 $H^3$ 顶点，有 $3! = 6$ 种收缩方式；对于 $H^4$ 顶点，有 $4! = 24$ 种收缩方式。乘以 $i$ 后得到： $\boxed{ H(p_1) H(p_2) H(p_3): \quad -3i \frac{m_{\text{H}}^2}{v} }$ $\boxed{ H(p_1) H(p_2) H(p_3) H(p_4): \quad -3i \frac{m_{\text{H}}^2}{v^2} }$

3. Higgs 与规范玻色子的相互作用 (Higgs-Gauge Interactions)

提取包含 $H$ 和规范玻色子的交叉项： $\mathcal{L}_{HVV} = - \left( M_{\text{W}}^2 W^{+\mu} W_\mu^- + \frac{1}{2} M_{\text{Z}}^2 Z^\mu Z_\mu \right) (2 v^{-1} H + v^{-2} H^2)$ 对于 $Z$ 玻色子，由于是实场，存在全同粒子对称因子 $2! = 2$；对于 $H^2$ 同样有对称因子 $2! = 2$。$W^\pm$ 是复场，无额外对称因子。 $\boxed{ H W^+_\mu W^-_\nu: \quad -2i \frac{M_{\text{W}}^2}{v} g_{\mu\nu} }$ $\boxed{ H Z_\mu Z_\nu: \quad -2i \frac{M_{\text{Z}}^2}{v} g_{\mu\nu} }$ $\boxed{ H H W^+_\mu W^-_\nu: \quad -2i \frac{M_{\text{W}}^2}{v^2} g_{\mu\nu} }$ $\boxed{ H H Z_\mu Z_\nu: \quad -2i \frac{M_{\text{Z}}^2}{v^2} g_{\mu\nu} }$

4. 三线规范玻色子相互作用 (Triple Gauge Interactions)

三线顶点来源于 $W$ 玻色子的协变导数动能项以及反常磁矩项。协变导数定义为 $D_\mu W_\nu^+ = (\partial_\mu - i e A_\mu - i e \cot\theta_{\text{W}} Z_\mu) W_\nu^+$。令 $V \in \{A, Z\}$，其耦合常数分别为 $g_A = e$ 和 $g_Z = e \cot\theta_{\text{W}}$。 提取包含一个 $V$ 和两个 $W$ 的项： $\mathcal{L}_{WWV} = i g_V \left[ (\partial_\mu W_\nu^-) V^\mu W^{+\nu} - V_\mu W_\nu^- (\partial^\mu W^{+\nu}) - (\partial_\mu W_\nu^-) V^\nu W^{+\mu} + V_\mu W_\nu^- (\partial^\nu W^{+\mu}) + (\partial^\mu V^\nu - \partial^\nu V^\mu) W_\mu^+ W_\nu^- \right]$ 设 $V_\rho(k)$、$W^+_\mu(p_+)$、$W^-_\nu(p_-)$ 的动量均流入顶点，即 $k + p_+ + p_- = 0$。代入 $\partial \to i p$，并乘以 $i$： $\text{Vertex} = i (i g_V) \left[ (i p_{-\rho}) g_{\mu\nu} - (i p_{+\rho}) g_{\mu\nu} - (i p_{-\mu}) g_{\rho\nu} + (i p_{+\nu}) g_{\rho\mu} + (i k_\mu) g_{\rho\nu} - (i k_\nu) g_{\rho\mu} \right]$ 化简并利用动量守恒消去部分项，可得标准的完全反对称循环结构： $\boxed{ A_\rho(k) W^+_\mu(p_+) W^-_\nu(p_-): \quad ie \left[ g_{\mu\nu}(p_+ - p_-)_\rho + g_{\rho\nu}(p_- - k)_\mu + g_{\rho\mu}(k - p_+)_\nu \right] }$ $\boxed{ Z_\rho(k) W^+_\mu(p_+) W^-_\nu(p_-): \quad ie \cot\theta_{\text{W}} \left[ g_{\mu\nu}(p_+ - p_-)_\rho + g_{\rho\nu}(p_- - k)_\mu + g_{\rho\mu}(k - p_+)_\nu \right] }$

5. 四线规范玻色子相互作用 (Quartic Gauge Interactions)

四线顶点来源于协变导数中的 $V^2 W^2$ 项以及显式的 $W^4$ 项。 对于 $W W V V$ 相互作用，拉格朗日量中的对应项为： $\mathcal{L}_{WWVV} = - g_V g_{V'} V_\mu V'^\mu W_\nu^- W^{+\nu} + g_V g_{V'} V_\mu V'^\nu W_\nu^- W^{+\mu}$ 对于全同的 $V$ 场（如 $AA$ 或 $ZZ$），需要乘以对称因子 $2! = 2$。将指标收缩并乘以 $i$ 后，得到通用的张量结构 $-i g_V g_{V'} (2g_{\mu\nu}g_{\rho\sigma} - g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma} - g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho})$。

对于纯 $W$ 的四线相互作用： $\mathcal{L}_{WWWW} = - \frac{e^2}{2 \sin^2 \theta_{\text{W}}} (W^{+\mu} W_\mu^- W^{+\nu} W_\nu^- - W^{+\mu} W_\mu^+ W^{-\nu} W_\nu^-)$ 对两个 $W^+$ 和两个 $W^-$ 的所有可能收缩方式求和，第一项产生 $2g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma} + 2g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho}$，第二项产生 $4g_{\mu\nu}g_{\rho\sigma}$。 综合以上分析，四线规范顶点的费曼规则为： $\boxed{ W^+_\mu W^+_\nu W^-_\rho W^-_\sigma: \quad i \frac{e^2}{\sin^2\theta_{\text{W}}} (2g_{\mu\nu}g_{\rho\sigma} - g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma} - g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho}) }$ $\boxed{ A_\rho A_\sigma W^+_\mu W^-_\nu: \quad -ie^2 (2g_{\mu\nu}g_{\rho\sigma} - g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma} - g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho}) }$ $\boxed{ Z_\rho Z_\sigma W^+_\mu W^-_\nu: \quad -ie^2 \cot^2\theta_{\text{W}} (2g_{\mu\nu}g_{\rho\sigma} - g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma} - g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho}) }$ $\boxed{ A_\rho Z_\sigma W^+_\mu W^-_\nu: \quad -ie^2 \cot\theta_{\text{W}} (2g_{\mu\nu}g_{\rho\sigma} - g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma} - g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho}) }$

习题 87.5 - 解答

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习题分析与物理背景

在标准模型中，当希格斯玻色子（Higgs boson）的质量 $m_{\text{H}} > 2M_{\text{Z}} > 2M_{\text{W}}$ 时，其衰变为一对在壳（on-shell）的规范玻色子 $W^+W^-$ 和 $Z^0Z^0$ 在运动学上是允许的。这两个过程在树图阶（tree level）由希格斯机制直接给出的 $HVV$ 相互作用顶点主导。

根据标准模型自发对称性破缺后的拉格朗日量，希格斯场与规范玻色子的相互作用项为： $\mathcal{L} \supset \frac{2M_{\text{W}}^2}{v} H W_\mu^+ W^{-\mu} + \frac{M_{\text{Z}}^2}{v} H Z_\mu Z^\mu$ 其中 $v = (\sqrt{2}G_{\text{F}})^{-1/2} \approx 246 \text{ GeV}$ 是真空期望值。由此可得对应的费曼规则（注意 $Z^0$ 是全同粒子，求导时会产生额外的对称性因子 2）： $\text{顶点 } HWW: \quad i \frac{2M_{\text{W}}^2}{v} g_{\mu\nu}$ $\text{顶点 } HZZ: \quad i \frac{2M_{\text{Z}}^2}{v} g_{\mu\nu}$ 因此，对于 $V = W, Z$，顶点因子均可统一写为 $i \frac{2M_V^2}{v} g_{\mu\nu}$。

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衰变率公式推导

设过程为 $H(p) \to V(p_1) + V(p_2)$，其树图阶不变振幅为： $\mathcal{M} = \frac{2M_V^2}{v} g_{\mu\nu} \epsilon_1^{*\mu}(p_1) \epsilon_2^{*\nu}(p_2)$ 对末态极化求和并取模平方，利用大质量矢量玻色子的极化求和公式 $\sum \epsilon^\mu \epsilon^{*\alpha} = -g^{\mu\alpha} + \frac{p^\mu p^\alpha}{M_V^2}$，可得： $|\mathcal{M}|^2 = \frac{4M_V^4}{v^2} \left( -g^{\mu\alpha} + \frac{p_1^\mu p_1^\alpha}{M_V^2} \right) \left( -g_{\mu\alpha} + \frac{p_{2\mu} p_{2\alpha}}{M_V^2} \right)$ 展开张量收缩： $|\mathcal{M}|^2 = \frac{4M_V^4}{v^2} \left[ 4 - \frac{p_1^2}{M_V^2} - \frac{p_2^2}{M_V^2} + \frac{(p_1 \cdot p_2)^2}{M_V^4} \right] = \frac{4M_V^4}{v^2} \left[ 2 + \frac{(p_1 \cdot p_2)^2}{M_V^4} \right]$ 由运动学关系 $p = p_1 + p_2$，平方得 $m_{\text{H}}^2 = 2M_V^2 + 2(p_1 \cdot p_2)$，故 $p_1 \cdot p_2 = \frac{m_{\text{H}}^2 - 2M_V^2}{2}$。代入上式并定义无量纲参数 $x_V = \frac{M_V^2}{m_{\text{H}}^2}$： $|\mathcal{M}|^2 = \frac{4M_V^4}{v^2} \left[ 2 + \frac{(m_{\text{H}}^2 - 2M_V^2)^2}{4M_V^4} \right] = \frac{m_{\text{H}}^4}{v^2} \left( 1 - 4x_V + 12x_V^2 \right)$

两体衰变相空间积分给出的衰变率公式为： $\Gamma(H \to VV) = \frac{S}{16\pi m_{\text{H}}} |\mathcal{M}|^2 \sqrt{1 - \frac{4M_V^2}{m_{\text{H}}^2}}$ 其中 $S$ 为末态全同粒子对称因子（对于 $W^+W^-$，$S=1$；对于 $Z^0Z^0$，$S=1/2$）。 将 $|\mathcal{M}|^2$ 和 $v^{-2} = \sqrt{2}G_{\text{F}}$ 代入，得到解析表达式： $\Gamma(H \to VV) = S \frac{G_{\text{F}} m_{\text{H}}^3}{8\pi\sqrt{2}} \sqrt{1 - 4x_V} \left( 1 - 4x_V + 12x_V^2 \right)$

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数值计算

已知参数如下（采用标准模型 PDG 推荐值）：

• $m_{\text{H}} = 200 \text{ GeV}$
• $M_{\text{W}} \approx 80.38 \text{ GeV}$
• $M_{\text{Z}} \approx 91.19 \text{ GeV}$
• 费米常数 $G_{\text{F}} \approx 1.166 \times 10^{-5} \text{ GeV}^{-2}$

首先计算公共前置因子： $\Gamma_0 = \frac{G_{\text{F}} m_{\text{H}}^3}{8\pi\sqrt{2}} = \frac{(1.166 \times 10^{-5}) \times (200)^3}{8\pi\sqrt{2}} \approx 2.625 \text{ GeV}$

(1) 计算 $H \to W^+W^-$ 衰变率 ($S=1$) 计算无量纲参数 $x_{\text{W}}$： $x_{\text{W}} = \left(\frac{80.38}{200}\right)^2 \approx 0.1615$ 代入运动学因子： $f(x_{\text{W}}) = \sqrt{1 - 4(0.1615)} \left[ 1 - 4(0.1615) + 12(0.1615)^2 \right]$ $f(x_{\text{W}}) \approx \sqrt{0.354} \times (0.354 + 0.313) \approx 0.595 \times 0.667 \approx 0.3969$ $\Gamma(H \to W^+W^-) = \Gamma_0 \times f(x_{\text{W}}) \approx 2.625 \times 0.3969 \approx 1.042 \text{ GeV}$

(2) 计算 $H \to Z^0Z^0$ 衰变率 ($S=1/2$) 计算无量纲参数 $x_{\text{Z}}$： $x_{\text{Z}} = \left(\frac{91.19}{200}\right)^2 \approx 0.2079$ 代入运动学因子： $f(x_{\text{Z}}) = \sqrt{1 - 4(0.2079)} \left[ 1 - 4(0.2079) + 12(0.2079)^2 \right]$ $f(x_{\text{Z}}) \approx \sqrt{0.1684} \times (0.1684 + 0.5186) \approx 0.4104 \times 0.6870 \approx 0.2820$ $\Gamma(H \to Z^0Z^0) = \frac{1}{2} \times \Gamma_0 \times f(x_{\text{Z}}) \approx 0.5 \times 2.625 \times 0.2820 \approx 0.370 \text{ GeV}$

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最终结果

对于质量为 $m_{\text{H}} = 200 \text{ GeV}$ 的希格斯玻色子，其衰变为 $W^+W^-$ 和 $Z^0Z^0$ 的树图阶衰变率分别为：

$\boxed{\Gamma(H \to W^+W^-) \approx 1.04 \text{ GeV}}$ $\boxed{\Gamma(H \to Z^0Z^0) \approx 0.37 \text{ GeV}}$