习题 13.1 - 解答

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(a) 计算 Møller 散射的自旋平均微分散射截面

Møller 散射 ($e^- e^- \rightarrow e^- e^-$) 包含两个树图级别的费曼图：$t$-通道和 $u$-通道。设初态动量为 $p_1, p_2$，末态动量为 $p_3, p_4$。由于末态是全同费米子，根据费米-狄拉克统计，交换两个末态粒子会引入一个相对负号。不变振幅 $\mathcal{M}$ 为：

其中 Mandelstam 变量定义为 $s = (p_1+p_2)^2$，$t = (p_1-p_3)^2$，$u = (p_1-p_4)^2$，且满足 $s+t+u = 4m_e^2$。

对初态自旋求平均并对末态自旋求和，得到自旋平均的振幅平方：

利用迹定理计算各项。对于 $t$-通道项 $T_{tt}$：

代入运动学关系 $p_1 \cdot p_2 = p_3 \cdot p_4 = \frac{s-2m_e^2}{2}$，$p_1 \cdot p_4 = p_2 \cdot p_3 = \frac{2m_e^2-u}{2}$，$p_1 \cdot p_3 = p_2 \cdot p_4 = \frac{2m_e^2-t}{2}$，化简得：

由 $t \leftrightarrow u$ 的对称性，可直接写出 $u$-通道项：

对于干涉项 $T_{tu}$，利用 $\gamma$ 矩阵的缩并恒等式（如 $\gamma^\mu \not{a} \gamma^\nu \not{b} \gamma_\mu = -2\not{b}\gamma^\nu\not{a}$ 等）计算大迹：

将上述结果代入 $\overline{|\mathcal{M}|^2}$，并提取公因子 $2e^4$：

在质心系中，弹性散射的微分散射截面公式为 $\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{\overline{|\mathcal{M}|^2}}{64\pi^2 s}$。代入精细结构常数 $\alpha = \frac{e^2}{4\pi}$（即 $e^4 = 16\pi^2 \alpha^2$），得到：

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(b) 证明非相对论极限下的形式

在非相对论 (NR) 极限下，质心系三维动量 $p \ll m_e$。此时有：

保留到最低阶 $\mathcal{O}(p^0)$，计算 (a) 中方括号内各项的分子：

1. $t^2$ 项分子：$(s-2m_e^2)^2 + (u-2m_e^2)^2 + 4m_e^2 t \approx (2m_e^2)^2 + (-2m_e^2)^2 + 0 = 8m_e^4$
2. $u^2$ 项分子：$(s-2m_e^2)^2 + (t-2m_e^2)^2 + 4m_e^2 u \approx (2m_e^2)^2 + (-2m_e^2)^2 + 0 = 8m_e^4$
3. $tu$ 项分子：$2(s-2m_e^2)(s-6m_e^2) \approx 2(2m_e^2)(-2m_e^2) = -8m_e^4$

将这些分子与精确的分母代入 $\overline{|\mathcal{M}|^2}$ 中：

化简括号内的三角函数部分：

因此，微分散射截面为：

化简即得：

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(c) 极端相对论极限下的化简

在极端相对论 (UR) 极限下，$m_e \rightarrow 0$。此时 Mandelstam 变量满足 $s+t+u = 0$，且：

将 $m_e = 0$ 代入 (a) 的结果中：

提取公分母 $t^2 u^2$ 并利用 $s = -(t+u)$ 进行代数变形：

将 $t$ 和 $u$ 用 $\theta$ 表达，计算分子和分母： 分母：$t^2 u^2 = \left( \frac{s^2}{4} \sin^2\theta \right)^2 = \frac{s^4}{16} \sin^4\theta$ 分子：

将分子分母代回截面公式：

最终得到极端相对论极限下的简洁形式：

习题 13.2 - 解答

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为了推导无结构质子（即将其视为点状 Dirac 粒子）与电子的弹性散射截面公式 (13.103)，我们需要从运动学、相空间积分以及矩阵元平方的迹计算三个方面进行严谨的推导。

1. 运动学分析

设在靶静止系（实验室系）中，初始电子、初始质子、末态电子和末态质子的四维动量分别为： $p_1 = (E, \vec{p}_1), \quad p_2 = (m_p, \vec{0}), \quad p_3 = (E', \vec{p}_3), \quad p_4 = (E_4, \vec{p}_4)$ 由于 $m_e \ll E$，我们近似认为电子是无质量的，即 $p_1^2 = p_3^2 \approx 0$。 动量转移的平方 $q^2$ 可以通过电子的动量表示为： $q^2 = (p_1 - p_3)^2 = -2p_1 \cdot p_3 = -2EE'(1 - \cos\theta) = -4EE' \sin^2 \frac{\theta}{2}$ 同时，$q^2$ 也可以通过质子的动量表示。利用能量守恒 $E_4 = E + m_p - E'$，有： $q^2 = (p_4 - p_2)^2 = 2m_p^2 - 2p_2 \cdot p_4 = 2m_p^2 - 2m_p E_4 = -2m_p(E - E')$ 联立上述两个 $q^2$ 的表达式，我们可以得到能量转移与散射角的关系： $p_1 \cdot p_3 = m_p(E - E') \quad \implies \quad E - E' = \frac{2EE'}{m_p} \sin^2 \frac{\theta}{2}$

2. 靶静止系下的相空间与截面公式

根据 Problem 5.1 的结论，对于 $2 \to 2$ 散射，靶静止系下的微分截面公式可以由费米黄金定则出发推导。通用的微分散射截面为： $d\sigma = \frac{1}{4 E m_p} \int \frac{d^3 p_3}{(2\pi)^3 2 E'} \frac{d^3 p_4}{(2\pi)^3 2 E_4} (2\pi)^4 \delta^4(p_1 + p_2 - p_3 - p_4) \overline{|\mathcal{M}|^2}$ 对 $\vec{p}_4$ 积分消除三维 $\delta$ 函数后，得到： $\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{1}{64\pi^2 E m_p} \int \frac{E'^2 dE'}{E' E_4} \delta(E + m_p - E' - E_4) \overline{|\mathcal{M}|^2}$ 其中 $E_4 = \sqrt{m_p^2 + E^2 + E'^2 - 2EE'\cos\theta}$。定义 $\delta$ 函数中的自变量为 $f(E') = E + m_p - E' - E_4$，对其求导： $\left| \frac{\partial f}{\partial E'} \right| = 1 + \frac{E' - E \cos\theta}{E_4} = \frac{E_4 + E' - E \cos\theta}{E_4} = \frac{m_p + E(1 - \cos\theta)}{E_4}$ 利用运动学关系 $E(1 - \cos\theta) = \frac{m_p(E - E')}{E'}$，上式可化简为： $\left| \frac{\partial f}{\partial E'} \right| = \frac{m_p + \frac{m_p(E - E')}{E'}}{E_4} = \frac{m_p E}{E' E_4}$ 完成对 $E'$ 的积分，引入雅可比因子 $\left| \frac{\partial f}{\partial E'} \right|^{-1} = \frac{E' E_4}{m_p E}$，得到靶静止系下的截面公式： $\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{1}{64\pi^2 E m_p} \frac{E'}{E_4} \frac{E' E_4}{m_p E} \overline{|\mathcal{M}|^2} = \frac{1}{64\pi^2 m_p^2} \left( \frac{E'}{E} \right)^2 \overline{|\mathcal{M}|^2}$

3. 矩阵元平方计算

将质子视为点状 Dirac 粒子，自旋平均的矩阵元平方为： $\overline{|\mathcal{M}|^2} = \frac{e^4}{q^4} L_{\mu\nu}^{(e)} L^{\mu\nu}_{(p)}$ 其中电子和质子的轻子张量（迹）分别为： $L_{\mu\nu}^{(e)} = \frac{1}{2} \text{Tr}[\gamma_\mu \not{p}_1 \gamma_\nu \not{p}_3] = 2 (p_{1\mu} p_{3\nu} + p_{1\nu} p_{3\mu} - g_{\mu\nu} p_1 \cdot p_3)$ $L^{\mu\nu}_{(p)} = \frac{1}{2} \text{Tr}[\gamma^\mu (\not{p}_2 + m_p) \gamma^\nu (\not{p}_4 + m_p)] = 2 (p_2^\mu p_4^\nu + p_2^\nu p_4^\mu - g^{\mu\nu} (p_2 \cdot p_4 - m_p^2))$ 将两者收缩，利用 $g_{\mu\nu}g^{\mu\nu}=4$，可得： $L_{\mu\nu}^{(e)} L^{\mu\nu}_{(p)} = 8 \big[ (p_1 \cdot p_2)(p_3 \cdot p_4) + (p_1 \cdot p_4)(p_3 \cdot p_2) - m_p^2 (p_1 \cdot p_3) \big]$ 接下来计算各个四维内积。已知 $p_1 \cdot p_2 = E m_p$，$p_3 \cdot p_2 = E' m_p$，且 $p_1 \cdot p_3 = m_p(E - E')$。利用四动量守恒 $p_4 = p_1 + p_2 - p_3$，有： $p_3 \cdot p_4 = p_3 \cdot (p_1 + p_2 - p_3) = p_1 \cdot p_3 + p_2 \cdot p_3 = m_p(E - E') + m_p E' = m_p E$ $p_1 \cdot p_4 = p_1 \cdot (p_1 + p_2 - p_3) = p_1 \cdot p_2 - p_1 \cdot p_3 = m_p E - m_p(E - E') = m_p E'$ 代入张量收缩的结果中： $L_{\mu\nu}^{(e)} L^{\mu\nu}_{(p)} = 8 \big[ (E m_p)(m_p E) + (m_p E')(E' m_p) - m_p^2 \left( 2EE' \sin^2 \frac{\theta}{2} \right) \big] = 8 m_p^2 \left( E^2 + E'^2 - 2EE' \sin^2 \frac{\theta}{2} \right)$ 为了凑出目标公式的形式，我们将括号内的项进行代数变形： $E^2 + E'^2 - 2EE' \sin^2 \frac{\theta}{2} = (E - E')^2 + 2EE' \cos^2 \frac{\theta}{2}$ 利用运动学关系 $(E - E') = \frac{2EE'}{m_p} \sin^2 \frac{\theta}{2}$，将 $(E - E')^2$ 中的一个 $(E - E')$ 替换掉： $(E - E')^2 + 2EE' \cos^2 \frac{\theta}{2} = 2EE' \frac{E - E'}{m_p} \sin^2 \frac{\theta}{2} + 2EE' \cos^2 \frac{\theta}{2} = 2EE' \left( \cos^2 \frac{\theta}{2} + \frac{E - E'}{m_p} \sin^2 \frac{\theta}{2} \right)$ 因此，张量收缩的最终结果为： $L_{\mu\nu}^{(e)} L^{\mu\nu}_{(p)} = 16 m_p^2 E E' \left( \cos^2 \frac{\theta}{2} + \frac{E - E'}{m_p} \sin^2 \frac{\theta}{2} \right)$

4. 最终结果组装

将 $q^4 = 16 E^2 E'^2 \sin^4 \frac{\theta}{2}$ 和张量收缩结果代入矩阵元平方中： $\overline{|\mathcal{M}|^2} = \frac{e^4}{16 E^2 E'^2 \sin^4 \frac{\theta}{2}} \times 16 m_p^2 E E' \left( \cos^2 \frac{\theta}{2} + \frac{E - E'}{m_p} \sin^2 \frac{\theta}{2} \right) = \frac{e^4 m_p^2}{E E' \sin^4 \frac{\theta}{2}} \left( \cos^2 \frac{\theta}{2} + \frac{E - E'}{m_p} \sin^2 \frac{\theta}{2} \right)$ 最后，将其代入第 2 步推导的截面公式中： $\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{1}{64\pi^2 m_p^2} \frac{E'^2}{E^2} \frac{e^4 m_p^2}{E E' \sin^4 \frac{\theta}{2}} \left( \cos^2 \frac{\theta}{2} + \frac{E - E'}{m_p} \sin^2 \frac{\theta}{2} \right)$ 化简后即得到目标方程 (13.103)：

习题 13.3 - 解答

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(a) 相空间积分与总衰变率

在衰变粒子 $\phi$ 的静止参考系中，其四维动量为 $p_1 = (m_\phi, \vec{0})$。设末态正负电子的动量分别为 $p_2$ 和 $p_3$。两体相空间积分公式为：

首先对 $d^3 p_3$ 积分，利用空间动量守恒 $\delta^3(\vec{p}_1 - \vec{p}_2 - \vec{p}_3)$，得到 $\vec{p}_3 = -\vec{p}_2$。由于正负电子质量相同（$m_e$），它们的能量也相等：$E_2 = E_3 = \sqrt{|\vec{p}_2|^2 + m_e^2} \equiv E$。相空间积分化简为：

在球坐标系下，$d^3 p_2 = |\vec{p}_2|^2 d|\vec{p}_2| d\Omega$。利用关系式 $|\vec{p}_2| d|\vec{p}_2| = E dE$，并对立体角 $d\Omega$ 积分得到 $4\pi$：

积分给出 $E = m_\phi/2$，此时动量大小为 $|\vec{p}_2| = \sqrt{E^2 - m_e^2} = \frac{m_\phi}{2}\sqrt{1 - 4m_e^2/m_\phi^2}$。定义质量比 $x = m_e/m_\phi$，则 $|\vec{p}_2| = \frac{m_\phi}{2}\sqrt{1 - 4x^2}$。代入上式得：

将相空间积分结果代入总衰变率公式 $\Gamma = \frac{1}{2m_\phi} |\mathcal{M}|^2 \int d\Pi_2$，即可得到：

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(b) 不同自旋与宇称下的衰变率

在计算中，我们需要对末态自旋求和，并对初态极化（若有）求平均。由运动学关系 $p_1 = p_2 + p_3$，平方后得到 $m_\phi^2 = 2m_e^2 + 2p_2 \cdot p_3$，即 $p_2 \cdot p_3 = \frac{m_\phi^2}{2} - m_e^2$。

1. 标量 (Scalar) 相互作用为 $g_S \phi \bar{\psi} \psi$，矩阵元 $\mathcal{M} = g_S \bar{u}(p_2) v(p_3)$。对末态自旋求和：

代入 $p_2 \cdot p_3$ 的表达式：

代入 (a) 中的衰变率公式：

2. 赝标量 (Pseudoscalar) 相互作用为 $ig_P \phi \bar{\psi} \gamma_5 \psi$，矩阵元 $\mathcal{M} = ig_P \bar{u}(p_2) \gamma_5 v(p_3)$。

代入 $p_2 \cdot p_3$：

代入衰变率公式：

3. 矢量 (Vector) 相互作用为 $g_V \phi_\mu \bar{\psi} \gamma^\mu \psi$，矩阵元 $\mathcal{M} = g_V \epsilon_\mu(p_1) \bar{u}(p_2) \gamma^\mu v(p_3)$。对初态 3 个极化态平均并对末态自旋求和：

迹的计算结果为 $4(p_2^\mu p_3^\nu + p_2^\nu p_3^\mu - g^{\mu\nu}(p_2 \cdot p_3 + m_e^2))$。 由于矢量流守恒，与 $p_{1\mu} p_{1\nu}$ 的缩并项为零（可由 $p_1 \cdot p_2 = p_1 \cdot p_3 = m_\phi^2/2$ 验证）。仅保留 $-g_{\mu\nu}$ 的缩并：

代入衰变率公式：

4. 轴矢量 (Axial vector) 相互作用为 $ig_A \phi_\mu \bar{\psi} \gamma^\mu \gamma_5 \psi$，矩阵元 $\mathcal{M} = ig_A \epsilon_\mu(p_1) \bar{u}(p_2) \gamma^\mu \gamma_5 v(p_3)$。

利用 $\gamma_5 (\not{p}_3 - m_e) \gamma^\nu \gamma_5 = (\not{p}_3 + m_e)\gamma^\nu$，迹化简为 $4(p_2^\mu p_3^\nu + p_2^\nu p_3^\mu - g^{\mu\nu}(p_2 \cdot p_3 - m_e^2))$。 与 $-g_{\mu\nu}$ 缩并得到 $8p_2 \cdot p_3 - 16m_e^2$；与 $p_{1\mu} p_{1\nu}/m_\phi^2$ 缩并得到 $8m_e^2$。两者相加：

代入衰变率公式：

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(c) 粒子自旋与宇称的推断

假设轻子普适性（Lepton Universality），即新粒子与三代轻子（$e, \mu, \tau$）的耦合常数相同。 已知新粒子质量 $m_\phi \approx 4 \text{ GeV}$。轻子质量分别为 $m_e \approx 0.511 \text{ MeV}$，$m_\mu \approx 105.7 \text{ MeV}$，$m_\tau \approx 1.777 \text{ GeV}$。 定义运动学因子 $x_l = m_l / m_\phi$。对于电子和 $\mu$ 子，$x_e \approx 0$ 且 $x_\mu \approx 0.026 \approx 0$，因此它们的衰变率几乎相等，记为 $\Gamma_e \approx \Gamma_\mu \equiv \Gamma_0$。 对于 $\tau$ 子，$x_\tau \approx 1.777 / 4 \approx 0.444$。

实验测得衰变到 $\tau^+ \tau^-$ 的分支比约为 $25\%$，即：

利用 $x_\tau \approx 0.444$，计算 $x_\tau^2 \approx 0.197$，$4x_\tau^2 \approx 0.788$。我们检验 (b) 中四种情况的理论比值 $\Gamma_\tau / \Gamma_0$：

1. 标量 / 轴矢量: $\frac{\Gamma_\tau}{\Gamma_0} = (1 - 4x_\tau^2)^{3/2} \approx (1 - 0.788)^{1.5} \approx 0.098$ 对应分支比约为 $4.7\%$，与实验不符。
2. 赝标量: $\frac{\Gamma_\tau}{\Gamma_0} = \sqrt{1 - 4x_\tau^2} \approx \sqrt{0.212} \approx 0.460$ 对应分支比约为 $18.7\%$，偏离 $25\%$。
3. 矢量: $\frac{\Gamma_\tau}{\Gamma_0} = (1 + 2x_\tau^2)\sqrt{1 - 4x_\tau^2} \approx (1 + 0.394) \times 0.460 \approx 1.394 \times 0.460 \approx 0.641$ 对应分支比为 $\frac{0.641}{2 + 0.641} \approx 24.3\%$，与实验测得的 $25\%$ 极度吻合。

由于矢量场对应自旋 $J=1$ 且空间反演下具有负宇称 $P=-1$，因此可以推断该粒子的自旋和宇称为：