Gauge Field Notes
12.1

Problem 12.1

peskinChapter 12

习题 12.1

来源: 第12章, PDF第438页

12.1 Beta functions in Yukawa theory. In the pseudoscalar Yukawa theory studied in Problem 10.2, with masses set to zero,

L=12(∂μϕ)2−λ4!ϕ4+ψˉ(i∂ ⁣ ⁣ ⁣/)ψ−igψˉγ5ψϕ,\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu \phi)^2 - \frac{\lambda}{4!} \phi^4 + \bar{\psi}(i \partial\!\!\!/) \psi - ig \bar{\psi} \gamma^5 \psi \phi,

compute the Callan-Symanzik β\beta functions for λ\lambda and gg:

βλ(λ,g),βg(λ,g),\beta_\lambda(\lambda, g), \quad \beta_g(\lambda, g),

to leading order in coupling constants, assuming that λ\lambda and g2g^2 are of the same order. Sketch the coupling constant flows in the λ\lambda-gg plane.

习题 12.1 - 解答

为了计算赝标量 Yukawa 理论中的 Callan-Symanzik β\beta 函数，我们采用维数正规化（d=4−ϵd = 4 - \epsilon）和 MS‾\overline{\text{MS}}（或 MS）重整化方案。拉格朗日量为：

L=12(∂μϕ)2−λ4!ϕ4+ψˉ(i∂ ⁣ ⁣ ⁣/)ψ−igψˉγ5ψϕ\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu \phi)^2 - \frac{\lambda}{4!} \phi^4 + \bar{\psi}(i \partial\!\!\!/) \psi - ig \bar{\psi} \gamma^5 \psi \phi

引入重整化常数 Zϕ=1+δZZ_\phi = 1 + \delta_Z, Zψ=1+δ2Z_\psi = 1 + \delta_2, Zg=1+δgZ_g = 1 + \delta_g, Zλ=1+δλZ_\lambda = 1 + \delta_\lambda。裸耦合常数与重整化耦合常数的关系为：

g0=μϵ/2gZgZ2−1Zϕ−1/2,λ0=μϵλZλZϕ−2g_0 = \mu^{\epsilon/2} g Z_g Z_2^{-1} Z_\phi^{-1/2}, \quad \lambda_0 = \mu^\epsilon \lambda Z_\lambda Z_\phi^{-2}

在 MS 方案中，若重整化因子极点部分为 Z=1+a1ϵZ = 1 + \frac{a_1}{\epsilon}，则对应的 β\beta 函数为 βg=12g2∂a1∂g\beta_g = \frac{1}{2} g^2 \frac{\partial a_1}{\partial g}（对于单对数发散）。

1. 计算 βg\beta_g

我们需要计算费米子自能、标量自能和 Yukawa 顶点的单圈发散。

费米子自能 Σ(p)\Sigma(p)：

−iΣ(p)=∫d4k(2π)4(−igγ5)ik ⁣ ⁣ ⁣/k2(−igγ5)i(p−k)2=−g2∫d4k(2π)4k ⁣ ⁣ ⁣/k2(p−k)2-i\Sigma(p) = \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} (-ig\gamma^5) \frac{i k\!\!\!/}{k^2} (-ig\gamma^5) \frac{i}{(p-k)^2} = -g^2 \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{k\!\!\!/}{k^2(p-k)^2}

提取发散部分（利用 ∫d4k(2π)41k4→i8π2ϵ\int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{1}{k^4} \to \frac{i}{8\pi^2 \epsilon}）：

−iΣ(p)→−g2i8π2ϵ12p ⁣ ⁣ ⁣/=−ig216π2ϵp ⁣ ⁣ ⁣/-i\Sigma(p) \to -g^2 \frac{i}{8\pi^2 \epsilon} \frac{1}{2} p\!\!\!/ = -\frac{i g^2}{16\pi^2 \epsilon} p\!\!\!/

由抵消项 iδ2p ⁣ ⁣ ⁣/i\delta_2 p\!\!\!/，得到 δ2=−g216π2ϵ\delta_2 = -\frac{g^2}{16\pi^2 \epsilon}。

标量自能 Π(p)\Pi(p)：

−iΠ(p)=−∫d4k(2π)4Tr[(−igγ5)ik ⁣ ⁣ ⁣/k2(−igγ5)i(k ⁣ ⁣ ⁣/−p ⁣ ⁣ ⁣/)(k−p)2]=g2∫d4k(2π)44k⋅(k−p)k2(k−p)2-i\Pi(p) = - \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \text{Tr} \left[ (-ig\gamma^5) \frac{i k\!\!\!/}{k^2} (-ig\gamma^5) \frac{i(k\!\!\!/-p\!\!\!/)}{(k-p)^2} \right] = g^2 \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{4k \cdot (k-p)}{k^2(k-p)^2}

提取发散部分：

−iΠ(p)→4g2i8π2ϵ(−12p2)=−ig24π2ϵp2-i\Pi(p) \to 4g^2 \frac{i}{8\pi^2 \epsilon} \left(-\frac{1}{2} p^2\right) = -\frac{i g^2}{4\pi^2 \epsilon} p^2

由抵消项 iδZp2i\delta_Z p^2，得到 δZ=−g24π2ϵ\delta_Z = -\frac{g^2}{4\pi^2 \epsilon}。

Yukawa 顶点修正 δg\delta_g：

−igδgγ5=∫d4k(2π)4(−igγ5)ik ⁣ ⁣ ⁣/k2(−igγ5)ik ⁣ ⁣ ⁣/k2(−igγ5)ik2-ig \delta_g \gamma^5 = \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} (-ig\gamma^5) \frac{i k\!\!\!/}{k^2} (-ig\gamma^5) \frac{i k\!\!\!/}{k^2} (-ig\gamma^5) \frac{i}{k^2}

利用 γ5k ⁣ ⁣ ⁣/γ5k ⁣ ⁣ ⁣/γ5=−k2γ5\gamma^5 k\!\!\!/ \gamma^5 k\!\!\!/ \gamma^5 = -k^2 \gamma^5，积分化简为：

g3∫d4k(2π)4−k2γ5k6=−g3γ5i8π2ϵg^3 \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{-k^2 \gamma^5}{k^6} = -g^3 \gamma^5 \frac{i}{8\pi^2 \epsilon}

得到 δg=−g28π2ϵ\delta_g = -\frac{g^2}{8\pi^2 \epsilon}。

组合得到 βg\beta_g： 对于 gg，极点系数 Z1(g)=ag−a2−12aZ=(−g28π2)−(−g216π2)−12(−g24π2)=g216π2Z_1^{(g)} = a_g - a_2 - \frac{1}{2}a_Z = \left(-\frac{g^2}{8\pi^2}\right) - \left(-\frac{g^2}{16\pi^2}\right) - \frac{1}{2}\left(-\frac{g^2}{4\pi^2}\right) = \frac{g^2}{16\pi^2}。

βg=12g2∂Z1(g)∂g=g316π2\beta_g = \frac{1}{2} g^2 \frac{\partial Z_1^{(g)}}{\partial g} = \frac{g^3}{16\pi^2}

2. 计算 βλ\beta_\lambda

我们需要计算 ϕ4\phi^4 顶点的单圈发散，包含标量圈和费米子圈。

标量圈（s, t, u 通道）：

3×(−iλ)22∫d4k(2π)4ik2ik2→3iλ216π2ϵ3 \times \frac{(-i\lambda)^2}{2} \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{i}{k^2} \frac{i}{k^2} \to \frac{3i\lambda^2}{16\pi^2 \epsilon}

费米子圈（6个排列）：

−6∫d4k(2π)4Tr[(−igγ5ik ⁣ ⁣ ⁣/k2)4]=−6g4∫d4k(2π)4Tr[(−k2)(−k2)]k8=−24g4i8π2ϵ=−48ig416π2ϵ-6 \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \text{Tr} \left[ \left(-ig\gamma^5 \frac{i k\!\!\!/}{k^2}\right)^4 \right] = -6 g^4 \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{\text{Tr}[(-k^2)(-k^2)]}{k^8} = -24 g^4 \frac{i}{8\pi^2 \epsilon} = -\frac{48i g^4}{16\pi^2 \epsilon}

由抵消项 −iδλ-i\delta_\lambda，得到 δλ=3λ2−48g416π2ϵ\delta_\lambda = \frac{3\lambda^2 - 48g^4}{16\pi^2 \epsilon}。

组合得到 βλ\beta_\lambda： 对于 λ\lambda，极点系数 Z1(λ)=aλ−2aZ=3λ−48g4/λ16π2−2(−g24π2)=3λ−48g4/λ+8g216π2Z_1^{(\lambda)} = a_\lambda - 2a_Z = \frac{3\lambda - 48g^4/\lambda}{16\pi^2} - 2\left(-\frac{g^2}{4\pi^2}\right) = \frac{3\lambda - 48g^4/\lambda + 8g^2}{16\pi^2}。

βλ=λ2∂Z1(λ)∂λ+12λg∂Z1(λ)∂g=116π2(3λ2+8λg2−48g4)\beta_\lambda = \lambda^2 \frac{\partial Z_1^{(\lambda)}}{\partial \lambda} + \frac{1}{2} \lambda g \frac{\partial Z_1^{(\lambda)}}{\partial g} = \frac{1}{16\pi^2} (3\lambda^2 + 8\lambda g^2 - 48g^4)

3. 耦合常数流分析

定义无量纲变量 λ~=λ16π2\tilde{\lambda} = \frac{\lambda}{16\pi^2} 和 g~2=g216π2\tilde{g}^2 = \frac{g^2}{16\pi^2}，并考察比值 ρ=λ~g~2\rho = \frac{\tilde{\lambda}}{\tilde{g}^2}。 对数导数为：

dρdln⁡μ=1g~2βλ~−λ~g~4βg~2=3g~2(ρ2+2ρ−16)\frac{d\rho}{d\ln\mu} = \frac{1}{\tilde{g}^2} \beta_{\tilde{\lambda}} - \frac{\tilde{\lambda}}{\tilde{g}^4} \beta_{\tilde{g}^2} = 3\tilde{g}^2 (\rho^2 + 2\rho - 16)

令 dρdln⁡μ=0\frac{d\rho}{d\ln\mu} = 0，得到物理不动点（要求 λ>0\lambda > 0）：

ρ+=17−1≈3.12\rho_+ = \sqrt{17} - 1 \approx 3.12

流图特征：

  • 在 λ\lambda-g2g^2 平面上，由于 βg>0\beta_g > 0 且大尺度下 βλ>0\beta_\lambda > 0，理论是红外自由的，向紫外方向耦合常数发散。
  • 射线 λ=(17−1)g2\lambda = (\sqrt{17}-1)g^2 是一条红外吸引子（紫外排斥子）。
  • 如果初始条件 ρ<ρ+\rho < \rho_+，在向紫外演化时 ρ\rho 会减小并穿过 λ=0\lambda=0 轴，导致真空不稳定（有效势无下界）；如果 ρ>ρ+\rho > \rho_+，则 λ\lambda 增长得比 g2g^2 更快。

最终答案

βg=g316π2βλ=116π2(3λ2+8λg2−48g4)\boxed{ \begin{aligned} \beta_g &= \frac{g^3}{16\pi^2} \\ \beta_\lambda &= \frac{1}{16\pi^2} \left( 3\lambda^2 + 8\lambda g^2 - 48g^4 \right) \end{aligned} }
12.2

Problem 12.2

peskinChapter 12

习题 12.2

来源: 第12章, PDF第438页

12.2 Beta function of the Gross-Neveu model. Compute β(g)\beta(g) in the two-dimensional Gross-Neveu model studied in Problem 11.3,

L=ψˉii∂ ⁣ ⁣ ⁣/ψi+12g2(ψˉiψi)2,\mathcal{L} = \bar{\psi}_i i \partial\!\!\!/ \psi_i + \frac{1}{2} g^2 (\bar{\psi}_i \psi_i)^2,

with i=1,…,Ni = 1, \dots, N. You should find that this model is asymptotically free. How was that fact reflected in the solution to Problem 11.3?

习题 12.2 - 解答

为了计算二维 Gross-Neveu 模型的 β\beta 函数，我们直接从四费米子相互作用的微扰论出发。拉格朗日量为： L=ψˉii∂ ⁣ ⁣ ⁣/ψi+12g2(ψˉiψi)2\mathcal{L} = \bar{\psi}_i i \partial\!\!\!/ \psi_i + \frac{1}{2} g^2 (\bar{\psi}_i \psi_i)^2 其中 i=1,…,Ni = 1, \dots, N。在二维时空中，费米子场的质量量纲为 [ψ]=1/2[\psi] = 1/2，因此耦合常数 λ≡g2\lambda \equiv g^2 是无量纲的。

1. 计算 β(g)\beta(g)

在单圈级别，四费米子顶点 12λ(ψˉiψi)2\frac{1}{2} \lambda (\bar{\psi}_i \psi_i)^2 的重整化来自于费米子气泡图（s-channel）以及交叉图（t-channel 和 u-channel）。

s-channel 贡献（费米子气泡图）： 该图包含一个闭合的费米子圈，因此会产生一个因子 NN（对应于内部费米子指标的求和）。其对应的积分在维数正规化 (d=2−ϵd = 2 - \epsilon) 下为： iMs=(iλ)2N∫ddk(2π)dtr[ik ⁣ ⁣ ⁣/k2i(k ⁣ ⁣ ⁣/+p ⁣ ⁣ ⁣/)(k+p)2]i \mathcal{M}_s = (i\lambda)^2 N \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \text{tr} \left[ \frac{i k\!\!\!/}{k^2} \frac{i (k\!\!\!/ + p\!\!\!/)}{(k+p)^2} \right] 计算迹 tr(γμγν)=2gμν\text{tr}(\gamma^\mu \gamma^\nu) = 2 g^{\mu\nu}，得到： iMs=−2λ2N∫ddk(2π)dk⋅(k+p)k2(k+p)2i \mathcal{M}_s = -2 \lambda^2 N \int \frac{d^d k}{(2\pi)^d} \frac{k \cdot (k+p)}{k^2 (k+p)^2} 提取紫外发散部分（大 kk 极限下积分近似为 ∫ddk/k2\int d^d k / k^2）： iMs∣div=−2λ2N(−i4π2ϵ)=iλ2Nπϵi \mathcal{M}_s \big|_{\text{div}} = -2 \lambda^2 N \left( \frac{-i}{4\pi} \frac{2}{\epsilon} \right) = i \lambda^2 \frac{N}{\pi \epsilon}

交叉图贡献（t-channel 和 u-channel）： 交叉图没有闭合的费米子圈，因此没有 NN 因子。由于费米子交换的反对易性质，交叉图相对于 s-channel 会产生一个相对的负号。其发散部分为： iMt,u∣div=−iλ21πϵi \mathcal{M}_{t,u} \big|_{\text{div}} = - i \lambda^2 \frac{1}{\pi \epsilon}

重整化常数与 β\beta 函数： 将上述贡献相加，单圈顶点的总发散为 iλ2N−1πϵi \lambda^2 \frac{N-1}{\pi \epsilon}。为了消除发散，引入耦合常数重整化 ZλZ_\lambda： λ0=μϵZλλ,Zλ=1−N−1πϵλ\lambda_0 = \mu^\epsilon Z_\lambda \lambda, \quad Z_\lambda = 1 - \frac{N-1}{\pi \epsilon} \lambda 根据裸耦合常数 λ0\lambda_0 与重整化能标 μ\mu 无关的条件 dλ0/dμ=0d\lambda_0 / d\mu = 0，我们有： 0=ϵλZλ+β(λ)Zλ+λ∂Zλ∂λβ(λ)0 = \epsilon \lambda Z_\lambda + \beta(\lambda) Z_\lambda + \lambda \frac{\partial Z_\lambda}{\partial \lambda} \beta(\lambda) 代入 ZλZ_\lambda 并取 ϵ→0\epsilon \to 0 极限，得到 λ\lambda 的 β\beta 函数： β(λ)=−N−1πλ2\beta(\lambda) = - \frac{N-1}{\pi} \lambda^2 由于 λ=g2\lambda = g^2，根据链式法则 β(λ)=2gβ(g)\beta(\lambda) = 2g \beta(g)，最终得到 gg 的 β\beta 函数： β(g)=−N−12πg3\boxed{ \beta(g) = - \frac{N-1}{2\pi} g^3 } 由于 N≥2N \ge 2 时 β(g)<0\beta(g) < 0，这表明 Gross-Neveu 模型是渐近自由的。

2. 渐近自由在 Problem 11.3 中的体现

在 Problem 11.3 中，通过引入辅助场 σ\sigma（使得 L⊃−12g2σ2+σψˉψ\mathcal{L} \supset -\frac{1}{2g^2}\sigma^2 + \sigma \bar{\psi}\psi），在大 NN 极限下计算了单圈有效势： Veff(σ)=12g2σ2+N4πσ2(ln⁡σ2Λ2−1)V_{\text{eff}}(\sigma) = \frac{1}{2g^2} \sigma^2 + \frac{N}{4\pi} \sigma^2 \left( \ln \frac{\sigma^2}{\Lambda^2} - 1 \right) 渐近自由的物理事实在以下两个方面得到了深刻体现：

  1. 重整化群不变性与 β\beta 函数的重现： 物理的有效势必须与紫外截断 Λ\Lambda（或重整化标度 μ\mu）的选取无关，即满足重整化群方程 dVeffdln⁡Λ=0\frac{d V_{\text{eff}}}{d \ln \Lambda} = 0。由此可得： −1g4σ2β(g2)−N2πσ2=0  ⟹  β(g2)=−N2πg4- \frac{1}{g^4} \sigma^2 \beta(g^2) - \frac{N}{2\pi} \sigma^2 = 0 \implies \beta(g^2) = - \frac{N}{2\pi} g^4 这精确对应于我们上面计算的 β\beta 函数在大 NN 极限下（N−1≈NN-1 \approx N）的结果。

  2. 动力学质量生成（Dimensional Transmutation）： 有效势的极小值条件 ∂Veff/∂σ=0\partial V_{\text{eff}} / \partial \sigma = 0 给出了费米子的动力学质量（即 σ\sigma 的真空期望值）： mf=⟨σ⟩=Λexp⁡(−πNg2)m_f = \langle \sigma \rangle = \Lambda \exp\left( - \frac{\pi}{N g^2} \right) 这种非微扰的质量间隙形式 mf∼Λe−∫dg/∣β(g)∣m_f \sim \Lambda e^{-\int dg / |\beta(g)|} 是渐近自由理论的标志性特征。正是因为 β(g)<0\beta(g) < 0，理论在红外区域（低能）耦合变得极强，导致了手征对称性的自发破缺和质量的动力学生成。

12.3

Problem 12.3

peskinChapter 12

习题 12.3

来源: 第12章, PDF第438页

12.3 Asymptotic symmetry. Consider the following Lagrangian, with two scalar fields ϕ1\phi_1 and ϕ2\phi_2:

L=12((∂μϕ1)2+(∂μϕ2)2)−λ4!(ϕ14+ϕ24)−2ρ4!(ϕ12ϕ22).\mathcal{L} = \frac{1}{2}((\partial_\mu \phi_1)^2 + (\partial_\mu \phi_2)^2) - \frac{\lambda}{4!}(\phi_1^4 + \phi_2^4) - \frac{2\rho}{4!}(\phi_1^2 \phi_2^2).

Notice that, for the special value ρ=λ\rho = \lambda, this Lagrangian has an O(2)O(2) invariance rotating the two fields into one another.

(a) Working in four dimensions, find the β\beta functions for the two coupling constants λ\lambda and ρ\rho, to leading order in the coupling constants.

(b) Write the renormalization group equation for the ratio of couplings ρ/λ\rho/\lambda. Show that, if ρ/λ<3\rho/\lambda < 3 at a renormalization point MM, this ratio flows toward the condition ρ=λ\rho = \lambda at large distances. Thus the O(2)O(2) internal symmetry appears asymptotically.

(c) Write the β\beta functions for λ\lambda and ρ\rho in 4−ϵ4 - \epsilon dimensions. Show that there are nontrivial fixed points of the renormalization group flow at ρ/λ=0,1,3\rho/\lambda = 0, 1, 3. Which is the most stable? Sketch the pattern of coupling constant flows. This flow implies that the critical exponents are those of a symmetric two-component magnet.

习题 12.3 - 解答

习题分析与物理背景 本题探讨了具有两个标量场的理论在重整化群（RG）流下的渐近对称性。通过计算耦合常数 λ\lambda 和 ρ\rho 的 β\beta 函数，我们可以分析它们在不同能标下的演化。特别地，当 ρ=λ\rho = \lambda 时，拉格朗日量具有 O(2)O(2) 旋转对称性。通过分析 RG 流的不动点及其稳定性，可以证明在红外（大尺度）极限下，系统会自动流向具有 O(2)O(2) 对称性的不动点，这解释了为什么临界现象中常出现比微观模型更高的对称性。

(a) 四维下的 β\beta 函数

先分析相互作用顶点。由拉格朗日量 Lint=−λ4!(ϕ14+ϕ24)−2ρ4!ϕ12ϕ22\mathcal{L}_{int} = - \frac{\lambda}{4!}(\phi_1^4 + \phi_2^4) - \frac{2\rho}{4!}\phi_1^2 \phi_2^2，可得树图顶点规则：

  • ϕ14\phi_1^4 和 ϕ24\phi_2^4 顶点：−iλ-i\lambda
  • ϕ12ϕ22\phi_1^2 \phi_2^2 顶点：−i2ρ24×4=−iρ3-i\frac{2\rho}{24} \times 4 = -i\frac{\rho}{3}

下面计算单圈修正。 对于 λ\lambda 的修正（ϕ1ϕ1→ϕ1ϕ1\phi_1 \phi_1 \to \phi_1 \phi_1 散射）： 单圈图包含 s,t,us, t, u 三个通道。每个通道的圈内可以是两根 ϕ1\phi_1 或两根 ϕ2\phi_2。

  • ϕ1\phi_1 圈：顶点为 (−iλ)2(-i\lambda)^2，对称因子 1/21/2。
  • ϕ2\phi_2 圈：顶点为 (−iρ/3)2(-i\rho/3)^2，对称因子 1/21/2。 三个通道的总发散系数为 3×[12λ2+12(ρ3)2]=32λ2+16ρ23 \times \left[ \frac{1}{2}\lambda^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{\rho}{3}\right)^2 \right] = \frac{3}{2}\lambda^2 + \frac{1}{6}\rho^2。 考虑到 β\beta 函数定义中包含因子 2（即 ln⁡(Λ2/μ2)=−2ln⁡μ\ln(\Lambda^2/\mu^2) = -2\ln\mu），我们得到： βλ=216π2(32λ2+16ρ2)=116π2(3λ2+13ρ2)\beta_\lambda = \frac{2}{16\pi^2} \left( \frac{3}{2}\lambda^2 + \frac{1}{6}\rho^2 \right) = \frac{1}{16\pi^2} \left( 3\lambda^2 + \frac{1}{3}\rho^2 \right)

对于 ρ\rho 的修正（ϕ1ϕ2→ϕ1ϕ2\phi_1 \phi_2 \to \phi_1 \phi_2 散射，对应顶点 −iρ/3-i\rho/3）：

  • ss 和 uu 通道：圈内是一根 ϕ1\phi_1 和一根 ϕ2\phi_2，顶点为 (−iρ/3)2(-i\rho/3)^2，对称因子为 1。贡献为 2×(ρ/3)2=29ρ22 \times (\rho/3)^2 = \frac{2}{9}\rho^2。
  • tt 通道：圈内是两根 ϕ1\phi_1 或两根 ϕ2\phi_2。若为 ϕ1\phi_1，顶点为 (−iλ)(-i\lambda) 和 (−iρ/3)(-i\rho/3)，对称因子 1/21/2；若为 ϕ2\phi_2，同理。贡献为 2×12λ(ρ/3)=13λρ2 \times \frac{1}{2} \lambda (\rho/3) = \frac{1}{3}\lambda\rho。 总发散系数为 29ρ2+13λρ\frac{2}{9}\rho^2 + \frac{1}{3}\lambda\rho。因此 ρ/3\rho/3 的 β\beta 函数为： βρ/3=216π2(29ρ2+13λρ)  ⟹  βρ=116π2(43ρ2+2λρ)\beta_{\rho/3} = \frac{2}{16\pi^2} \left( \frac{2}{9}\rho^2 + \frac{1}{3}\lambda\rho \right) \implies \beta_\rho = \frac{1}{16\pi^2} \left( \frac{4}{3}\rho^2 + 2\lambda\rho \right)

最终结果为： βλ=116π2(3λ2+13ρ2),βρ=116π2(2λρ+43ρ2)\boxed{ \beta_\lambda = \frac{1}{16\pi^2} \left( 3\lambda^2 + \frac{1}{3}\rho^2 \right), \quad \beta_\rho = \frac{1}{16\pi^2} \left( 2\lambda\rho + \frac{4}{3}\rho^2 \right) }

(b) 耦合常数比值的重整化群方程

定义比值 x=ρ/λx = \rho/\lambda。利用链式法则，其重整化群方程为： βx=μddμ(ρλ)=βρλ−ρβλλ2=1λβρ−ρλ2βλ\beta_x = \mu \frac{d}{d\mu} \left( \frac{\rho}{\lambda} \right) = \frac{\beta_\rho \lambda - \rho \beta_\lambda}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda}\beta_\rho - \frac{\rho}{\lambda^2}\beta_\lambda 代入 (a) 中的结果： βx=116π2[(2ρ+43ρ2λ)−(3ρ+13ρ3λ2)]=116π2(−x+43x2−13x3)\beta_x = \frac{1}{16\pi^2} \left[ \left( 2\rho + \frac{4}{3}\frac{\rho^2}{\lambda} \right) - \left( 3\rho + \frac{1}{3}\frac{\rho^3}{\lambda^2} \right) \right] = \frac{1}{16\pi^2} \left( -x + \frac{4}{3}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right) 提取公因子并因式分解： βx=−x(x−1)(x−3)48π2\boxed{ \beta_x = -\frac{x(x-1)(x-3)}{48\pi^2} }

大尺度（红外）渐近行为分析： 大尺度对应于能标 μ→0\mu \to 0。随着距离增大，μ\mu 减小，因此 xx 的流动方向与 −βx-\beta_x 的符号一致。

  • 当 0<x<10 < x < 1 时，−βx>0-\beta_x > 0，xx 随距离增大而增大，流向 x=1x=1。
  • 当 1<x<31 < x < 3 时，−βx<0-\beta_x < 0，xx 随距离增大而减小，流向 x=1x=1。 因此，只要初始条件满足 ρ/λ<3\rho/\lambda < 3，在红外极限下比值必然流向 x=1x=1（即 ρ=λ\rho = \lambda）。这表明系统在大尺度下渐近地展现出 O(2)O(2) 内部对称性。

(c) 4−ϵ4-\epsilon 维下的不动点与稳定性

在 d=4−ϵd = 4-\epsilon 维，耦合常数具有质量量纲 ϵ\epsilon。引入无量纲耦合常数后，β\beta 函数变为： βλ=−ϵλ+116π2(3λ2+13ρ2)\beta_\lambda = -\epsilon \lambda + \frac{1}{16\pi^2} \left( 3\lambda^2 + \frac{1}{3}\rho^2 \right) βρ=−ϵρ+116π2(2λρ+43ρ2)\beta_\rho = -\epsilon \rho + \frac{1}{16\pi^2} \left( 2\lambda\rho + \frac{4}{3}\rho^2 \right)

寻找非平凡不动点（令 βλ=βρ=0\beta_\lambda = \beta_\rho = 0）。设 λ=16π2ϵλˉ\lambda = 16\pi^2 \epsilon \bar{\lambda}，ρ=16π2ϵρˉ\rho = 16\pi^2 \epsilon \bar{\rho}，方程化为： λˉ=3λˉ2+13ρˉ2,ρˉ=2λˉρˉ+43ρˉ2\bar{\lambda} = 3\bar{\lambda}^2 + \frac{1}{3}\bar{\rho}^2, \quad \bar{\rho} = 2\bar{\lambda}\bar{\rho} + \frac{4}{3}\bar{\rho}^2 由第二个方程得 ρˉ=0\bar{\rho} = 0 或 ρˉ=34(1−2λˉ)\bar{\rho} = \frac{3}{4}(1 - 2\bar{\lambda})。

  1. 若 ρˉ=0\bar{\rho} = 0，代入第一式得 λˉ=1/3\bar{\lambda} = 1/3。此时 ρ/λ=0\rho/\lambda = 0。
  2. 若 ρˉ≠0\bar{\rho} \neq 0，代入第一式得 60λˉ2−28λˉ+3=060\bar{\lambda}^2 - 28\bar{\lambda} + 3 = 0，解得 λˉ=3/10\bar{\lambda} = 3/10 或 1/61/6。
    • 当 λˉ=3/10\bar{\lambda} = 3/10 时，ρˉ=3/10\bar{\rho} = 3/10，此时 ρ/λ=1\rho/\lambda = 1。
    • 当 λˉ=1/6\bar{\lambda} = 1/6 时，ρˉ=1/2\bar{\rho} = 1/2，此时 ρ/λ=3\rho/\lambda = 3。

这给出了三个非平凡不动点：

1) \;& \rho/\lambda = 0: \quad \lambda^* = \frac{16\pi^2 \epsilon}{3}, \quad \rho^* = 0 \\ 2) \;& \rho/\lambda = 1: \quad \lambda^* = \frac{3}{10} 16\pi^2 \epsilon, \quad \rho^* = \frac{3}{10} 16\pi^2 \epsilon \\ 3) \;& \rho/\lambda = 3: \quad \lambda^* = \frac{1}{6} 16\pi^2 \epsilon, \quad \rho^* = \frac{1}{2} 16\pi^2 \epsilon \end{aligned} } $$ **稳定性分析：** 计算雅可比矩阵 $M_{ij} = \partial \beta_i / \partial g_j$ 在各不动点处的特征值（红外稳定要求特征值 $>0$）： - 对于 $\rho/\lambda = 0$ 不动点：特征值为 $\epsilon$ 和 $-\epsilon/3$。存在负特征值，为**鞍点（不稳定）**。 - 对于 $\rho/\lambda = 1$ 不动点：特征值为 $\epsilon$ 和 $\epsilon/5$。两个特征值均大于零，为**红外稳定节点**。 - 对于 $\rho/\lambda = 3$ 不动点：特征值为 $\epsilon$ 和 $-\epsilon/3$。存在负特征值，为**鞍点（不稳定）**。 **结论与流图草图说明：** 最稳定的不动点是 $\rho/\lambda = 1$（即 $O(2)$ 对称不动点）。 在 $(\lambda, \rho)$ 平面的流图中： - 原点 $(0,0)$ 是高斯不动点（完全红外不稳定）。 - 射线 $\rho = 0$ 和 $\rho = 3\lambda$ 上的不动点仅在特定方向上稳定，横向不稳定。 - 只要初始耦合位于区域 $\rho < 3\lambda$ 内，RG 流最终都会被吸引到 $\rho = \lambda$ 的 $O(2)$ 不动点。 这表明该系统的临界行为由 $O(2)$ 不动点主导，其临界指数与具有 $O(2)$ 内部对称性的双组分磁体完全相同。